上海市封浜中學高三數(shù)學二輪專題復習：第2講學習能力型問題(1)一、概念學習型

1、上海市封浜中學高三數(shù)學二輪專題復習:第2講學習能力型問題(1)學習新的數(shù)學知識的能力指的是通過閱讀，理解以前沒有學過的新的數(shù)學知識(包括新的概念、定理、公式、法那么和方法等)，并能運用它們作進一步的運算推理，解決有關問題的能力，這里我們簡稱為學習能力.學習能力型問題常見的有以下幾種類型：1 概念學習型；2. 定理(公式)學習型；3. 方法學習型.我們還是從各地高考數(shù)學試題中的學習能力型問題開始.一、概念學習型例1 .(北京2004)定義“等和數(shù)列：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么 這個數(shù)叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.數(shù)列an是等和數(shù)列，且ai 2，公和為5

2、，那么ai8的值為.這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為.解析：這里給出“公和的概念，其實就是擺動數(shù)列2,3,2,3,2,3,，所以 Sn52n，n為偶數(shù)5n 1 , n為奇數(shù)例2對于任意兩個集合 X和Y , X-Y指所有屬于X但不屬于Y的集合，X和Y的對稱差X Y規(guī)定為X Y= (X-Y )U (X-Y )。2設 A= y ! y=x ,x R, B=y j y=3sinx,x R，求 A B。解：A B=-3 , 0)U( 3, +s)例3如果有窮數(shù)列a1,a2,a3,L,an ( n為正整數(shù))滿足條件a1an,a2an 1，ana1，即aian i 1(i 1,2,L , n ),我們稱其

3、為“對稱數(shù)列.例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列需,8丄，需就是“對稱數(shù)列.(1 )設bn是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列，其中b1,b2,d,b4是等差數(shù)列，且b1 2 ,b4 11 .依次寫出 bn的每一項；(2 )設Cn是項數(shù)為2k 1(正整數(shù)k 1)的“對稱數(shù)列，其中Ck,Ck 1,L1是首項為50,公差為 4的等差數(shù)列.記 cn各項的和為S2k 1 .當k為何值時，S2k 1取得最大值？并求出 S2k 1的最大值；(3)對于確定的正整數(shù) m 1，寫出所有項數(shù)不超過 2m的“對稱數(shù)列，使得1,2, 22,l ,2m1依次是該數(shù)列 中連續(xù)的項；當 m 1500時，求其中一個“對稱數(shù)列前2022項的和S202

4、2 .當k 13時，S2k1取得最大值.S2k 1的最大值為626.解：(1 )設bn的公差為d，那么b4b13d 23d 11，解得 d 3，數(shù)列 bn 為 2,5,8,11,8,5,2(2) S2k 1C1C2Ck 1CkCk 1C2k 12( CkCk 1C2k 1 ) Ck ,S2k14(k 13)2 413250，(3 )所有可能的“對稱數(shù)列是:«m 2 2m 1,2 , 2對于，當m > 2022時，S20222222007220222m2 m 1 m221 , 2, 2 , L , 2, 2, 2 丄,2 , 2, 1；2m2 m 1 m 1 m 221 , 2,

5、 2 , L , 2, 2, 2, 2 丄，2 , 2, 1 ;2m 1,2m 2 ,L , 22,2, 1 , 2, 22 丄,2m 2 ,2m 1 ；2m 1,2m 2 丄,22 , 2, 1 , 1 , 2, 22 丄2m 12口 1?2m 2022?m?m 1?2m 20221 對于，當m > 2022時，S20222 20221 當 1500m < 2007時,S20222口 12 2m 20221對于，當m > 2022時，S20222m?m 2022當 1500m < 2007時,S20222 m2 2022 m3 對于，當m > 2022時，S20

6、222 m?m 2022當 1500m < 2007時,S2022?m22022 m2 2M是滿足以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)對任意x R,有T,當 1500 m< 2007時，S20221例4.( 03年上海理科)集合f(x+T )=T f(x)成立.(1) 函數(shù)f(x)= x是否屬于集合 M ?說明理由；(2) 設函數(shù)f(x)=ax (a>0,且az 1 )的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f(x)=ax M ;(3) 假設函數(shù)f(x)=sinkx M ,求實數(shù)k的取值范圍.解(1)對于非零常數(shù) T, f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx.因為對任意x

7、 R, x+T= Tx不能恒成立，所以(2)因為函數(shù)f(x)=ax (a>0且az 1)的圖象與函數(shù) y=x的圖象有公共點，?2m 2022m 1 m2 22m 2f(x)= x M .x所以方程組： y a有解，消去y得ax=x,顯然y xx=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.a x Tf (x)故 f(x)=ax M.于是對于 f(x)=ax有 f (x T) ax T aT ax T當kz 0時，因為f(x)=si nkx M,所以存在非零常數(shù)(3)當 k=0 時，f(x)=0，顯然 f(x)=0 M.T,對任意 x R，有 f(x+T)=T f(x)成立,即

