A-初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)知識(shí)點(diǎn).10.13

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料第一講數(shù)的整除一、內(nèi)容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B豐0)所得的商A/B是整數(shù)，那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整數(shù)整除些數(shù)的整除特征除數(shù)能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8 或 125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被 3或9整除(如771, 54324)11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減，其差能被11整除(如 143,1859,1287,908270 等)7,11,13從右向左每三位為一段，奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減，其差能被 7或11或13整除.(如1001 , 22743, 17567, 21

2、281等)能被7整除的數(shù)的特征:抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)的2倍 其差能被7整除。如 1001100 2= 98能被7整除又如 7007700 14= 686,68 12= 56能被 7 整除能被11整除的數(shù)的特征：抹去個(gè)位數(shù)如 1001又如10285減去原個(gè)位數(shù)其差能被11整除100 1 = 99能 11 整除1028 5= 1023102 3= 99能 11 整除第二講倍數(shù)約數(shù)一、內(nèi)容提要1、兩個(gè)整數(shù) A和B B豐0，如果B能整除A記作B | A，那么A叫做B的 倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如3 | 15, 15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2、 因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。

3、0是任何非0整數(shù) 的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3、 整數(shù)A A工0的倍數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，并且以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，0,± A , ± 2A , 都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有土 5,± 10 , 。4、整數(shù) AA工0的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)的，其 中必包括土 1和土 A。例如6的約數(shù)是土 1，土 2，土 3，土 6。5、通常我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和 最犬的公約數(shù)。6、公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)例如 15與28互質(zhì)。7、在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)=除數(shù)X商數(shù)+余數(shù)。假設(shè)用字母

4、表示可記作：A=BQ + R，當(dāng)A , B , Q, R都是整數(shù)且B豐0時(shí)，A R能被B整除。例如23= 3X 7 + 2,貝U 23 2能被3整除。第三講 質(zhì)數(shù) 合數(shù)一、內(nèi)容提要1、正整數(shù)的一種分類(lèi)：1質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)的定義 ：如果一個(gè)大于 1的正整數(shù),只能被 1 和它本身整除,那么這個(gè)正整數(shù) 叫做質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)也稱(chēng)素?cái)?shù) 。合數(shù)的定義 ：一個(gè)正整數(shù)除了能被 1 和本身整除外,還能被其他的正整數(shù)整除,這 樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。2、根椐質(zhì)數(shù)定義可知 質(zhì)數(shù)只有 1 和本身兩個(gè)正約數(shù)。 質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù) 2。如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù),那么其中必有一個(gè)是 2； 如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù),那么其中也必有一個(gè)是 2

5、。3、任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。能寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。第四講 零的特性一、內(nèi)容提要 一零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù),是整數(shù),是偶數(shù)。1、零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)。例如：海拔 0 米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高 收支平衡可記作結(jié)存 0 元。2、零是判定正、負(fù)數(shù)的界限。假設(shè)a >0那么a是正數(shù)，反過(guò)來(lái)也成立，假設(shè)a是正數(shù)，那么a> 0記作 a> 0a 是正數(shù)讀作 a> 0 等價(jià)于 a 是正數(shù)b<0b 是負(fù)數(shù)c> 0c 是非負(fù)數(shù)即 c 不是負(fù)數(shù)，而是正數(shù)或0d < 0d 是非正數(shù) 即

6、d 不是正數(shù)，而是負(fù)數(shù)或0)e0e 不是 0即 e 不是 0，而是負(fù)數(shù)或正數(shù)3、在一切非負(fù)數(shù)中有一個(gè)最小值是0。例如絕對(duì)值、平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的最小值都是0。記作：lap 0,當(dāng)a=0時(shí)，丨a丨的值最小，是 0,a2> 0, a2有最小值0當(dāng)a=0時(shí)。4、在一切非正數(shù)中有一個(gè)最大值是0。例如 一|x|w 0,當(dāng)x = 0時(shí)，一|x值最大，是0x豐0時(shí)都是負(fù)數(shù)。(x 2)2 < 0，當(dāng)x = 2時(shí)，(x 2)2的值最大，是0。二零具有獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)1、乘方：零的正整數(shù)次幕都是零。2、除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零不能作除數(shù)。從而推出，0沒(méi)有倒數(shù)，分?jǐn)?shù)的分母不能是0。3、

