數(shù)值分析習(xí)題含答案

1、-第一章 緒論 * 班級 習(xí)題主要考察點：有效數(shù)字的計算、計算方法的比擬選擇、誤差和誤差限的計算。1假設(shè)誤差限為,則近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字.有效數(shù)字的計算解：，故具有3位有效數(shù)字。2 具有4位有效數(shù)字的近似值是多少.有效數(shù)字的計算解：，欲使其近似值具有4位有效數(shù)字，必需，即即取3.14109 , 3.14209之間的任意數(shù)，都具有4位有效數(shù)字。3，是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，問，有幾位有效數(shù)字.有效數(shù)字的計算解：，而，故至少具有2位有效數(shù)字。故至少具有2位有效數(shù)字。4設(shè)，的相對誤差為，求的誤差和相對誤差.誤差的計算解：，則誤差為 則相對誤差為 5測得*圓柱體高度的值為，底面半徑

2、的值為，求圓柱體體積的絕對誤差限與相對誤差限。誤差限的計算解：絕對誤差限為相對誤差限為6設(shè)的相對誤差為,求的相對誤差。函數(shù)誤差的計算解：，7計算球的體積，為了使體積的相對誤差限為，問度量半徑時允許的相對誤差限為多大.函數(shù)誤差的計算解：球體積為，欲使，必須。8設(shè)，求證：12利用1中的公式正向遞推計算時誤差逐步增大；反向遞推計算時誤差逐步減小。計算方法的比擬選擇解：如果初始誤差為，假設(shè)是向前遞推，有可見，初始誤差的絕對值被逐步地擴大了。如果是向后遞推，其誤差為可見，初始誤差的絕對值被逐步減少了。第二章 插值法 * 班級 習(xí)題主要考察點：拉格朗日插值法的構(gòu)造，均差的計算，牛頓插值和埃爾米特插值構(gòu)造，

3、插值余項的計算和應(yīng)用。1，求的拉氏插值多項式。拉格朗日插值解法一待定系數(shù)法：設(shè)，由插值條件，有解得：。故 。解法二基函數(shù)法：由插值條件，有2，用線性插值求的近似值。拉格朗日線性插值解：由插值節(jié)點與被插函數(shù)，可知，其線性插值函數(shù)為的近似值為。3假設(shè)為互異節(jié)點，且有試證明。拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)解：考慮輔助函數(shù)，其中，。是次數(shù)不超過的多項式，在節(jié)點處，有這說明，有n+1個互異實根。故，從而對于任意的均成立。4，用拋物線插值計算的值并估計截斷誤差。拉格朗日二次插值解：由插值條件，其拋物線插值函數(shù)為將代入，計算可得：。其余項為： 其中，故誤差的上界為：。5用余弦函數(shù)在，三個節(jié)點處的值，寫出二次拉格朗

4、日插值多項式, 并近似計算及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項估計值比擬。拉格朗日二次插值解：由插值條件，二次拉格朗日插值多項式為絕對誤差為：相對誤差為：余項為：，其中，其余項的上界為：比擬可知，實際計算所得的絕對誤差較余項公式所估計出的值要小一些。6函數(shù)值，求函數(shù)的四階均差和二階均差。均差的計算解：采用列表法來計算各階均差，有*y一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15從表中可查得：。*y一階均差二階均差48211072/3346186故。其實，根據(jù)均差的對稱性，該值在第一個表中就可以查到。7設(shè)求之值，其中，而節(jié)點

5、互異。均差的計算解：由均差可以表示成為函數(shù)值的線性組合，有而，故。8如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的牛頓插值多項式。牛頓插值多項式的構(gòu)造解：先構(gòu)造均差表*f(*)一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8-11/4故 。9求一個次數(shù)小于等于三次多項式，滿足如下插值條件：，。插值多項式的構(gòu)造解法一待定系數(shù)法：設(shè)，則，由插值條件，有解得：。故 解法二帶重節(jié)點的均差法：據(jù)插值條件，造差商表*y一階差商二階差商三階差商122422431312852故 10構(gòu)造一個三次多項式，使它滿足條件埃爾米特插值。解：設(shè)，利用插值條件，有解得：。11設(shè)。(1)試求在上的三次埃爾米特插

