高等代數(shù)第四章矩陣(1)

1、1第四章 矩陣 整理ppt11 1、矩陣概念的一些背景、矩陣概念的一些背景 矩陣是線性代數(shù)中最基本的概念之一，也矩陣是線性代數(shù)中最基本的概念之一，也是解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的一個強(qiáng)有力的武是解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的一個強(qiáng)有力的武器之一。器之一。2第四章 矩陣 整理ppt2 矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例古羅馬皇帝愷撒首先使用了這樣一種密碼：在保留明文中的大小寫、空格及標(biāo)點(diǎn)符號的前提下，把明文中的每一個字母轉(zhuǎn)化為英文字母表中的第4個字母。人們?yōu)榱思o(jì)念愷撒德，就把這種密碼稱為愷撒密碼。但是愷撒密碼有一個致命的缺陷，即每個字母與經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的字母分別在明文和密文出現(xiàn)的頻率是相通的。1929 年，Hill 提

2、出了一種克服愷撒密碼缺陷的密碼，該密碼以矩陣變換的方法建立字母組間的對應(yīng)關(guān)系，該方法的誕生從此使密碼學(xué)進(jìn)入了以數(shù)學(xué)方法處理問題的新階段。3第四章 矩陣 整理ppt3 化學(xué)反應(yīng)中方程式的配平是一個棘手的問題，但是有一類方程式的配平利用矩陣來處理十分簡潔方便。定義 化學(xué)反應(yīng)中每一個化合物含有它們所有的每一種原子的個數(shù)，排列成的數(shù)字表稱為化學(xué)反應(yīng)矩陣。4第四章 矩陣 整理ppt4定義1 由 個數(shù)排成的 行 列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為 矩陣矩陣.nm 矩陣的定義簡記為 .ijnmijnmaaAA ,m n

3、A這個數(shù)稱為 的元素 簡稱為元.5第四章 矩陣 整理ppt5例1 34695301是一個 實(shí)矩陣,42 2222222613i是一個 復(fù)矩陣,33 例2 n維向量也可以看成矩陣的特殊形式：n維維行向量行向量就是就是1n矩陣；矩陣；n維維列向量列向量就是就是n1矩陣。矩陣。6第四章 矩陣 整理ppt6 設(shè)設(shè)A(aij)mn，B(bij)lk，如果，如果ml，nk，且，且對于對于i1,2,m； j1,2,n, 都成立，都成立，稱稱AB。如 9532是一個 矩陣,41 421是一個是一個 矩陣矩陣,13 4是一個是一個 矩陣矩陣.11 例4ijija = b7第四章 矩陣 整理ppt72 2、矩陣的

4、運(yùn)算、矩陣的運(yùn)算1、加法、加法定義1設(shè)設(shè) 111212122212nnijsnsssnaaaaaaAaaaa 111212122212nnijsnsssnbbbbbbBbbbb 8第四章 矩陣 整理ppt8則則 111112121121212222221122ijijijsnsnnnnnsssssnsnCcabababababababababab 稱為稱為A和和B的的和和，記為，記為CA+B。注注 1）矩陣的加法就是矩陣對應(yīng)的元素相加。相加 的矩陣必須要有相同的行數(shù)和列數(shù)2）矩陣加法滿足 結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交換律： A+B=B+A。9第四章 矩陣 整理ppt93）元素全

5、為零的矩陣稱為零矩陣，記為Osn或或O。 對于所有的矩陣A，都有A+OA。4）矩陣 稱為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A。則有A +(- -A) O 。111212122212nnsssnaaaaaaaaa5）矩陣的減法定義為 ABA(- -B)6）秩( AB) 秩(A)秩(B)10第四章 矩陣 整理ppt10說明 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例1 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 11第四章 矩陣 整理ppt11引例 1 變量組之間的關(guān)系設(shè)有三組變量 x1 , x2 , x3 , x4 、 y1 , y2 , y

