數(shù)字電子電路課程第1章

1、第1章 數(shù)制與編碼 第第1章章 數(shù)制與編碼數(shù)制與編碼 1.1 數(shù)制數(shù)制 1.2 編碼編碼 第1章 數(shù)制與編碼 1.1 數(shù)數(shù) 制制 1.1.1 進(jìn)位計(jì)數(shù)制進(jìn)位計(jì)數(shù)制 按進(jìn)位的原則進(jìn)行計(jì)數(shù)，稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制。每一種進(jìn)位計(jì)數(shù)制都有一組特定的數(shù)碼，例如十進(jìn)制數(shù)有 10 個(gè)數(shù)碼， 二進(jìn)制數(shù)只有兩個(gè)數(shù)碼，而十六進(jìn)制數(shù)有 16 個(gè)數(shù)碼。 每種進(jìn)位計(jì)數(shù)制中允許使用的數(shù)碼總數(shù)稱為基數(shù)或底數(shù)。 在任何一種進(jìn)位計(jì)數(shù)制中，任何一個(gè)數(shù)都由整數(shù)和小數(shù)兩部分組成， 并且具有兩種書寫形式：位置記數(shù)法和多項(xiàng)式表示法。 第1章 數(shù)制與編碼 1. 十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)(Decimal) 采用 10 個(gè)不同的數(shù)碼0、 1、 2、 、 9和

2、一個(gè)小數(shù)點(diǎn)(.)。 進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”。 若干個(gè)數(shù)碼并列在一起可以表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)。例如在435.86這個(gè)數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)左邊第一位的5代表個(gè)位，它的數(shù)值為5； 小數(shù)點(diǎn)左邊第二位的 3 代表十位，它的數(shù)值為3101；左邊第三位的 4 代表百位，它的數(shù)值為4102；小數(shù)點(diǎn)右邊第一位的值為810-1；小數(shù)點(diǎn)右邊第二位的值為610-2?？梢姡瑪?shù)碼處于不同的位置，代表的數(shù)值是不同的。這里102、101、100、 10-1、10-2 稱為權(quán)或位權(quán)，即十進(jìn)制數(shù)中各位的權(quán)是基數(shù) 10 的冪，各位數(shù)碼的值等于該數(shù)碼與權(quán)的乘積。因此有 第1章 數(shù)制與編碼 2101210610810510410486.435上式

3、左邊稱為位置記數(shù)法或并列表示法，右邊稱為多項(xiàng)式表示法或按權(quán)展開法。 一般，對(duì)于任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N， 都可以用位置記數(shù)法和多項(xiàng)式表示法寫為 1221100112211210121101010101010101010)(nmiiimmnnnnmnnaaaaaaaaaaaaaaaN第1章 數(shù)制與編碼 式中，n代表整數(shù)位數(shù)，m代表小數(shù)位數(shù)，ai(-min-1)表示第i位數(shù)碼，它可以是0、1、2、3、9 中的任意一個(gè)，10i為第i位數(shù)碼的權(quán)值。 上述十進(jìn)制數(shù)的表示方法也可以推廣到任意進(jìn)制數(shù)。對(duì)于一個(gè)基數(shù)為R(R2)的R進(jìn)制計(jì)數(shù)制，數(shù)N可以寫為 1221100112211210121)(nmiiimmnn

4、nnmnnRRaRaRaRaRaRaRaRaaaaaaaaN式中，n代表整數(shù)位數(shù)，m代表小數(shù)位數(shù)，ai為第i位數(shù)碼，它可以是0、1、 、(R-1)個(gè)不同數(shù)碼中的任何一個(gè)，Ri為第i位數(shù)碼的權(quán)值。 (1-2)第1章 數(shù)制與編碼 2. 二進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù) 二進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，其進(jìn)位基數(shù)R=2， 每位數(shù)碼的取值只能是0或1，每位的權(quán)是2的冪。表1-1列出了二進(jìn)制位數(shù)、權(quán)和十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 表1-1 2的冪與十進(jìn)制值 第1章 數(shù)制與編碼 任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，根據(jù)式(1-2)可表示為 1221100112211210121222222222)(nmiiimmnnnnmnnaaaaaaaaa

5、aaaaaaN例如： 1032101232)375.11(21212021212021)011.1011(第1章 數(shù)制與編碼 可見，一個(gè)數(shù)若用二進(jìn)制數(shù)表示要比相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的位數(shù)長(zhǎng)得多，但采用二進(jìn)制數(shù)卻有以下優(yōu)點(diǎn)： 因?yàn)樗挥?、1 兩個(gè)數(shù)碼，在數(shù)字電路中利用一個(gè)具有兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)且能相互轉(zhuǎn)換的開關(guān)器件就可以表示一位二進(jìn)制數(shù)，因此采用二進(jìn)制數(shù)的電路容易實(shí)現(xiàn)， 且工作穩(wěn)定可靠。 算術(shù)運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單。二進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算和十進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則基本相同，惟一區(qū)別在于二進(jìn)制數(shù)是“逢二進(jìn)一”及“借一當(dāng)二”，而不是“逢十進(jìn)一”及“借一當(dāng)十”。 第1章 數(shù)制與編碼 例如：例如： 第1章 數(shù)制與編碼 3. 八進(jìn)制