6、值多項式，使得，以升冪形式給出。(2)寫出余項的表達(dá)式。埃爾米特插值及其余項的計算。解：，設(shè)，解得：，。故 。，其中，。12假設(shè)，試證明：插值余項的應(yīng)用解：以為插值條件，作線性插值多項式，有其余項為故 。13設(shè)求使；又設(shè) ，則估計余項的大小。插值誤差的估計解：由插值條件，有解得：從而 其余項為第三章 函數(shù)逼近 * 班級 習(xí)題主要考察點：最小二乘法，最正確平方逼近，正交多項式的構(gòu)造。1 設(shè)，求于上的線性最正確平方逼近多項式。最正確平方逼近解：，法方程組為解得：，線性最正確平方逼近多項式為：。2 令，且設(shè),求使得為于上的最正確平方逼近多項式。最正確平方逼近解：，法方程組為解得：，線性最正確平方逼近

7、多項式為：。3證明：切比雪夫多項式序列在區(qū)間上帶權(quán)正交。正交多項式的證明解：對于，有對于，有故，序列在-1，1上帶權(quán)正交。4求矛盾方程組：的最小二乘解。最小二乘法解法一：求與，使得到達(dá)最小。于是，令即：，其最小二乘解為：。解法二：，記作，該矛盾方程組的最小二乘解，應(yīng)滿足以下方程組，即解之，得。5一組試驗數(shù)據(jù)22.53455.544.5688.59試用直線擬合這組數(shù)據(jù). (計算過程保存3位小數(shù))。最小二乘線性逼近解：作矩陣，法方程為即解得：，。其直線擬合函數(shù)為。6用最小二乘原理求一個形如的經(jīng)歷公式,使與以下數(shù)據(jù)相擬合.19253138 441932.34973.397.8最小二乘二次逼近解：等價

8、于對數(shù)據(jù)表361625961144419361932.34973.397.8作線性擬合。其法方程組為：解得：，故經(jīng)歷公式為。第四章 數(shù)值積分 * 班級 習(xí)題主要考察點：代數(shù)精度的計算，構(gòu)造插值型求積公式梯形，辛甫生公式，復(fù)化求積的計算，高斯公式的構(gòu)造。1給定求積公式試確定使它的代數(shù)精度盡可能高。代數(shù)精度的應(yīng)用和計算解：分別取，使上述數(shù)值積分公式準(zhǔn)確成立，有；解得：。故求積公式為。再取，左邊=，右邊=再取，左邊=，右邊=此求積公式的最高代數(shù)精度為3。2 求積公式，試確定系數(shù),及，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)準(zhǔn)確度，并給出代數(shù)準(zhǔn)確度的次數(shù)。代數(shù)精度的應(yīng)用和計算解：分別取，使求積公式準(zhǔn)確成立，有解

9、得：。求積公式為。再取，左邊=右邊故該求積公式的最高代數(shù)精度為2。3數(shù)值積分公式，是否為插值型求積公式，為什么.又該公式的代數(shù)準(zhǔn)確度為多少.插值型求積公式特征解：令，故代數(shù)精度為1。由于求積節(jié)點個數(shù)為2，代數(shù)精度到達(dá)1次，故它是插值型的求積公式。4如果，證明用梯形公式計算積分所得到的結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。梯形求積解：梯形求積公式是由過點，的線性插值函數(shù)在a,b上的定積分。注意到：在區(qū)間a,b上，而，有從而。其幾何意義可作以下解釋：在區(qū)間a,b上，故曲線下凹，直線位于曲線之上，因此，曲邊梯形的面積小于梯形面積。5用的復(fù)化梯形公式計算積分，并估計誤差。復(fù)化梯形求積解：，取求積節(jié)點為因，