7、乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即ax 0 = 0, 反過(guò)來(lái)，如果ab=0,那么a、b中至少有一個(gè)是 0。要使等式xy=0成立，必須且只需x=0或y=0。4、加法：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。反過(guò)來(lái)也成立。即a、b互為相反數(shù) a+b=05、減法：兩個(gè)數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負(fù)來(lái)判定，假設(shè) a-b=0,那么 a=b;假設(shè) a-b> 0,那么 a> b;假設(shè) a-bv 0,那么 av b。 反過(guò)來(lái)也成立，當(dāng) a=b時(shí)，a-b=0 ;當(dāng)a>b時(shí),a-b>0 ;當(dāng)a<b時(shí),a-b<0.三在近似數(shù)中，當(dāng)0作為有效數(shù)字時(shí)，它表示不同的精確度。例如近似數(shù)與不同，前者

8、表示精確到即 1分米，誤差不超過(guò)5厘米； 后者表示精確到即1厘米，誤差不超過(guò)5毫米?？捎貌坏仁奖硎酒渲捣秶缦拢篧 w近似數(shù) 1.60<1605第五講an的個(gè)位數(shù)一、內(nèi)容提要1. 整數(shù)a的正整數(shù)次幕an,它的個(gè)位數(shù)字與 a的末位數(shù)的n次幕的個(gè)位數(shù)字相同。 例如 20023與23的個(gè)位數(shù)字都是8。2. 0, 1, 5, 6,的任何正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)字都是它們本身。例如57的個(gè)位數(shù)是5,620的個(gè)位數(shù)是6。3. 2, 3, 7的正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律見(jiàn)下表：指數(shù)12345678910底2248624862433971397139數(shù)77931793179其規(guī)律是：2的正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)是按

9、 2、4、8、6四個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即 24k+1與 21, 24k+2與22, 24k+3與23, 24k+4與24的個(gè)位數(shù)是相同的K是正整數(shù)。3和7也 有類(lèi)似的性質(zhì)。4. 4, 8, 9的正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用4= 22,8 = 23 , 9 = 32轉(zhuǎn)化為以2、3為底的幕。5. 綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a4k+m與am的個(gè)位數(shù)相同k,m都是正整數(shù)。第六講數(shù)學(xué)符號(hào)一、內(nèi)容提要數(shù)學(xué)符號(hào)是表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特殊文字。每一個(gè)符號(hào)都有確定的意義，即當(dāng)我們把 它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學(xué)符號(hào)一般可分為：1、元素符號(hào)：通常用小寫(xiě)字母表示數(shù)，

10、用大寫(xiě)字母表示點(diǎn)，用O和表示圓和 三角形等。2、關(guān)系符號(hào)：如等號(hào)，不等號(hào)，相似s,全等旦，平行/,垂直丄等。3、運(yùn)算符號(hào)：如加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方、絕對(duì)值等。4、邏輯符號(hào)：略5、約定符號(hào)和輔助符號(hào)： 例如我們約定正整數(shù) a和b中，如果a除以b的商的整數(shù)局部記作Z a，而它的余數(shù)記作 R-，那么bbZ ¥= 3,10R = 1;又如設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，那么5.2 =325，5.2 = 6，= 0，3 = 3。3正確使用符號(hào)的關(guān)健是明確它所表示的意義即定義對(duì)題設(shè)中臨時(shí)約定的符號(hào)，一定要扣緊定義，由簡(jiǎn)到繁，由淺入深，由具體 到抽象，逐步加深理解。在解題過(guò)程中為了簡(jiǎn)明表述，需要臨