8、 sin(kx+kT)=Tsin kx .因為 kz 0,且 x R,所以 kx R , kx+kT R,于是 sinkx 1, 1 , sin(kx+kT) 1, 1,故要使 sin (kx+kT)=Tsi nkx .成立，只有 T= 1 ,當 T=1 時，si n( kx+ k)=si nkx 成立，貝 U k=2m n , m Z .當 T= 1 時,sin(kx k)= sinkx 成立, 即 sin(kx k+ n )= sinkx 成立,那么一k+ n =2m n , m Z ,即 k= 2(m 1) n , m Z .綜合得，實數(shù)k的取值范圍是 k|k= m n , m Z例5.

9、某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售；同時，當顧客在該商場內(nèi)消費滿一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：消費金額(兀)的范圍200 , 400)400, 500)500 , 700)700 , 900)獲得獎券的金額(元)3060100130根據(jù)上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠.例如，購置標價為 400元的商品，那么消費金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為:400 X 0.2+30=110 (元).設購置商品得到的優(yōu)惠率=購頭商品獲得的優(yōu)惠額，試問：商品的標價(1)購置一件標價為1000兀的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少?(2)對于標價在500, 800(元)內(nèi)的商

10、品，顧客購置標價為多少元的商品，可獲得不小于1-的優(yōu)惠率?3(1) 1000 0-2 13033%1000(2)設商品的標價為 x元那么500800 ,消費額：4000.8x6400.2x60由得(I)x4000.8x13500或(II)不等式組(I)無解，不等式組(II)0.2x100x5000.8x13640的解為625 x 7501因此，當顧客購置標價在625, 750元內(nèi)的商品時，可得到不小于的優(yōu)惠率。32例6.(上海1999)設橢圓C1的方程為 篤a2與 1 ( a b 0)，曲線C2的方程為b2y -，且C1與C2在x第一象限內(nèi)只有一個公共點D .(1) 試用a表示P點的坐標；(2

11、) 設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求 ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；(3) 記min y1,y2, , yn為幾畑 ,Yn中最小的一個，設g(a)是以橢圓&的半焦距為邊長的正方形的 面積，試求函數(shù) f(a) min g(a), S(a)表達式.解：前兩小題為常規(guī)題.1(1)將y 代入橢圓方程得,x2x_a2b2,2 2b x2 2a 0,把它看成關于x的二次方程,那么厶 a4b4 4a2b20a2b24, ab解得x2；，或x(舍去)，于是P點的坐標為 a ,22 a(2)在厶ABC 中，|AB| 2 . a2 b2二 S(a)2,a2b2a -，即 aa2 ,0 芻 1

12、 , - 0 S(a) 、2，即 S(a)的值域為(0 , . 2). a(3)這是個新概念學習題,給出了 min的記號及含義，要理解它的實質(zhì).要些考生在理解上有偏差，對g(a)與S(a)不能分類進行比擬.g(a) c2 a2 b2a2假設 g(a) S(a)，即84a 10a240,即44a 4 a 60,解得 a亠(舍), f(a) ming(a), S(a)4 , .2a4，6例7.(上海2002春)對于函數(shù)知函數(shù)f (x)(1)(2)(3)f (x)，假設存在1) ( a 0).x0 R，使f(x°)X。成立，那么稱X。為f (x)的不動點.已于直線2ax (b 1)x (b

13、當a 1 , b 2時，求函數(shù)f(x)的不動點；假設對任意實數(shù)b，函數(shù)f (x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍內(nèi)；在(2)的條件下，假設 y f (x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數(shù) f (x)的不動點，且 A、B兩點關1y kx 2 對稱，求b的最小值.2a 1分析：此題給出了一個“不動點的概念來考查學生的學習能力，主要是基于以下考慮：(1) 該概念學生在理解上不會感到困難，比擬適合目前學生的認知水平.(2) 該概念容易與學生已有的知識建立聯(lián)系，并可在新的情景下結(jié)合函數(shù)、方程和不等式的知識進行考查.(3) 該概念與函數(shù)圖像有較密切的聯(lián)系(不動點其實就是函數(shù)圖像與直線y x的交點的橫坐標).解：(1) f(x) x2 x 3，因為x0為不動點，因此有f(x0) X：x。Xo ,解得X01或X0 3，所以1和3為f (x)的不動點.(2)因為f ( x)恒有兩個不動點, 4a (b 1)> 0恒成立，即對于任意 所以0v av 1.f (x) =ax2+( b+1) x+ ( b 1) =x,b R, b2 4ab+4a>