10、則誤差大約為：。6設(shè),則用復(fù)化辛甫生公式計算，假設(shè)有常數(shù)使，則估計復(fù)化辛甫生公式的整體截斷誤差限。復(fù)化辛甫生公式解：7高斯求積公式 將區(qū)間0,1二等分，用復(fù)化高斯求積法求定積分的近似值。高斯公式解：對于作變量換，有對于作變量換，有8試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少.它是否為高斯型的.代數(shù)精度的應(yīng)用和計算，高斯點的特征解：分別取，使上述數(shù)值積分公式準(zhǔn)確成立，有；整理得：解得：。數(shù)值求積公式為再取，左邊=，右邊=再取，左邊=，右邊=可見，該數(shù)值求積公式的最高代數(shù)精度為5。由于該公式中的節(jié)點個數(shù)為3，其代數(shù)精度到達(dá)了次，故它是高斯型的

11、。9設(shè)是0,1區(qū)間上帶權(quán)的最高次冪項系數(shù)為1的正交多項式系1求。2構(gòu)造如下的高斯型求積公式。高斯求積解1：采用施密特正交化方法，來構(gòu)造帶權(quán)且在0，1上正交的多項式序列取，設(shè)，且它與在0，1上帶權(quán)正交，于是，故。設(shè)，且它與、在0，1上帶權(quán)正交，于是，解2：的零點為：。設(shè)分別取，使上述求積公式準(zhǔn)確成立，有，即解得：，。高斯型求積公式為第五章 非線性方程求根 * 班級 習(xí)題主要考察點：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根，迭代法求根的收斂性和收斂速度的討論。1用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05。二分法解：，在0，2連續(xù)，故0，2為函數(shù)的有根區(qū)間。1計算，故有根區(qū)間為1，2。2計算，故有根區(qū)間為

12、。3計算，故有根區(qū)間為。4計算，故有根區(qū)間為。5計算，故有根區(qū)間為。6計算，故有根區(qū)間為。7計算，故有根區(qū)間為。8假設(shè)取中點作為取根的近似值，其誤差小于取近似根，可滿足精度要求。2說明方程 在區(qū)間1，2有惟一根，并選用適當(dāng)?shù)牡ㄇ鬁?zhǔn)確至3位有效數(shù)，并說明所用的迭代格式是收斂的。迭代法解：，故函數(shù)單調(diào)增加，因此，該方程在1，2之間存在著惟一的實根。取迭代函數(shù)顯然，且故迭代 對任意初始值收斂。對于初值，其迭代值分別為，由于，故作為近似值，已準(zhǔn)確到了3位有效數(shù)字。3設(shè)有解方程的迭代法 (1)證明均有為方程的根。(2)此迭代法的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。 (3) 取用此迭代法求方程根的近似值，誤差

13、不超過，列出各次迭代值。和收斂性討論解(1)：，故該迭代對任意初值均收斂于方程的根。解(2)：由，故有。，故該迭代的收斂速度是1階的。解(3):取，代入迭代式，可計算出以下結(jié)果：，由于，取可滿足精度要求。4設(shè)，試證明：由 ，得到的序列收斂于。收斂性證明證明：由知，方程有根。由，當(dāng)時，有，即序列收斂于。5 設(shè)方程在0,1的根為，假設(shè)采用迭代公式，試證明：均有為方程的根)；此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。迭代法和收斂性討論解：迭代函數(shù)，當(dāng)故迭代在區(qū)間上整體收斂。設(shè)，則，且故 故該迭代的收斂速度為1階的。6 方程在附近有根，把方程寫成3種不同的等價形式：(1) ，對應(yīng)迭代格式：(2) ，對應(yīng)迭代

