不等式知識(shí)點(diǎn)劃分

1、1 .三個(gè)等價(jià)關(guān)系(兩實(shí)數(shù)大小的比較)(1) a>bua-b>0(2) a<b-a-b<0(3) a=buab=02 .不等式基本性質(zhì)(1)、對稱性：如果ab,那么b<a;如果b<a,那么a>b°(2)、傳遞性：如果a>b,b>c那么ac。(3)、加法單調(diào)性：如果a>b,那么a+c>b+c。推論1:如果aab且c>d,那么a+cab+d。(相加法則)推論：如果aab且c<d,那么a-c>b-d。(相減法則)(4)、乘法單調(diào)性：如果aAb且CA0,那么acabc；如果a>b且c<0那么ac&

2、lt;bc。推論1：如果aAb0且cd>0,那么ac>bd。(相乘法則)ab如果abA0且0cc<d,那么一a。(相除法則)cd推論2：如果a>b>0,那么an>bn(n=N且n>1)。(5)、性質(zhì)5：如果a>b>0,那么Va>Vb(n=N且na1)?！?、1，(6)y=的性質(zhì)Xa>b'11卜<一ab0ab解題基本方法：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。(2)注意課本上的幾個(gè)性質(zhì)成立的條件。另外需要特別注意：若ab>0,則。即不等式兩邊同號(hào)時(shí)，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號(hào)方

3、向要改變。如果對不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論。圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象)，直接比較大小。中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小例1已知abA0,c<d<0,則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是()A.acbdB.ac:bdC.adbcD.ad:二bc解：c<d<0=-c-dA0“-ac>bd=ac<bdab0例2判斷下列命題是否正確，并說明理由。11(1)若a>b,則2-a2'b(4)右ab,則一(一abab(2)若a>

4、b,則ac2>bc2(5)右aAb>0,c>dA0,則一a一cd(3)若ac2>bc2，則a>b(6)若aab,則a2ab2(5)(8)a#0,則ba(9)b1<a日11且一<一ab(6)應(yīng)為-da=1,c均為正(8)(9)(10)1+a22n-a+a(10),a=0左=1>0解:(1)xwR,2>0(2)(3)(4)c=0時(shí)，不成立由已知c:0a>0且b<0時(shí)不成立例3已知1Ma+PM4,解:b>cb=-2時(shí)不成立單調(diào)增加a為正數(shù)時(shí)成立a、b、c可均為負(fù)=1左=2n+1>0#1a#0左二二二01-a2n1a；1=a

5、：12n1a2MaPw1,求a、P、2口P的范圍。<a<P<P-_4-：_2設(shè)2：-m(:；:)n(:-)（二）不等式的解法1、次不等式:ax(1)(2).ba<0,解為x<a例1已知不等式（3a+2b）x+6（ab）M0與不等式3(a-2b)x+2(b3a)>0。mn=2m-n=-11m=23119")三222-3<-(：25M2一二b<0解為R解為,3(a2a+1)x+a2a+1<0同解，解不等式解：a三R,a2a+1>0/.3(a2a+1)x+a2-a+1<0的解為(3a+2b)xc-6(ab)中(3a+2b)A

6、0解x<6(a-b)3a2b由題意_1=_6(ab).3a=4b>033a2b代入所求：2bx6b：>01x<42、一元二次不等式：元二次不等式的求解流程：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.【例1】解不等式x2-3x-l0>0解：方程x2-3x-16的根是x1=x22三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.不，等式x23x10>0的解集為x|x<-2,或x>5例2不等式ax2+bx+c>0的解集為x|avxv3其中3>a>0,求不等式cx2+bx+av0的解集R解由已

7、知條件得a<0,.原不等式可化為x2+bx+£<0,aa2bcb-c-,a,3為方程x十一x十=0的兩根，J.=(Ct+P),=0(Paaaa>0,av0得cv0,.不等式cx2+bx+a<0可化為x2+x+>0accbba:工，F(xiàn)11、a1n,一=一黑一=T=一(一+二),一=>0,cac:工Pc一:中，不等式x2+-xa>0IPx2-x+L>0，它的解集,x|xA二或x<!；>.ccP；otpaPJ注意：根據(jù)解集的形式可以確定a<0及c<0。3、分式、高次不等式：【例1】解不等式一左三一<-1.x2-2