11、時(shí)引用輔助符號(hào)時(shí)，必須先作出明確的 定義，所用符號(hào)不要與常規(guī)符號(hào)混淆。第七講用字母表示數(shù)內(nèi)容提要和例題1、用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡(jiǎn)明而普遍地表達(dá)出來(lái)，從具體 的數(shù)字計(jì)算到用抽象的字母概括運(yùn)算規(guī)律上，是一種飛躍。2、用字母表示數(shù)時(shí)，字母所取的值，應(yīng)使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實(shí)際問(wèn)題 有意義。例如寫(xiě)出數(shù)a的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù)1解：當(dāng)0時(shí)，a的倒數(shù)是a 設(shè)n為整數(shù)，2n可表示所有偶數(shù)。3、命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒(méi)有說(shuō)明的情況下，它表示所學(xué)過(guò)的數(shù)， 并且能使題設(shè)有意義。例題 化簡(jiǎn)：丨x - 3丨x<3| x+5|解： x<3, x 3<0,x

12、 3|= x 3= x + 3當(dāng) x> 5 時(shí)，| x + 5 |= x + 5,當(dāng)x < 5時(shí)，| x + 5 |= x 5此題x表示所有學(xué)過(guò)的數(shù)例十位上的數(shù)是 a,個(gè)位數(shù)是b，試寫(xiě)出這個(gè)兩位數(shù)解：這個(gè)兩位數(shù)是 10a+b此題字母a、b的取值是默認(rèn)題設(shè)有意義，即a表示1到9的整數(shù)，b表示0 到9的整數(shù)4、用字母等式表示運(yùn)算定律、性質(zhì)、法那么、公式時(shí)，一般左邊作為題設(shè)，所用的字 母是使左邊代數(shù)式有意義的，所以只對(duì)變形到右邊所增加的字母的取值加以說(shuō)明。例如用字母表示：分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)分?jǐn)?shù)除法法那么解：分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)是 - bmm工0, -m工oa ama a ma作為左邊的分母不另說(shuō)明

13、0；_ b d b c,、,dz 0 d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說(shuō)明。a c a d5、用字母等式表示運(yùn)算定律、性質(zhì)、法那么、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時(shí)字母取值范圍有變化時(shí)應(yīng)加說(shuō)明。例如： 乘法分配律，順用 a(b+c)=ab+ac, 1 (1616 24 ) 2 24 =128171717 17 17逆用5axxSS路程S=速度V X時(shí)間T,V= T工0, T= V工0TV6、用因果關(guān)系表示的性質(zhì)、法那么，一般不能逆用。例如：加法的符號(hào)法那么如果a>0, b>0，那么a+b>0,不可逆絕對(duì)值性質(zhì)如果a>0,那么|a|=a

14、,也不可逆假設(shè)|a|=a那么a> 07、有規(guī)律的計(jì)算，常可用字母表示其結(jié)果，或概括成公式。例1:正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個(gè)？不同的n位數(shù)呢?解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù) 10000前的所有正整數(shù),即 99999-9999=90000.推廣到n位正整數(shù)，那么要觀察其規(guī)律一位正整數(shù)，從1到9共9個(gè)， 記作9 X 1二位正整數(shù)從10到99共90個(gè)， 記作9X 10三位正整數(shù)從100到999共900個(gè)，記作9 X 102四位正整數(shù)從 1000到9999共9000個(gè)， 記作9 X 103指數(shù)3=4-1 n位正整數(shù)共 9X 10 n-1個(gè)例21 111ACDEB在線(xiàn)段AB

15、上加了 3個(gè)點(diǎn)C、D、E后，圖中共有幾條線(xiàn)段？加n點(diǎn)呢？解：以A為一端的線(xiàn)段有：AC、AD、AE、AB 共4條以C為一端的線(xiàn)段有：除CA外 CD、CE、CB 共3條以D為一端的線(xiàn)段有：除DC、DA外 DE、DB 共2條以E為一端的線(xiàn)段有：除ED、EC、EA外 EB 共1條共有線(xiàn)段1+2+3+4=10條注意：3個(gè)點(diǎn)時(shí)，是從1加到4，因此如果是n個(gè)點(diǎn)，那么共有線(xiàn)段1+2+3+n+1= 1 n 1n 1= n 1n2條2 2第八講抽屜原那么一、內(nèi)容提要1、 4個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)3個(gè)抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋(píng)果不少于2 個(gè)即等于或多于 2個(gè)；如果7個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)3個(gè)抽屜，那么至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)