14、格式：(3) ，對應(yīng)迭代格式：討論這些迭代格式在時的收斂性。假設(shè)迭代收斂，試估計其收斂速度，選一種收斂格式計算出附近的根到4位有效數(shù)字。收斂速度的計算和比擬解：，故方程在上有根。，故方程在上有根。，故方程在上有根。對于迭代式1：，而，故該迭代局部收斂，且收斂速度為1階的。對于迭代式2：在上，又，故該迭代在上整體收斂，且收斂速度為一階的。對于迭代式3：在1，2上的值域為，該迭代式不收斂。取迭代式，進展計算，其結(jié)果如下：，取為近似值具有4位有效數(shù)字。7設(shè)(1) 寫出解的牛頓迭代格式；(2) 證明此迭代格式是線性收斂的。牛頓迭代的構(gòu)造與收斂速度解：牛頓迭代式為 ，方程的根為，因，故迭代局部收斂。又因

15、，故迭代收斂速度為1階。8 設(shè)計一個計算的牛頓迭代法，且不用除法其中。牛頓迭代法解：考慮方程，而，該迭代局部收斂。9 用牛頓法求的近似值，取或11為初始值，計算過程保存4位小數(shù)。牛頓迭代的構(gòu)造解：考慮方程，取為初始值，計算其迭代值如下：，取為初始值，計算其迭代值如下：，10設(shè)是非線性方程的m重根，試證明：迭代法具有至少2階的收斂速度。收斂速度證明解：設(shè)是非線性方程的m重根，則，且及，其牛頓迭代函數(shù)為牛頓迭代式故該迭代的收斂速度至少是2階的。11設(shè)是非線性方程的m重根，證明：用牛頓迭代法求只是線性收斂。收斂速度證明解：設(shè)是非線性方程的m重根，則，且及，其牛頓迭代函數(shù)為牛頓迭代式故收斂速度為1階的

16、。12設(shè)，在附近有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證：迭代法在附近是階收斂的。收斂速度證明解：將在點附近作泰勒展式，有，其中，在與之間。于是： ，其中，在與之間。由于，故，從而。因此，迭代的收斂速度為p。第六章 常微分方程數(shù)值解 * 班級 習(xí)題主要考察點：歐拉方法的構(gòu)造，單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論，線性多步法中亞當(dāng)姆斯方法的構(gòu)造和討論。1 用改良的歐拉公式，求以下微分方程的數(shù)值解取步長，并與準(zhǔn)確解作比擬。改良的尤拉公式的應(yīng)用解：原方程可轉(zhuǎn)化為 ，令，有解此一階線性微分方程，可得 。利用以下公式求在節(jié)點處的數(shù)值解，其中，初值為。MATLAB程序如下：*(1)=0;%初值節(jié)點y(1)=1;%初值fpri

17、ntf('*(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn',1,*(1),1,y(1),1,y(1);for i=1:5 yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*(i)/y(i);%預(yù)報值 yc=y(i)+0.2*(yp-2*(i)/yp);%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2;%改良值 *(i+1)=*(i)+0.2;%節(jié)點值 yy(i+1)=sqrt(2*(i+1)+1);%準(zhǔn)確解fprintf('*(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn',i+1,*(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1);end程序運行的結(jié)

18、果如下：*(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000*(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216*(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641*(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240*(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452*(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.7320512用四階龍格庫塔法求解初值問題，取, 求時的數(shù)值解. 要求寫出由

19、直接計算的迭代公式，計算過程保存3位小數(shù)。龍格庫塔方法的應(yīng)用解：四階龍格-庫塔經(jīng)典公式為由于，在各點的斜率預(yù)報值分別為：四階經(jīng)典公式可改寫成以下直接的形式：在處，有在處，有注：這兩個近似值與準(zhǔn)確解在這兩點的準(zhǔn)確值十分接近。3 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當(dāng)時，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解。解：顯然，是原初值問題的準(zhǔn)確解。求解一般微分方程初值問題的梯形公式的形式為對于該初值問題，其梯形公式的具體形式為，于是：亦即：注意到：，令，有從而 即：當(dāng)時，收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解。4對于初值問題，證明當(dāng)時，歐拉公式絕對穩(wěn)定。顯式和隱式歐拉公式的穩(wěn)定性討論證明：顯式的歐拉公式為從而，由于，因此，顯