8、x-3思路分析一：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式的商，而右邊是非零常數(shù)，故需移項(xiàng)通分，右邊變?yōu)榱悖倮蒙痰姆?hào)法則，等價(jià)轉(zhuǎn)化成整式不等式組解法一：原不等式變?yōu)?5X一+K0,x-2x3x2-3x2.即<0Ux2-2x-32_,_2_,_x3x+2<0,_x-3x+2>0或1u2_2_x-2x-3>01x-2x-3<01vxv1或2vxv3.，原不等式的解集是x|-1<x<1或2vxv3.思路分析二：經(jīng)移項(xiàng)通分后，右邊變?yōu)榱?，將左邊化為幾個(gè)一次因式的積(商)的形式，可用數(shù)軸標(biāo)根法求解。解法二：原不等式變?yōu)?x2-3x2<。=(X-

9、1)(x-2)：0x2-2x-3(x-3)(x1)5-xx2-2x-3由數(shù)軸標(biāo)根法畫示意圖如右圖，可得不等式的解集為:x|-1<x<1或2vxv3.則該注意：利用數(shù)軸標(biāo)根法解高次不等式或分式不等式時(shí)，如果出現(xiàn)重因式因式可視為x-a來解，若n為偶數(shù)，則先將因式(x-af去掉，最后討論x=a是否為原不等式的解?！纠?】不等式(x-1)(x-2)(x-3)&0的解集是x1解析：數(shù)軸標(biāo)根法.答案：(-1,1)U2,34、含參數(shù)一元二次不等式解法：例1解關(guān)于x的不等式：x2+(a-2)x+a>0.2斛：x(a-2)xa0()一 2一 H：a -2 -4a_0 =a E 42/3

10、或 a >4+2V3 ,(2-a)1a-2-4a(2-a)-va-2-4a止匕H4兩根為x1二,x2二22(1)當(dāng)a<4273時(shí)，A>0,(2-a)-.a2-8a4(2-a).a2-8a4(*)解集為(-°°,-2)2(-2,(2)當(dāng)a=42J3時(shí)，A=0,(沖)解集為(叼愿1)=(、反1,);(3)當(dāng)4一2、/3<a<4+2.J3時(shí)，<0,(*)解集為R;(4)當(dāng)a=4+243時(shí)，4=0,(沖)解集為(m,V31)=(V31,收);(5)當(dāng)a>4+273時(shí)，A>0,(*)解集為(一00,(2 -a) -，a2 -8a 42(

11、2 - a) ，a2 - 8a 42二)例2解關(guān)于x的不等式：ax2(a+1)x+1<0.解：若a=0,原不等式之一x+1<0=x>1.11右a<0,原不等式仁(x-)(x-1)>0ux<一或x>1.aa1若aA0,原不等式u(x-)(x-1)<0.(*)a1其解的情況應(yīng)由1與1的大小關(guān)系決定，故a（1）當(dāng)a=1時(shí)，式（”）的解集為©；一，、1（2）當(dāng)a>1時(shí)，式（"）二-<x<1;a1(3)當(dāng)0<a<1時(shí)，式卜)匕1<x<-.a綜上所述，當(dāng)a <0時(shí)，解集為x1,、x<或

12、x>1；當(dāng)a=0時(shí)，解集為xx>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，解集為a，1，x1 <x <-；當(dāng) a =1 時(shí), a1解集為由；當(dāng)a>1時(shí)，解集為xcx<1.a例3解關(guān)于x的不等式:ax2 ax - 1 : 0.解:ax2 ax -1 : 0.(1)a =0 時(shí),()=-1：二0仁x三R.(2)a #0時(shí),則-： =a2+ 4a 2 0y a>0 或 a£-4,此時(shí)兩根為_ a _ J a2 4a -a - a2 4ax1 =, x2 =2a2a當(dāng)a >0時(shí),a - a . 4aA >0 , .(*)u < x <2

13、a-a a a2 4a;2a當(dāng)4<a<0 時(shí)，A <0當(dāng)a =4時(shí)，2=0,R且x豐一1 ；2當(dāng)()- x-a + va2 +4a 或2a 一X :-a - a2 4a2a綜上,可知當(dāng),- a -：a2 4a -a a2 4aa a0時(shí)，解集為(,2a2a);-4<aM0時(shí)，解集為R;a = -4時(shí)，解集為（一二，一一）-（一一,.二);當(dāng)a < 一4時(shí)，解集為一 一a 一 , a2 4a a(一二，；)-(一2a2a 4a2a二）.6、含絕對值的不等式基本定理：當(dāng)且僅當(dāng)ab>0時(shí)，等號(hào)成立。|a|-|b|w|a±b|<|a|+|b|解題基本