16、的 蘋(píng)果不少于3個(gè)即等于或多于 3個(gè)，這就是抽屜原那么的例子。2、如果用 m 表示不小于 m的最小整數(shù)，例如 -=3,62。那么抽屜原nn33那么可定義 為：m個(gè)元素分成n個(gè)集合m、n為正整數(shù)m>n，那么至少有一個(gè)集合里元素不少于 m個(gè)。n3、根據(jù)一的定義， m、n可求一；nn己知 一，那么可求一的范圍，例如 一 =3,那么2V 一 < 3; -=2, nnnn3x貝V 1v w 2，即3v x w 6, x有最小整數(shù)值 4。3第九講一元一次方程解的討論一、內(nèi)容提要1、方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元 方程的解也叫做根。例如：方程 2x + 6

17、= 0, x x-1=0,|x|=6, Ox=O, 0x=2 的解分別是 x= 3,x=0 或x=1, x= ± 6,所有的數(shù)，無(wú)解。2、關(guān)于x的一元一次方程的解根的情況：化為最簡(jiǎn)方程 ax=b后，討論它的解：當(dāng)0時(shí)，有唯一的解x=b ;a當(dāng)a=0且b豐0時(shí)，無(wú)解；當(dāng)a=0且b = 0時(shí)，有無(wú)數(shù)多解。T不管x取什么值，0x = 0都成立3、求方程ax=b(a工0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當(dāng)a|b時(shí)，方程有整數(shù)解；當(dāng)a| b，且a、b同號(hào)時(shí)，方程有正整數(shù)解；當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為最簡(jiǎn)方程ax=b第十講二元一次方程的整數(shù)解一、內(nèi)容提

18、要1、 二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，假設(shè)a,b的最大公約數(shù)能整除c,那么方程有整數(shù)解。即如果a,b|c那么方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時(shí)一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整數(shù)解。反過(guò)來(lái)也成立，方程 9x+3y=10和4x-2y=1都沒(méi)有整數(shù)解， 9, 3= 3,而3不能整除10;4, 2= 2，而2不能整除1。一般我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公約數(shù)，a,b中的a,b實(shí)為它們的絕對(duì)值。2、二元一次方程整數(shù)解的求法：假設(shè)方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無(wú)數(shù)多個(gè)，常引入整數(shù)k來(lái)表示它的通解即 所有的解。k叫做參變數(shù)。方法

19、一：整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解111 y 1 y 10y1 y解：x=2y (1),5551 y設(shè)k(k是整數(shù)，那么y=1-5k (2),5把2代入1得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整數(shù)解是x 11k2 k是整數(shù)y 1 5k方法二：公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解x x0x x0 bk那么通解是X0,y0可用觀察法y y。y y。 ak3、求二元一次方程的正整數(shù)解： 求出整數(shù)解的通解，再解 x,y的不等式組，確定 k值 用觀察法直接寫(xiě)出。第一講二元一次方程組解的討論一、內(nèi)容提要aix biy Ci1. 二元一次方程組的解的情況有以下三種：a2x b2y C2:當(dāng)魚(yú)

20、Ci時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多解。兩個(gè)方程等效a2b2C2:當(dāng)魚(yú)C時(shí)，方程組無(wú)解。兩個(gè)方程是矛盾的a2b2C2:當(dāng)ai即 aib2 a2biz 0時(shí)，方程組有唯一的解：a2b2Ci b?c?bix這個(gè)解可用加減消元法求得3i b?a 2dc? a iCi a 2ai b?a?bi2. 方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，一般是不定解，即有無(wú)數(shù)多解，假設(shè)要求整數(shù) 解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。3. 求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解把待定系數(shù)當(dāng)數(shù)再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。見(jiàn)例2、3第十二講用交集解題、內(nèi)容提要i .某種對(duì)象的全體組成一個(gè) 集合。組成集合的各個(gè)對(duì)象叫這個(gè)集合的元素。