20、式歐拉公式絕對穩(wěn)定。隱式的歐拉公式為，由于，因此，隱式的歐拉公式也是絕對穩(wěn)定的。5證明：梯形公式無條件穩(wěn)定。梯形公式的穩(wěn)定性討論解：對于微分方程初值問題其隱式的梯形公式的具體形式可表示為，從而由，可知，故隱式的梯形公式無條件穩(wěn)定。6設(shè)有常微分方程的初值問題，試用泰勒展開法，構(gòu)造線性兩步法數(shù)值計算公式，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截斷誤差主項。局部截斷誤差和主項的計算解：假設(shè)，利用泰勒展式，有又 欲使其具有盡可能高的局部截斷誤差，必須，從而 ，于是數(shù)值計算公式為 。該數(shù)值計算公式的局部截斷誤差的主項為7初值問題取步長，利用阿當(dāng)姆斯公式，求此微分方程在0，10上的數(shù)值解，求此公式的局部截斷誤差的

21、首項。阿當(dāng)姆斯公式的應(yīng)用解：假設(shè)，利用泰勒展開，有，而該阿當(dāng)姆斯兩步公式具有2階精度，其局部截斷誤差的主項為。取步長，節(jié)點，注意到，其計算公式可改寫為僅需取一個初值，可實現(xiàn)這一公式的實際計算。其MATLAB下的程序如下：*0=0;%初值節(jié)點y0=0;%初值for n=0:99 y1=y0+0.02*n+0.01; *1=*0+0.1; fprintf('*(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8fn',n+1,*1,n+1,y1); *0=*1; y0=y1;end運行結(jié)果如下：*( 1)=0.10000000,y(1)=0.01000000*( 2)=0.20000

22、000,y( 2)=0.04000000*( 3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000*( 4)=0.40000000,y( 4)=0.16000000*( 5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000*( 6)=0.60000000,y( 6)=0.36000000*( 7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000*( 8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000*( 9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000*( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000*( 11)=1.10000

23、000,y( 11)=1.21000000*( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000*( 13)=1.30000000,y( 13)=1.69000000*( 14)=1.40000000,y( 14)=1.96000000*( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000*( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000*( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000*( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000*( 19)=1.90000000,y( 19)=3.6100000

24、0*( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000*( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000*( 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000*( 23)=2.30000000,y( 23)=5.29000000*( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000*( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000*( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000*( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000*( 28)=2.80000000,y

25、( 28)=7.84000000*( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000*( 30)=3.00000000,y( 30)=9.00000000*( 31)=3.10000000,y( 31)=9.61000000*( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000*( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000*( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000*( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000*( 36)=3.60000000,y( 36)=12.9600000

26、0*( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000*( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000*( 39)=3.90000000,y( 39)=15.21000000*( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000*( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000*( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000*( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000*( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000*( 45)=4.50

27、000000,y( 45)=20.25000000*( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000*( 47)=4.70000000,y( 47)=22.09000000*( 48)=4.80000000,y( 48)=23.04000000*( 49)=4.90000000,y( 49)=24.01000000*( 50)=5.00000000,y( 50)=25.00000000*( 51)=5.10000000,y( 51)=26.01000000*( 52)=5.20000000,y( 52)=27.04000000*( 53)=5.30000000,y( 53

28、)=28.09000000*( 54)=5.40000000,y( 54)=29.16000000*( 55)=5.50000000,y( 55)=30.25000000*( 56)=5.60000000,y( 56)=31.36000000*( 57)=5.70000000,y( 57)=32.49000000*( 58)=5.80000000,y( 58)=33.64000000*( 59)=5.90000000,y( 59)=34.81000000*( 60)=6.00000000,y( 60)=36.00000000*( 61)=6.10000000,y( 61)=37.2100000

29、0*( 62)=6.20000000,y( 62)=38.44000000*( 63)=6.30000000,y( 63)=39.69000000*( 64)=6.40000000,y( 64)=40.96000000*( 65)=6.50000000,y( 65)=42.25000000*( 66)=6.60000000,y( 66)=43.56000000*( 67)=6.70000000,y( 67)=44.89000000*( 68)=6.80000000,y( 68)=46.24000000*( 69)=6.90000000,y( 69)=47.61000000*( 70)=7.00