14、方法：討論法：討論絕對值中的式子大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式。幾何法：絕對值在幾何上表示的是距離，所以有的時(shí)候可以用幾何圖形(如數(shù)軸)去解釋含有絕對值的不等式。常見題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化：(1)一般地，不等式Ix|va(a>0)的解集是：X|-a<x<a.(2)不等式Ix|>a(a>0)的解集是x|x>a或x<a.(3)其推論為：|ax+b|<c(c>0)的解為：cvax+bvcIax+b|>c(c>0)的解為ax+b>c或ax+bvc.例1解不等式102x-1|v5.思路一：這是一個(gè)雙連不等式，利用絕對

15、值在數(shù)軸上的意義可以得出1wx1<5或一5<2x1W1,從而求出不等式的解.解：原不等式等價(jià)于1wx1<5或一5<2x1W1,即：2W次v6或一4v2xwo解得：1寂v3或2vxWQ故原不等式的解集為x12vxw或1<x<32x-1戶1=思路二：將原不等式轉(zhuǎn)化為J2x-1|<5進(jìn)而求出與不等式解集的交集.2x-1|<5解：原不等式等價(jià)于12x-1戶12x-1：二52x-1<5<2x-1A-512x-1A-5即l2x-1-1或L2x-1'T不等式組的解為1蟲v3.不等式組的解為一2vxWQ故原不等式的解集為x12vxw或1<

16、;x<3誤區(qū)點(diǎn)評：在進(jìn)行原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，容易發(fā)生以下失誤.在第一種解法中，將不等式轉(zhuǎn)化為1W次1<5或1W次1<5,-5:二2x-1:二52x-1-1在第二種解法中，將不等式轉(zhuǎn)化為l2x-1W-1含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對值號(hào)的不等式的解法.例2解不等式|x+3|+|x-3|>8.思路一：這是一個(gè)含有兩個(gè)絕對值符號(hào)的不等式，為了使其轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號(hào)的不等式，應(yīng)進(jìn)行分類討論.解：令x+3=0,x-3=0,得x=3或3.x之3=-3<x<3x+3x+3>8,解得：0.X<-、一x-3-x+38,解得：XV4.取的并集得原不等式的解為x>

17、4或xv4.c,點(diǎn)評：解這類絕對值符號(hào)里是一次式的不等式如：Ix-a|+|x-b|>c或Ix-a|-|xIx-a|>|xb|或|x-a|>x-b常用“零點(diǎn)分段法”.其一般步驟為：(1)分別求出每個(gè)絕對值為零的根，稱之為零點(diǎn)；(2)將各零點(diǎn)在數(shù)軸上標(biāo)出來，它們將數(shù)軸分成若干段；依次對各段上的x進(jìn)行討論，求出相應(yīng)所得不等式的解集；(4)取這些不等式解集的并集即得原不等式的解集.思路二：利用函數(shù)的圖象解題.解：分別畫出y1=Ix+3|+|x-3|與y2=8的圖象.-2x，62x=k由圖象觀察可知：要使，原不等式的解集為x :-3-3 < x < 3x-3y1>y2

18、,只須 xv 4 或 x> 4.x | xv 4 或 x>4.思路三：利用絕對值的幾何意義解題.解：| x+3 | + | x-3| > 8圖113表示數(shù)軸上與A(-3),B(3)兩點(diǎn)距離之和大于8的點(diǎn)，而|AB|=6,如圖112.113.因此，要找與A、B距離之和為8的點(diǎn)，只須由點(diǎn)B右移1個(gè)單位，或點(diǎn)A左移一個(gè)單位，如圖由圖象可得：原不等式的解集為x|x<4或x>4.一b I v c,或 | x a | > | x b | 的不等式,點(diǎn)評：對于形如Ixa|+|x+b|>c,|xa|x利用不等式的幾何意義或者畫出左右兩邊的圖象去解不等式，更為直觀，簡捷

19、.7、無理不等式例.解不等式缶-1&x-22x-l>0x-2202x-l解法一:即,所以x>5o所以原不等式的解集為 5, +8）。解法二：設(shè)也工一1工（t>0）。則x=-2,所以t2-2t-3 > 0,即t<-1或t>3。因?yàn)? o所以原不等式化為t<t>0,所以t> 3,所以x>5o1、比較法：（做差、做商）這是最常用的證明不等式的方法。求證:【例1】：已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b,ab【例2】：設(shè)a,bwR+,求證：aabb之（ab）2a -bb-a證明：作商得,a b(ab產(chǎn)a -b 弋產(chǎn)a01,ba-b一

