隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的

1、隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差常用離散分布常用連續(xù)分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布的其他特征數(shù) (1) 擲一顆骰子， 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) X1，2，6. (2) n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù) Y 0，1，2，n (3) 某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù) Z 0，1，2， (4) 某種型號電視機(jī)的壽命 T : 0, +)定義2.1.1 設(shè) =為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間， 稱定義在上的實(shí)值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量.(1) 隨機(jī)變量X()是樣本點(diǎn)的函數(shù)， 其定義域?yàn)?，其值域?yàn)镽=(，) 若 X 表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)， 則 X=1.5 是不可能事件. (2) 若 X 為隨機(jī)變量，則 X = k 、 a

2、 X b 、 均為隨機(jī)事件.即 a X b =；a X() b (3) 注意以下一些表達(dá)式： X = k= X kX k； a b = X b.(4) 同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量. 若隨機(jī)變量 X 可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或 可列個(gè)，則稱 X 為離散隨機(jī)變量. 若隨機(jī)變量 X 的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 a, b，則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量. 前例中的 X, Y, Z 為離散隨機(jī)變量； 而 T 為連續(xù)隨機(jī)變量.定義2.1.2 設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù) x， 稱 F(x)=P( X x) 為 X 的分布函數(shù).基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降； (2) 有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，

3、F(+)=1； (3) 右連續(xù). 設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的可能取值為：x1，x2，xn， 稱 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 為 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn (1) pi 0， (2)1.iip (正則性)(非負(fù)性)求離散隨機(jī)變量的分布列應(yīng)注意： (1) 確定隨機(jī)變量的所有可能取值; (2) 計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率. 對離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意： (1) F(x)是遞增的階梯函數(shù); (2) 其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的; (3) 其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn); (4) 其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對應(yīng)的概率值.已知 X 的分布列如下：X 0 1

4、 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函數(shù).0, 01/3, 01( )1/2, 121, 2 xxF xxx解：X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布列.已知一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取3球，以X表示取出3只球中的最大號碼，寫出X的分布律 連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 (a, b). 因?yàn)閷B續(xù)隨機(jī)變量X，有P(X=x)=0， 所以無法仿離散隨機(jī)變量用 P(X=x) 來描述連續(xù)隨機(jī)變量X的分布. 注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.定義2

5、.1.4設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為F(x),則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量，( )( )xp t dtF x若存在非負(fù)可積函數(shù) p(x) ，滿足：稱 p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).密度函數(shù)的性質(zhì)(2)(1) ( ) 0; ( )1.p xp x dx滿足(1) (2)的函數(shù)都可以看成某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).(非負(fù)性)(正則性).()( )baP aXbp x dx注 (1) (1) (2) F(x) 是 (, +) 上的連續(xù)函數(shù); (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0; (4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).注 (2)(5)

6、 當(dāng)F(x) 在x點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), p(x) =( )F x當(dāng)F(x) 在x點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí), 可令p(x) =0.連續(xù)型密度函數(shù) X p(x) ( 不唯一 )( )( )xF xp t dt2.4. P(X=a) = 0離散型分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 10( )ap x dx01( )2ap x dxX2(2)41( ),2xf xex (0,1)YaXbN2設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，且，求a,b 0,1,(

7、)ln ,1, 1 .(1)px2,p0 x3,p2x5/2;xF xxxexe求2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為： (2)求概率密度函數(shù)？ 分賭本問題(17世紀(jì)) 甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元. 無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注. 當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時(shí)，中止了賭博. 問如何分賭本? 1. 按已賭局?jǐn)?shù)分： 則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/3 2. 按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望” 分： 因?yàn)樵儋€兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4 若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望” 分， 則甲的所得 X 是一個(gè)可能取值為0 或100 的隨機(jī)變量，其分布

8、列為： X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.定義2.2.1 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xn) = pn, n = 1, 2, . 若級數(shù)絕對收斂，則稱該級數(shù)為X 的1iiix p數(shù)學(xué)期望，記為1()iiiE Xx p 定義2.2.2 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),若積分 絕對收斂，則稱該積分為X 的( )xp x dx數(shù)學(xué)期望，記為()( )E Xxp x dx例2.2.1則E(X) = 100.2+00.1+100.4+200.3 = 8.X 10 0 10 20P 0.2 0.1 0.4 0.3 數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.

