初中數(shù)學(xué)競賽題匯編

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)競賽題匯編（代數(shù)部分2）江蘇省泗陽縣李口中學(xué) 沈正中 精編、解答例1：已知a2b26ab，且ab0，求 。 解：由已知得 (ab)28ab， (ab)24ab，所以 2，因ab0，所以ab、ab均為正數(shù)，故 。 例2：計(jì)算 的值 。 解：因 2， 所以 。 例3：已知 ，求 解：由已知得 2(ab)2ab ，即 所以 。 例4：已知 ， ，求 ？ 解：由 得 ，由 得 ， 所以 1。 例5：已知若abc=1，求證 。分析：所要求證的等式的左邊是三個(gè)分母差異很大的式子，因而變形比較困難?？梢猿浞掷胊bc=1，將它們化成同分母。在的分子、分母上同乘c，化成，將的

2、分母中的“1”換成abc得，然后再相加即可得證。證明： abc=1 = + = =1 。 例6：已知bc=ad，求證：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd證明：因bc=ad，所以 由比例的性質(zhì)得 ××得 ，所以ab(c2-d2)=(a2-b2)cd ab(c2-d2)=(a2-b2)cd。例7：已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z0，.證明：證明：解方程組 (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以 所以 同理可得， 所以 例8：已知x、y、z滿足關(guān)系式，證明：證明：將已知等式分別乘以x、y、z得 + 得 所以 即：例9：試用關(guān)于（x-

3、1）的各次冪表示多項(xiàng)式。解：設(shè)。因?yàn)樯鲜绞呛愕仁?，所以不論取什么?shù)，兩邊都應(yīng)相等，據(jù)此可設(shè)，代入上式得 ，代入上式得 ，代入上式得 聯(lián)立上面三個(gè)式子解得 。這道例題在求待定系數(shù)時(shí)運(yùn)用了特殊值法。要盡量減少待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，比如可以斷定的系數(shù)是2，就沒有必要再將項(xiàng)的系數(shù)設(shè)為待定系數(shù)了。例10：化簡 。解：設(shè)2013為，則2014=，2012=，則 1。 例11： 解方程組解：（1）原方程組可化為 令 （1） 代入方程組，得 解得 和 代入式中，得 和 分別解之，得 和 顯然，這些例題運(yùn)用了換元法就變的簡捷了。（2）分析：可由x3+y3, x+y 求出xy，再由基本對(duì)稱式，求兩個(gè)變量x和y。x3+y

4、3(x+y)33xy(x+y) 把和代入，得355315xy.xy=6.解方程組得或.例12：求方程x+y=xy的整數(shù)解。解：    x+y=xy  (x-1)(y-1)=1。解之，得  x-1=1，y-1=1； 或        x-1=-1， y-1=-1。 x=2    y=2 或      x=0   y=0例13：已知：a+b+c=0, abc0. 求代數(shù)式的值。 分

5、析：這是含a, b, c 的輪換式，化簡第一個(gè)分式后，其余的兩個(gè)分式，可直接寫出它的同型式。解：，0.例14：己知a+,abc求證：a2b2c2=1:證明：由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2c2=1例15：己知:ax2+bx+c是一個(gè)完全平方式（a,b,c是常數(shù)）求證：b24ac=0證明：設(shè):ax2+bx+c（mx+n）2 ， m,n是常數(shù)那么:ax2+bx+cm2x2+2mnx+n2根據(jù)恒等式的性質(zhì)得 b24ac(2mn)24m2n2=0。例16：已知x=(+1), y= 求下列代數(shù)式的值：x3+x2y+xy2+y3 ； x2 (2y+3)+y2(

6、2x+3).:解：含兩個(gè)變量的對(duì)稱式都可以用相同變量的基本對(duì)稱式來表示.先求出x+y=, xy=. x3+x2y+xy2+y3 (x+y)32xy(x+y)=()32×=2； x2 (2y+3)+y2(2x+3)2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3（x+y）22xy+2xy(x+y)=3（）2×6.例17：化簡.:解：設(shè) x, =y.那么x3+y3=40, xy=2. x3+y3（x+y）33xy(x+y)，40（x+y）36（xy）.設(shè)x+y=u, 得u36u40=0 . (u4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 沒有

7、實(shí)數(shù)根，u40, u4 . x+y=4. 即4.例18： a取什么值時(shí)，方程x2ax+a2=0的兩根差的絕對(duì)值最??？其最小值是什么？解：設(shè)方程兩根為x1,x2 . 根據(jù)韋達(dá)定理，得 ，當(dāng)a=2時(shí)，有最小值是2.例19：若a+b+c=0，求 的值解：a+b+c=0，abc， 2a2+bc=a2+bc+a(-b-c) 例20：設(shè)，證明：a、b、c三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零。證明：由得 從已知知a、b、c0，所以abc0，且a+b+c0， 則 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) abc= (b+c) (bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2babc=(b+c) (bc+ca+ab)+ a2 (