30、000000,y( 70)=49.00000000*( 71)=7.10000000,y( 71)=50.41000000*( 72)=7.20000000,y( 72)=51.84000000*( 73)=7.30000000,y( 73)=53.29000000*( 74)=7.40000000,y( 74)=54.76000000*( 75)=7.50000000,y( 75)=56.25000000*( 76)=7.60000000,y( 76)=57.76000000*( 77)=7.70000000,y( 77)=59.29000000*( 78)=7.80000000,y( 78

31、)=60.84000000*( 79)=7.90000000,y( 79)=62.41000000*( 80)=8.00000000,y( 80)=64.00000000*( 81)=8.10000000,y( 81)=65.61000000*( 82)=8.20000000,y( 82)=67.24000000*( 83)=8.30000000,y( 83)=68.89000000*( 84)=8.40000000,y( 84)=70.56000000*( 85)=8.50000000,y( 85)=72.25000000*( 86)=8.60000000,y( 86)=73.9600000

32、0*( 87)=8.70000000,y( 87)=75.69000000*( 88)=8.80000000,y( 88)=77.44000000*( 89)=8.90000000,y( 89)=79.21000000*( 90)=9.00000000,y( 90)=81.00000000*( 91)=9.10000000,y( 91)=82.81000000*( 92)=9.20000000,y( 92)=84.64000000*( 93)=9.30000000,y( 93)=86.49000000*( 94)=9.40000000,y( 94)=88.36000000*( 95)=9.50

33、000000,y( 95)=90.25000000*( 96)=9.60000000,y( 96)=92.16000000*( 97)=9.70000000,y( 97)=94.09000000*( 98)=9.80000000,y( 98)=96.04000000*( 99)=9.90000000,y( 99)=98.01000000*(100)=10.00000000,y(100)=100.00000000第七章 線性方程組的迭代解法 * 班級 習(xí)題主要考察點：雅可比、高斯-塞德爾迭代法解線性方程組，及其收斂性討論。1證明：迭代格式收斂，其中。迭代法收斂性判斷解：因，故迭代收斂。2假設(shè)用雅

34、可比迭代法求解方程組迭代收斂的充要條件是。雅可比迭代法的收斂性解：原線性方程組的等價方程組為其雅可比迭代式為其收斂的充要條件是，即。3 用雅可比、高斯-塞德爾迭代法，求解方程組是否收斂.為什么.假設(shè)將方程組改變成為再用上述兩種迭代法求解是否收斂.為什么.雅可比、高斯-塞德爾迭代法的收斂性解：雅可比迭代式為其，故雅可比迭代發(fā)散。高斯-塞德爾迭代式為其，故高斯-塞德爾迭代發(fā)散。對于線性方程組，即，其雅可比迭代為，其，故雅可比迭代收斂。，其，故高斯-塞德爾迭代收斂。4證明解線性方程組的雅可比迭代收斂，其中。雅可比迭代收斂性判斷解：雅可比迭代為，其，故雅可比迭代收斂。5方程組，其中，(1) 試討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解此方程組的收斂性。(2) 假設(shè)有迭代公式，試確定的取值圍，使該迭代公式收斂。雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法和一般迭代法的收斂性討論解：雅可比迭代式為其，故雅可比迭代收斂。高斯-塞德爾迭代式為其，故高斯-塞德爾迭代收斂。對于以下迭代式故的特征值為，。當(dāng)，同時滿足，即，同時滿足時，亦即，時，有從而迭代收斂。6給出矩陣，為實數(shù)，試分別求出的取值圍：(1) 使得用雅可比迭代法解方程組時收斂；(2) 使得用高斯-塞德爾迭代法解方程組時收斂。雅可比、高斯-塞德爾迭代法及收斂性討論解：雅可比迭代為當(dāng)時，使雅可比迭代收斂。高斯-塞德爾迭代為仍然是當(dāng)時，使高斯-塞德爾迭代