9、數(shù)學(xué)期望又稱為均值. 數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.定理2.2.1 設(shè) Y=g(X) 是隨機(jī)變量X的函數(shù)，若 E(g(X) 存在，則1( ) ()( ()( ) ( )iiig x P XxE g Xg x p x dx例2.2.2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為求 E(X2+2).= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4= 1+3/4+6/4 = 13/4解: E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)例2.2.32 , 01

10、( ) 0,xxp x0, 令則有 E(Y)=0, Var(Y)=1.()Var()XE XXY稱 Y 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化. 設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在(這時(shí)均值也存在), 則 對任意正數(shù)，有下面不等式成立Var()|() |2XPXE X2Var()|() |1XPXE X 例2.3.2設(shè) X0( )!00nxxexp xnx證明(02(1)1nPXnn證明:E(X) =0d!nxxxexn= n+1E(X2) =20d!nxxxexn= (n+1)(n+2)所以, Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(02(1)(|1)PXnPXEXn211(1)nn 1nn(這里, = n+1

11、)1(2)!nn1(3)!nn由此得 Var(X)=0P(X=a)=1 2.4.1 二項(xiàng)分布 記為 X b(n, p).X為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù), 0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk當(dāng)n=1時(shí)，稱 b(1, p) 為 0-1分布. 試驗(yàn)次數(shù)為 n=4, “成功”即取得合格品的概率為 p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ？Y b(4, 0.2) 一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項(xiàng)分布. 例2.4.1 設(shè)X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8

12、/9， 求 P(Y1).解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，從而解得: p = 2/3.= 1- (1p)4 = 80/81.若隨機(jī)變量 X 的概率分布為(),0,1, 2,!kP Xkekk則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布, 記為 X P().泊松定理定理2.4.1(1) !kkn knnnppekk (二項(xiàng)分布的泊松近似)在n重伯努里試驗(yàn)中，記 pn 為一次試驗(yàn)中成功的概率.若 npn ，則記為 X h(n, N, M).(),MNMknkP XkNn超幾何分布對應(yīng)于不

13、返回抽樣模型 ： N 個(gè)產(chǎn)品中有 M 個(gè)不合格品， 從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X .1()(1),1,2,kP Xkppk記為 X Ge(p) X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù). 幾何分布具有無記憶性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )負(fù)二項(xiàng)分布(巴斯卡分布)1()(1),1,1kk r rP Xkppkr rr記為X Nb(r, p). X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “第 r 次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù). (1) 二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立 0-1 隨機(jī)變量之和. (2) 負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和. 幾何分布Ge(p) 的數(shù)學(xué)期望 = 1

14、/p 0-1 分布的數(shù)學(xué)期望 = p 二項(xiàng)分布 b(n, p)的數(shù)學(xué)期望 = np 泊松分布 P() 的數(shù)學(xué)期望 = 0-1 分布的方差 = p(1p) 二項(xiàng)分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 幾何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。記為X N(, 2),2()1( )exp,222xp xx其中 0， 是任意實(shí)數(shù). 是位置參數(shù). 是尺度參數(shù).yxO正態(tài)分布的性質(zhì)(1) p(x) 關(guān)于 是對稱的.p(x)x0在 點(diǎn) p(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改變, (3) 若 固定, 改變,小p(x)

15、左右移動(dòng), 形狀保持不變. 越大曲線越平坦; 越小曲線越陡峭.p(x)x01(1) (0),2xx)( x1( ) x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).(2)()1( )xx (x) 的計(jì)算(1) x 0 時(shí), 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96)P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 1/2,所以 a 0, (a) =