6、3 、 z1 , z2 ，它們之間的關(guān)系分別為) 1 (.,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax2、乘法12第四章 矩陣 整理ppt12)2(,232131322212122121111zbzbyzbzbyzbzby求 x1, x2, x3, x4與 z1, z2之間的關(guān)系. 把 (2) 代入 (1) ，得31kkikiyax2131jjkjkikzba2131jjkjikkzba3121kjkjikjzba13第四章 矩陣 整理ppt13) 3(. )4 , 3 , 2 , 1(3121izb

7、ajkkjikj如果用21)4()4 , 3 , 2 , 1(jjijiizcx來表示 x1 , x2 , x3 , x4 與 z1 , z2 之間的關(guān)系，比較(3) ，(4) 兩式，就有)5(. )2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(31jibackkjikij14第四章 矩陣 整理ppt14 設(shè)某地區(qū)有甲、乙、丙三個工廠, 每個工廠都產(chǎn) 品工 廠甲乙丙 20 30 10 45 15 10 70 2020 15 35 25產(chǎn)量(單位: 個) 如下表所示:生產(chǎn)、 4種產(chǎn)品.已知每個工廠的年15第四章 矩陣 整理ppt15已知每種產(chǎn)品的單價 ( 元/個 ) 和單位利潤(元/個)如下表所示:

8、項(xiàng) 目產(chǎn) 品單 價單位利潤 100 20 150 45 300 120 200 60求各工廠的總收入與總利潤.16第四章 矩陣 整理ppt16 容易算出各工廠的總收入與總利潤, 也項(xiàng) 目工 廠總收入總利潤甲乙丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775本例中的三個表格可用三個矩陣表示, 設(shè),6775197501035028000565015500602001203004515020100253515202070101545103020,C,BA可以列表如下:17第四章 矩陣 整理ppt17定義21 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b.A

9、BC iksnAakjnmBbijsmCc設(shè)，那么矩陣其中稱為A與B的乘積，記為例222263422142 C22 16 32 816?18第四章 矩陣 整理ppt18注 1）兩個矩陣相乘，必須第二個矩陣的行數(shù)與第一個矩陣的列數(shù)相等。2）計算法則：兩個矩陣A與B乘積的第i行第j列的元素等于第一個矩陣A的第i行與第二個矩陣B第j列的對應(yīng)元素乘積的和。3）矩陣乘法滿足;AB CA BC（1）結(jié)合律,A BCABAC;BC ABACA（2）分配律19第四章 矩陣 整理ppt194）矩陣乘法不滿足交換律，即一般來說ABBA例如 設(shè) 1111A 1111B則則,0000 AB,2222 BA.BAAB

10、故故5）矩陣乘法不滿足消去律，即當(dāng) 時，不一定有 ； ABACBC 因?yàn)橛缮侠梢钥吹?，兩個不為零的矩陣的乘積可以是零。20第四章 矩陣 整理ppt20100010001 定義3 主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的nn矩陣稱為n級單位矩陣，記為 ，簡記為E。nE顯然有snnsnssnsnA EAE AA特別的,如果 ,則稱 可交換.ABBA,A B21第四章 矩陣 整理ppt2111kkAAAA A定義4 設(shè)A是一nn矩陣，則A的方冪定義為由乘法結(jié)合律有注 1）方冪只能對行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣來定義。 2）一般來說klk llkklA AAAAkkkABA B22第四章 矩陣 整理ppt2

11、2mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbBAXB方程組變成方程組變成23第四章 矩陣 整理ppt23例3 設(shè)101211300514A 034121311121B則034101212111303110514121CAB 56710262171024第四章 矩陣 整理ppt243、數(shù)量乘法、數(shù)量乘法定義5 矩陣111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka()ijmnAakkA稱為矩陣與數(shù) 的數(shù)量乘積，記作。注