20、二 Q2a-ba -2(-)2 >1,ba -bb 時(shí)，(a) =1ba -b aabb -(ab) 2ab > 0 時(shí)，a>1,ba-b(a)-1b2、綜合法:【例3】：已知3、分析法:利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式。a, b, c 是不全相等的正數(shù)，求證： a（b2 + c2） + b（c2 + a2） + c（a2+ b2） > 6 abc。從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題?！纠?】：設(shè)x>0,y>0,證明不等式：（x2+y2）2>（x3+y3）

21、3。證明：所證不等式即：(x2+y2)3>(x3+y3)2x6+y6+3x2y2(x2+y2)>x6+y6+2x3y3即：3x2y2(x2y2)2x3y3只需證:222xyxy32c2卡+y>2xy>-xy成35、放縮法這一類型比較靈活，記住一些放縮規(guī)則很重要。(x2112、2/33、3y)2(xy)312 ：二1 nn -1 n比如分子不變，分母變大（小）,分?jǐn)?shù)變?。ù螅?；相反分母不變，分子變?。ù螅?，分?jǐn)?shù)變?。ù螅?。八.一11【例6】：n之2,nwN,求證+f+L22321<n(n-1)1122L22326、反證法1+2=1一一：1n1n【例7】：設(shè)0<

22、a,b,c<1(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同時(shí)大于證明：設(shè)（1-a）b>1-,(14>1,(14-c)a>則三式相乘：ab < （1cc1一a)b?(1一b)c?(1-c)a<64(1-a)a又0 < a, b, c < 10：(1-a)a<()1同理：(1-b)b-,1(1-c)c<-,4以上三式相乘：（1-a）a?（1-b）b?（11c)c<64與矛盾,原式成立。（五）基本不等式1、在不等式的應(yīng)用中，經(jīng)常使用的不等式公式有占0；|a戶0；4a>0(a>0)；22十b+c至ab+bc+ca;若a

23、,bwR,那么a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。若a,bWR+,那么a+b>2Vab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。若a,b,cWR;那么a+b+c3VObc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。推廣：如果為包包-冏Wr+u0,那么a1+比+a3+.上工片e2a3e。（當(dāng)且僅當(dāng)ai=a2=a3=an時(shí)取"=")2、注意：定和定積原理：應(yīng)用公式的條件；取等號(hào)的條件；廣義地理解公式中的字母22公式的逆用、變用：一<v,ab<ab<Jab。112,2ab16例1. (1)求y=x2+16的最小值。 x,8,a,.42,a,.(2)求y=、'

24、x+十一的最小值。(3)若0<x<-,求x(2-5x)的最大值。解：(1)y=x2+g>2，16=8,當(dāng)且僅當(dāng)x2=12即x=±2時(shí)原式有最小值8。xx888(2) y=yx=(dx+1)+1>2V8-1=4'2-1;當(dāng)且僅當(dāng)xx+1=即x=9-422時(shí)x1,x1.x1mm 二、/ 1r5x +(2-5幻喈1工(2 - 5x1 = -5x(2-5x)14 -r =-5525當(dāng)且僅當(dāng)原式有最小值4M2-1。(3) 0<x<2,2-5x>0,51.，5x=2-5x,即x=-時(shí)，原式有取大值5一一一4、一1一例2.(1)已知x>0,求

25、y=2(3x十一)的最大值；(2)求f(x)=x+2的取值范圍。xx44一,444(1)x-0,.3x2,3x=3x43(3x)三-4.3=2(3x)三24.3xxxxx4從而有2-(3x+)的最大值為2-4<3ox1a例3.(1)(06陜西)已知不等式(x+y)(十)之9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()xyBA、8B、6C、4D、2(6)已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=1,則(1xy)(1+xy)()BA、有最小值工，也有最大值1B、有最小值3,也有最大值12 43C、有最小值一，但無取大值D、有取大值1，但無取小值412例4.若正實(shí)數(shù)x、y滿足1+-=1|x+y的最小值是多少？xy分析：本題主要考查最值的求法，函數(shù)與方程的思想，均值不等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化的思想，直線方程與數(shù)形結(jié)合的思想，以及靈活分析解決數(shù)學(xué)問題的能力解法一：:12=1,xy=(xy)1=(xy)(1-)-y2x3_2,23.當(dāng)且僅當(dāng)xyxyxyy2x即二行+1時(shí)取等號(hào)!1+2=1)=亞+2xy解法二：1=»,.x='(y2),xyy-2yy-222.xy=y二y二(y-2)3-2.23y-2y-2y-22當(dāng)且僅當(dāng)=丫2,即丫=2+42A2時(shí)取等號(hào)y-2一，、一i1232解法二：設(shè)x+y=b,則y