16、0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例2.5.2一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理2.5.1 設(shè) X N(, 2),XY則 Y N(0, 1).推論: 若 X N(, 2), 則( )xF x若 X N(, 2), 則 P(Xa) = a1a 設(shè) X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X10|2) = P(8Xk = PXk, 則 k = ( ).練習(xí) (2)設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則

17、( ) 對任意的 ，都有 p1 = p2 對任意的 ，都有 p1 p2(3) 設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定(4)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 則求數(shù)學(xué)期望和方差？ 2 ,01,( )0,xxf x其它 ,正態(tài)分布的 3 原則設(shè) X N(, 2), 則 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 , 則 P(A) = P( X 3) = 2/3設(shè) Y 表示三次獨(dú)立觀測中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y b(3, 2/3)，所求概率為 P(Y2) = P(Y=2)+

18、P(Y=3)230233321213333CC =20/27例2.5.52.5.3 指數(shù)分布記為 X Exp(), ,0( )0,0 xexp xx其中 0.1,0( )0,0 xexF xx特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P( X s+t | X s )=P( X t )2.5.4 伽瑪分布記為 X Ga(, ),1( ), 0( )xp xxex其中 0， 0.為伽瑪函數(shù).10( )dxxex稱注 (1)(1) = 1, (1/2) =(n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp()Ga(n/2, 1/2) = 2(n)2.5.5 貝塔分布記為 X Be(a, b), 111( )

19、(1), 01( , )abp xxxxB a b其中a 0，b 0.稱1110( , )(1)dabB a bxxx為貝塔函數(shù).注 (1) (2) B(a, b) =B(b, a)B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1) 均勻分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指數(shù)分布 Exp() : E(X) = 1/ 正態(tài)分布 N(, 2) : E(X) = 伽瑪分布 Ga(, ) : E(X) = / 貝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b) 均勻分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指數(shù)分布 E

20、xp() 的方差= 1/2 正態(tài)分布 N(, 2) 的方差= 2例2.5.6 已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 則參數(shù) n, p 的值為多少？例2.5.7 設(shè) X 表示 10 次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo) 的次數(shù),每 次射中目標(biāo)的概率為0.4, 則 E(X2)的值為多少？解：從 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得解：因?yàn)?E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.4 設(shè) E(X)=，Var(X)=2，則對任意常 數(shù) C， 必有

21、（ ）.222222222(1) () ()(2) () () (3) () () (4) () () EXCE XCEXCEXEXCEXEXCEX練習(xí)問題：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 . 當(dāng) X 為離散隨機(jī)變量時(shí)， Y = g(X) 為離散隨機(jī)變量. 將g(xi) 一一列出, 再將相等的值合并即可. 2.6.1 離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.6.2 連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理2.6.1 設(shè) X pX(x)，y = g(x) 是 x 的嚴(yán)格 單調(diào)函數(shù)，記 x = h(y) 為 y = g(x) 的反函數(shù), 且h

22、(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y = g(X)的密度函數(shù)為:( ( )| ( )|,( )0,XYph yh yaybpy其它例2.6.1 設(shè) X 21( ),(1)Xpxx求 Y =eX 的分布.y = ex 單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù) x = h(y) = lny,所以當(dāng) y 0 時(shí),| )(|)()(yhyhpypXY,1)(yyhyypX1ln21(1ln)yy由此得21,0(1 ln)( )0,Yyyypy其它解：2X(0,1),Y Y2X1N設(shè)（1）求 |X|的概率密度；（2）求 的概率密度？-xxXe, 0f(x)=0, YYex設(shè)的 概 率 密 度 為 ：其 他（ 1） 求 |X|的 概 率 密 度 ；（ 2） 求的 概 率 密 度 ？正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2 設(shè) X N (, 2)，則當(dāng)a 0 時(shí)， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 則 Y = (X )/ N(0