12、1）用數(shù)k乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上k。2）數(shù)量乘法滿足(1) kl AkAlA(2)k ABkAkB25第四章 矩陣 整理ppt25(4)1AA(5) k ABkABA kB(6)kAkE AA kE(7)kElEkl E(8) kElEkl E(3);kl Ak lA定義矩陣000000kkkEk 通常稱為數(shù)量矩陣。26第四章 矩陣 整理ppt264、轉(zhuǎn)置定義6 設(shè)111212122212nnsssnaaaaaaAaaa11211122212ssnnnsnaaaaaaAaaa 所謂A的轉(zhuǎn)置就是指矩陣27第四章 矩陣 整理ppt27注 1）sn矩陣的轉(zhuǎn)置是ns矩陣。2）矩陣的轉(zhuǎn)置滿足(

13、1) AA(2) ABAB(3) ABB A (4) kAkA例如122458A1425 ;28A 18 6B18.6B28第四章 矩陣 整理ppt28例4 已知已知,102324171,231102 BA.AB求解法1 102324171231102AB,1013173140 01714 133 10AB29第四章 矩陣 整理ppt29解法2ABB A 213012131027241.1031314170 30第四章 矩陣 整理ppt303 3、矩陣乘積的行列式與秩、矩陣乘積的行列式與秩1、乘積的行列式、乘積的行列式定理1 設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個nn矩陣，那么即矩陣乘積的行列式等于它的因子

14、的行列式的乘積。ABA B推論1 設(shè) 是數(shù)域P上的nn矩陣，于是1212mmA AAA AA12,mA AA31第四章 矩陣 整理ppt31定義1 數(shù)域P上的nn矩陣A稱為非退化的，如果 ；0A 推論2 否則稱為退化的。 設(shè)A,B是數(shù)域P上nn矩陣，矩陣AB為退化的充分 必要條件是A,B 中至少有一個是退化的。2、矩陣乘積的秩、矩陣乘積的秩設(shè)A,B分別是數(shù)域P上nm和ms矩陣，于是定理2即乘積的秩不超過各因子秩。秩( AB) min秩(A)，秩(B)12,tAA AA推論3 如果那么秩( A) 秩(Aj)1minj t 32第四章 矩陣 整理ppt32 如果矩陣如果矩陣B滿足滿足ABBAE ，

15、那么，那么B就稱為就稱為A的的逆矩陣逆矩陣，記為，記為A-1。 n級方陣矩陣級方陣矩陣A稱為稱為可逆可逆的，如果有的，如果有n級方陣級方陣B，使得使得 ABBAE這里這里E為為n級單位矩陣。級單位矩陣。4 4、矩陣的逆、矩陣的逆定義7定義81、矩陣的逆的定義注注 1）由矩陣乘法法則，只有方陣才有逆矩陣； 2）若 是可逆矩陣，則它的逆矩陣是唯一的.A33第四章 矩陣 整理ppt33例如 設(shè)111122,111122AB ,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB2、逆矩陣的求法定義9111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 設(shè)設(shè)Aij是矩陣是矩陣中元素中元素aij的代的代數(shù)

16、余子式，矩陣數(shù)余子式，矩陣11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 為為A的的伴隨矩陣伴隨矩陣。34第四章 矩陣 整理ppt34定理3 矩陣矩陣A是可逆的充分必要條件是是可逆的充分必要條件是A非退化，而非退化，而 1*10AAdAd 注注 1）由定理3可以看出，對于 n 級方陣A，B，如果 ABE，那么A，B就都是可逆并且它們互為逆 矩陣； 2）定理3中給出了求逆矩陣的公式，但計算量一 般較大。推論如果矩陣如果矩陣A，B可逆，那么可逆，那么 與與AB也可逆，且也可逆，且A 11AA 111ABBA 35第四章 矩陣 整理ppt35 1111,.AAAA若 可逆 則亦可逆 且總

