兩角和與差及二倍角公式講義例題含答案

1、兩角和與差及二倍角公式(答案)兩角和與差及二倍角公式一.【復(fù)習(xí)要求】1 .掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)2 .掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3 .能夠利用兩角和與差的公式、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明二、【知識(shí)回顧】1 .兩角和與差的三角函數(shù)sin();sin();cos();cos();tan();tan();2 .二倍角公式：在sin(),cos(),tan()中令，可得相應(yīng)的二倍角公式。sin2；cos2=tan23 .降幕公式.22sin;cos注意：二倍角公式具有“升哥縮角作用，降哥公式具有“降哥擴(kuò)角”作用4 .輔助角公式y(tǒng)asinxbcos

2、xJacos 1, sin 2b2sin(x),(其中a,b不能同時(shí)為0)證明：y sin x cosx a2 b2a(sin xb2bcos x) a2 b22.2/a b (cos sinxsincosx).a2 b2 sin(x其中，cos * a , sin 22a bb22a btan在使用時(shí)，不必死記結(jié)論，而重在這種收縮(合二為一)且角a思想終邊過(guò)點(diǎn)(a, b)如：sincos；sincos5 .公式的使用技巧(1)連續(xù)應(yīng)用：sin()sin( ) sin()cos cos( )sin(2)“1”的代換：sin21,tan14(3)收縮代換：ysinxcosx,a2b2sin(x)

3、,(其中a,b不能同時(shí)為0)(4)公式的變形tantantan()tan()tantantan()tantan1tantantantantan()tan()tantantan()tantan1tantan如：tan95otan35oJ3tan95otan35ootan70otan50o百tan70otan50o。(5)角的變換(拆角與配角技巧)2；,(),(),二()(),22(),一一(一)，一()(),444242(6)二倍角公式的逆用及常見(jiàn)變形二倍角的正用、逆用、變形應(yīng)用是公式的三種主要使用方法，特別是二倍角的余弦公式，它在求值、化簡(jiǎn)、證明中有廣泛的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)不同的需要，靈活選取

4、。sin2sincoscoscos2sin212sin22cos212222222tan一,22_.2.、2一tan;1sin2(sincos)；(sincos)(sincos)221tan一25 .三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)(1)化簡(jiǎn)方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；化切為弦，異名化同名，異角化同角；三角公式的逆用等。降哥或升哥(2)化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。6 .三角函數(shù)的求值類型有三類(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)

5、值問(wèn)題；(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，關(guān)鍵也在于“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍或函數(shù)的單調(diào)性求得角。7 .三角等式的證明(1)三角恒等式的證明根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一、轉(zhuǎn)換命題等方法，使等式兩端化“異”為“同”；(2)三角條件等式的證明通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系。若從結(jié)論開(kāi)始，通過(guò)變形，將已知表達(dá)式代入得出結(jié)論，采用代

6、入法；若從條件開(kāi)始，化簡(jiǎn)條件，將其代入要證表達(dá)式中，通過(guò)約分抵消等消去某些項(xiàng)，從而得出結(jié)論，采用消參法；若這兩種方法都證不出來(lái)，可采用分析法進(jìn)行證明。三.【例題精講】考點(diǎn)一、給角求值cos200cos10o-ooo例1.求值：J3sin10tan702cos40sin20【解】A=+7JsinlO-2cos40slrZOsinO=+點(diǎn)mV-2cOs40flzsinlOzcoslO=cos200=ccs20_ 2cos400 = 4cosz 200 2cO3402雨g 10sin20P=2co40422eos400=2t例2.求值：2sin50osin10o(1遍tan10o)J2sin280o

7、解；麻式=(2鼻in50*十黑inLOX8sly+性】門1。*)作由政TcoslUcoslO0FsinlOn(2sin5Ofl+2sin10X77)義1O,coslU=2y?sin50coslOn+sinlOncos(60n-10P)2怎in(50+10)=娓.【反思?xì)w納】對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有：化為特殊角的三角函數(shù)值化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分而求值?？键c(diǎn)二、給值求值2_2cos-sin1例3.已知tan22J2,22,求2的值.-2sin()4【解】(1)3成8=T二1-T8+6cos+8eos(a/3)sin=0

8、.依題意。關(guān)電+乎且a內(nèi)”開(kāi)十6%2r2上式兩邊都除以2cosmos(a3),即得tan(a產(chǎn))+4匕叩=0.【練習(xí)】1 .已知tansin2cos2解析：原式2曲也0M二(850二33口(sina+cosuq)cosa2singctjsucosu+si門一口菖iiTo+2匚。5、口2 tan。-1+tan仃tantr+2oooooo2 .求值：tan20tan60tan60tan10tan10tan20解析：原式=tan6O*(tan2O+tanlO)+匕口10tan20.|tan(20*+10*)(1-tan200tanl00)+unlOfltan2O*=/Ttari30e(1tan2Ot

9、anlOc)+(tanlOtan2OQ),3解析 ：COS ( -y-3 .在ABC中，已知cos(A)3,則cos2A的值為45A)=cos亍co翼A-sin-ysinAJZA一-T-(cosA-sinA)Ei挈0.;p:.0A彳 * /0135.(07年局考江辦卷)右cos(),cos()一,則tantan55custKXJ承一8iikr疝中=cuaco?=解析：由已知得J二.3,.n_1cosctcosjj_sin(sniyj._sinasin31.tanatanp=-=-=COSciCOSpj6.（08年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)第xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角,它們的終邊分別與

10、單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為225，,105(1)求tan()的值;(2)求2的值解：U）由已羯條件及三角函數(shù)的定義可為.cosa因a為銳南，戰(zhàn)sinn?0.從而ssna同理可得sin=會(huì)因此tana=7,ran=4-.所以tan（aI-tan41tH即-1一3十二(2)1日J(rèn)+2用=Ian：(+/?)+g=-l-(-3)Xy義0V口，故0a+2.從而由tan(a+2)=1得口+2丹孚.4r,r7.已知、 為銳角，向重a (cos ,sin ), b若a b W2,a c ?為就角t又二 d 為就角，：* tanaO._4 療 * tiiiidf口由得 COSd 二0 VgV丁 乙J.4 一，.二9,從而2g&=fJT.r11(cos,sin),c(-)22(2)由(ih4-c可得(1-cosp-COSZ-亍，i.1小mnjisirurx虧(JJ*十。得cosa宙ru=二，一_3smZtz-.4門.勺o(hù).2苦inacosfl又,sina=Zsinac