21、例如6的正約數(shù)集合記作 6的正約數(shù) = i, 2, 3, 6,它有4個(gè)元素i, 2, 3, 6; 除以3余i的正整數(shù)集合是個(gè)無(wú)限集，記作除以3余i的正整數(shù) = i , 4, 7,i0，它的個(gè)元素有無(wú)數(shù)多個(gè)。2. 由兩個(gè)集合的所有公共元素組成的一個(gè)集合，叫做這兩個(gè)集合的交集例如6的正約數(shù)集合 A = i , 2, 3, 6, i0的正約數(shù)集合 B = i, 2, 5, i0,6與i0的公約數(shù)集合C = i , 2，集合C是集合A和集合B的交集。3. 幾個(gè)集合的交集可用圖形形象地表示， 右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)集合， 右邊的橢圓表示整數(shù)集合，中間兩個(gè)橢圓的公共局部，是它們的交集一一正整數(shù)集。 不等

22、式組的解集是不等式組中各個(gè)不等式解集的交集。例如不等式組2x 6解的集合就是X 2不等式1的解集x>3和不等式2的解集x > 2的交集，x>3. 如數(shù)軸所示：0234一類(lèi)問(wèn)題，它的答案要同時(shí)符合幾個(gè)條件，一般可用交集來(lái)解答。把符合每個(gè)條 件的所有的解即解的集合分別求出來(lái)，它們的公共局部即交集就是所求的答 案。有時(shí)可以先求出其中的一個(gè)一般是元素最多的解集，再按其他條件逐一篩選、 剔除，求得答案。如例2第十三講用枚舉法解題一、內(nèi)容提要有一類(lèi)問(wèn)題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意： 按一定的順序，有系統(tǒng)地進(jìn)行； 分類(lèi)列舉時(shí)，要做到既不重復(fù)又不違漏； 遇到較大數(shù)

23、字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入手，由列舉中找到規(guī)律。第十四講經(jīng)驗(yàn)歸納法一、內(nèi)容提要1 通常我們把“從特殊到一般的推理方法、研究問(wèn)題的方法叫做歸納法。通過(guò)有限的幾個(gè)特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法，也 叫做經(jīng)驗(yàn)歸納法。例如 由一12 = 1 ,一 1 3 =- 1 ，一 1 4 = 1 , 歸納出 一1的奇次幕是一 1,而一1的偶次幕 是1。 由兩位數(shù)從10到99共90個(gè)9 X 10，三位數(shù)從 100到999共900個(gè)9X 102,四位數(shù)有 9X 103= 9000個(gè)9X 103，歸納出n位數(shù)共有9 X 10n-1 個(gè) 由 1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=4

24、2推斷出從1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于 n2等。可以看出經(jīng)驗(yàn)歸納法是獲取新知識(shí)的重要手段，是知識(shí)攀緣前進(jìn)的階梯。2. 經(jīng)驗(yàn)歸納法是通過(guò)少數(shù)特例的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜測(cè)結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必 須進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗(yàn)。由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜測(cè)的結(jié)論，有可能是錯(cuò)誤的，所以肯定或否認(rèn)猜測(cè) 的結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明。 到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明第十五講 乘法公式一、內(nèi)容提要1 乘法公式也叫做簡(jiǎn)乘公式，就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接 應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母，一般可以表示數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，有的還可以推廣到 分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用乘法展開(kāi) ，還可以由右到左逆

25、用因式分 解,還要記住一些重要的變形及其逆運(yùn)算一一除法等。2 根本公式就是最常用、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。 完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式： a+b (a b)=a2 b2 立方和差公式： (a± b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推廣： 多項(xiàng)式平方公式： (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項(xiàng)式平方等于各項(xiàng)平方和加上每?jī)身?xiàng)積的 2 倍。 二項(xiàng)式定理： (a±b)3=a3±3a2b+3ab2± b3

26、(a± b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4a± b 5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b35ab4±b5注意觀察右邊展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律 由平方差、立方和差公式引伸的公式a+b (a3a2b+ab2b3)=a4 b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6注意觀察左邊第二個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律 在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè) n 為正整數(shù) (a+b)(a2n 1 a2" 2b+a2n 3b2_+ ab2n 2 b2n 1)=a2n b2n (a+b)(a2n a2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 類(lèi)似地：a b(an 1+an2b+an3b2+ abn2+bn1)=an bn4. 公式的變形及其逆運(yùn)算由 a+b 2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3 3ab(a+b)由公式的推廣可知：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)an- bn能被a b整除,a2n+1+b2n+1