17、結(jié) 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 2,0,AA若 可逆 數(shù)則可逆 且111.AA 3,A BAB若為同階方陣且均可逆 則亦可逆 且 1ABB1 1 A .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A 114,.AAAA若 可逆 則 亦可逆 且 115,.AAA若 可逆 則有36第四章 矩陣 整理ppt36 矩陣矩陣A是一個是一個sn矩陣，如果矩陣，如果P是是ss可逆矩陣，可逆矩陣，Q是是nn可逆矩陣，那么秩可逆矩陣，那么秩(A)=秩秩(PA)=秩秩(AQ)定理4例1 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解123221343A 20,.1存在存在 A, 2341211 A, 3331

18、212 A37第四章 矩陣 整理ppt37同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 38第四章 矩陣 整理ppt38,331212321 A.1151531132 B解331212321 A010430321 ,?,.A B下列矩陣是否可逆 若可逆 求出其逆矩陣?yán)?4 , 0 .A可可逆逆所所以以39第四章 矩陣 整理ppt39, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A3411033332312322

19、21 同同理理可可求求得得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 3154041334140第四章 矩陣 整理ppt401151531132 B由由于于, 0 .B不不可可逆逆故故, 022 EAA由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA220,:.AAAEA設(shè)方陣 滿足方程證明可逆例4.可可逆逆故故A1 A證明41第四章 矩陣 整理ppt41對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算. 具體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分

20、塊矩陣.5 5、矩陣的分塊、矩陣的分塊,321 BBB bbaaA110101000001例如（1）42第四章 矩陣 整理ppt42 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即（2）43第四章 矩陣 整理ppt43那那末末列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,1）加法 設(shè)矩陣A與B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的分塊法，有44第四章 矩陣 整理ppt44 11112 ,rssrAAAAA設(shè)乘為數(shù)

21、數(shù)那么1111.rssrAAAAA45第四章 矩陣 整理ppt45 （3）乘法乘法 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A(aik)sn，B(bkj)nm,把把A，B分為一些小矩陣：分為一些小矩陣： 其中每個其中每個Aij是是sinj小矩陣，每個小矩陣，每個Bij是是nimj小小矩陣。于是有矩陣。于是有1211112122122212rrrllllrmmmnBBBnBBBBnBBB 1211121122122212lllttttlnnnAAAssAAAAsAAA 46第四章 矩陣 整理ppt461211112122122212rrrttttrmmmsCCCsCCCCABsCCC 11221(1,2, ;1,2, )p

22、qpqpqpllqlpkkqkCA BA BA BA Bpt qr 47第四章 矩陣 整理ppt47 114 ,srAAA設(shè)轉(zhuǎn)置rA11sA11.TTTsrAAA則TsA1TrA148第四章 矩陣 整理ppt48 5AnA設(shè) 為 階方陣，若 的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣。即,21 sAAAAOO1,2,.iAisA其中都是準(zhǔn)對陣 則稱為角矩陣方12.sAA AA準(zhǔn)對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì)準(zhǔn)對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì): :49第四章 矩陣 整理ppt49(6)對于兩個有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣對于兩個有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣12000000lAAA

23、A 12000000lBBBB 1122000000llA BA BABA B 50第四章 矩陣 整理ppt501122000000llABABABAB 11111221000000000000llAAAAAA 如果如果A1，A2，Al都是可逆矩陣都是可逆矩陣51第四章 矩陣 整理ppt51例1 設(shè)設(shè),1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解分塊成分塊成把把BA, 10011001A00001121 , EEO1A52第四章 矩陣 整理ppt52 0211140110210101B 11B E21B22B則則 2221111BBEBEAOEAB.2

24、212111111 BABBAEB53第四章 矩陣 整理ppt53.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 54第四章 矩陣 整理ppt54于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 55第四章 矩陣 整理ppt55.,ABABA 求求,100100000001 bbaaA設(shè)設(shè) bbaaB100000001000例2分塊分塊將將BA, bbaaA100100000001,0021 AA,011 aaA;112 bbA解56第四章 矩陣 整理p

