最小二乘法原理和曲線擬合

1、word最小二乘法的根本原理和多項式擬合一 最小二乘法的根本原理從整體上考慮近似函數(shù)同所給數(shù)據(jù)點 (i=0,1,m)誤差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差 (i=0,1,m)絕對值的最大值，即誤差 向量的范數(shù)；二是誤差絕對值的和，即誤差向量r的1范數(shù)；三是誤差平方和的算術平方根，即誤差向量r的2范數(shù)；前兩種方法簡單、自然，但不便于微分運算 ，后一種方法相當于考慮 2范數(shù)的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和來 度量誤差 (i=0，1，m)的整體大小。數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù) (i=0,1,，m)，在取定的函數(shù)類中,求,使誤差(i=0,1,m)的平方和最小，即

2、=從幾何意義上講，就是尋求與給定點 (i=0,1,m)的距離平方和為最小的曲線圖6-1。函數(shù)稱為擬合 函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法.61二 多項式擬合假設給定數(shù)據(jù)點 (i=0,1,m)，為所有次數(shù)不超過的多項式構成的函數(shù)類，現(xiàn)求一,使得 (1)當擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式1的稱為最小二乘擬合多項式。特別地，當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。顯然為的多元函數(shù)，因此上述問題即為求的極值 問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得 (2)即 (3)3是關于的線性方程組，用矩陣表示為 (4)式3或式4稱為正規(guī)方程組或法方

3、程組?？梢宰C明，方程組4的系數(shù)矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式4中解出 (k=0,1,，n)，從而可得多項式 (5)可以證明，式5中的滿足式1，即為所求的擬合多項式。我們把稱為最小二乘擬合多項式的平方誤差，記作由式(2)可得 (6)多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步： (1) 由數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形散點圖，確定擬合多項式的次數(shù)n；(2) 列表計算和；(3) 寫出正規(guī)方程組，求出；(4) 寫出擬合多項式。在實際應用中，或；當時所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式。 例1 測得銅導線在溫度()時的電阻如表6-1，求電阻R與溫度 T的近似函數(shù)關系。i0123456()19.12

4、5.030.136.040.045.150.076.3077.879.2580.882.3583.985.1解 畫出散點圖圖6-2，可見測得的數(shù)據(jù)接近一條直線，故取n=1，擬合函數(shù)為列表如下i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正規(guī)方程組為解方程組得故得R與T的擬合直線為利用上述關系式，可以預測不同溫度時銅導線的電阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即預測溫度T=-242.5時，銅導線無電阻。6-2例2     實驗數(shù)據(jù)如下表  i01234567813456789101054211234試用最小二乘法求它的二次擬合多項式。解 設擬合曲線方程為列表如下I01101111010135927811545244166425616643522512562510504613621612966365714934324017496826451240961612