25、pt56 bbaaB100000001000,0021 BB,101 aaB;102 bbB 21210000BBAABA,002211 BABA aaaaBA100111,2112 aa57第四章 矩陣 整理ppt57 bbbbBA101122,2212 bb.2200120000210012 bbaa 21210000BBAABA 221100BABA58第四章 矩陣 整理ppt58 212121000000AABBAAABA,00222111 ABAABA,123223111 aaaaaaABA,231223223222 bbbbbbABA59第四章 矩陣 整理ppt59 2121210

26、00000AABBAAABA 22211100ABAABA.23001220000001232233223 bbbbbbaaaaaa60第四章 矩陣 整理ppt60例3 設(shè)設(shè),120130005 A.1 A求求解 120130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A61第四章 矩陣 整理ppt61;321112 A 12111AOOAA.3201100051 ,12132 A62第四章 矩陣 整理ppt626 6、初等矩陣、初等矩陣 由單位陣由單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣。定義1三類初等矩陣三類初等矩陣 - -交換交換 的第的第

27、 行與第行與第 行行( (或第或第 列與列與第第 列）列）得到的初等矩陣得到的初等矩陣；E( , )P i jijij - -把把 的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行行( (或或第第 列的倍加到第列的倍加到第 列列) )得到的初等矩陣得到的初等矩陣。 ( , ( )P i j kEjkiij( ( )P i k - -用數(shù)域用數(shù)域 中的數(shù)中的數(shù) 乘乘 的第的第 行行( (或或第第 列列) )得到的初等矩陣。得到的初等矩陣。 PkEii63第四章 矩陣 整理ppt63引理 對于一個對于一個sn矩陣矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的的左邊乘上相應(yīng)的ss初

28、等矩陣；對初等矩陣；對A作一初等列變作一初等列變換就相當(dāng)于在換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的的右邊乘上相應(yīng)的nn初等矩陣。初等矩陣。 矩陣矩陣A與與B稱為稱為等價等價的，如果的，如果B可以由可以由A經(jīng)過一經(jīng)過一系列次初等變換得到。系列次初等變換得到。注 初等矩陣皆可逆，且其逆仍為同類初等矩陣： 1( , )( , ),P i jP i j11( ( )( (),P i kP i k1( , ( )( , ()P i j kP i jk定義264第四章 矩陣 整理ppt64定理1 任意一個任意一個sn矩陣矩陣A作都與一形式為作都與一形式為1 0000 1000 0100 0000 000 的矩陣等

29、價，它稱為矩陣的矩陣等價，它稱為矩陣A的的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形，主對角線上，主對角線上1的的個數(shù)等于個數(shù)等于A的秩的秩(1的個數(shù)可以是零的個數(shù)可以是零)。注 矩陣等價具有反身性、對稱性、傳遞性。 65第四章 矩陣 整理ppt65例1用初等變換將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形用初等變換將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形1 1 3 11 3 2 52 2 6 72 4 5 6A 1 13 11 00 01 00 00 21 40 21 40 21 40 00 50 00 50 00 50 21 40 21 40 00 01 0 0 01 0 0 01 0 0 00 2 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 50 0 0 1

30、0 0 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0A解66第四章 矩陣 整理ppt66注 矩陣A、B等價的充分必要條件是具有初等矩陣P1，Pl，Q1，Qt，使1212ltAP PPBQ QQ n級矩陣級矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：一些初等矩陣的乘積：12mAQ QQ 兩個兩個sn矩陣矩陣A，B等價的充分必要條件為，存等價的充分必要條件為，存在可逆的在可逆的s級矩陣級矩陣P與可逆的與可逆的n級矩陣級矩陣Q使使APBQ 定理6推論1 67第四章 矩陣 整理ppt67推論2 可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位陣。單位陣。注 矩陣求逆的方法11AAA伴隨矩陣法： ；( ,) 初等行變換初等列變換（）或-1-1A EE,AAEEA初等變換法：68第四章 矩陣 整理ppt68例20 1211421 0A ，求，求A-1。0 12 1 0 01 14 0 1 01 14 0 1 00 12 1 0 021 0 0 0 121 0 0 0 1 1140 101 140100