6、數(shù)八進(jìn)制數(shù)(Octal) 八進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是“逢八進(jìn)一”，其基數(shù)R=8，采用的數(shù)碼是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的權(quán)是 8 的冪。 任何一個(gè)八進(jìn)制數(shù)也可以根據(jù)式(1-2)表示為 188)(nmiiiaN例如： 1010128)5 .254(5 . 068764384868783)4 .376(第1章 數(shù)制與編碼 4. 十六進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)(Hexadecimal) 十六進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)是： 采用的 16 個(gè)數(shù)碼為0、 1、 2、 、 9、 A、 B、 C、 D、 E、 F。 符號(hào)AF分別代表十進(jìn)制數(shù)的1015。 進(jìn)位規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”，基數(shù)R=16，每位的權(quán)是16的冪。

7、 任何一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)， 也可以根據(jù)式(1-2)表示為 11616)(nmiiiaN102101216)0664.939(16116116111610163)113(AB例如： 第1章 數(shù)制與編碼 1.1.2 進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換 1. 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換 1) 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開法 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)時(shí)，只要將二進(jìn)制數(shù)按式(1-3)展開，然后將各項(xiàng)數(shù)值按十進(jìn)制數(shù)相加，便可得到等值的十進(jìn)制數(shù)。 例如： 10211242)75.22(2121212121)11.10110( 同理，若將任意進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，只需將數(shù)(N)

8、R寫成按權(quán)展開的多項(xiàng)式表示式，并按十進(jìn)制規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算， 便可求得相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)(N)10。 第1章 數(shù)制與編碼 2) 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù) 整數(shù)轉(zhuǎn)換除2取余法。若將十進(jìn)制整數(shù)(N)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)(N)2，則可以寫成 01011232110011221110222222222)(aQaaaaaaaaaNnnnnnnnn ）（如果將上式兩邊同除以2，所得的商為 )222(11232211aaaaQnnnn 余數(shù)就是a0。 第1章 數(shù)制與編碼 同理，這個(gè)商又可以寫成 1242311)22(2aaaaQnnnn 顯然，若將上式兩邊再同時(shí)除以2，則所得余數(shù)是a1。重復(fù)上述過程，直到商為0，就可得

9、二進(jìn)制數(shù)的數(shù)碼a0、a1、an-1。 第1章 數(shù)制與編碼 例如，將(57)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)： 第1章 數(shù)制與編碼 小數(shù)轉(zhuǎn)換乘2取整法。若將十進(jìn)制小數(shù)(N)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制小數(shù)(N)2，則可以寫成 mmaaaN 222)(221110將上式兩邊同時(shí)乘以2， 便得到 )22()(2112110 mmaaaN令小數(shù)部分 112312)222(Faaamm 則上式可寫成 1110)(2FaN因此，2(N)10乘積的整數(shù)部分就是a-1。若將2(N)10乘積的小數(shù)部分F1再乘以2，則有 第1章 數(shù)制與編碼 )222(22241321 mmaaaaF所得乘積的整數(shù)部分就是a-2。顯然，重復(fù)上述過程，便可求

10、出二進(jìn)制小數(shù)的各位數(shù)碼。 例如，將(0.724)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)。 第1章 數(shù)制與編碼 可見，小數(shù)部分乘2取整的過程，不一定能使最后乘積為0，因此轉(zhuǎn)換值存在誤差。通常在二進(jìn)制小數(shù)的精度已達(dá)到預(yù)定的要求時(shí)，運(yùn)算便可結(jié)束。 將一個(gè)帶有整數(shù)和小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，必須將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別按除2取余法和乘2取整法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再將兩者的轉(zhuǎn)換結(jié)果合并起來即可。 同理，若將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成任意R進(jìn)制數(shù)(N)R，則整數(shù)部分轉(zhuǎn)換采用除R取余法；小數(shù)部分轉(zhuǎn)換采用乘R取整法。 第1章 數(shù)制與編碼 2. 二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換 八進(jìn)制

11、數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)的基數(shù)分別為8=23，16=24， 所以三位二進(jìn)制數(shù)恰好相當(dāng)一位八進(jìn)制數(shù)，四位二進(jìn)制數(shù)相當(dāng)一位十六進(jìn)制數(shù)， 它們之間的相互轉(zhuǎn)換是很方便的。 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)的方法是從小數(shù)點(diǎn)開始， 分別向左、向右，將二進(jìn)制數(shù)按每三位一組分組(不足三位的補(bǔ)0)，然后寫出每一組等值的八進(jìn)制數(shù)。 例如，求(01101111010.1011)2的等值八進(jìn)制數(shù)： 第1章 數(shù)制與編碼 例如，求(01101111010.1011)2的等值八進(jìn)制數(shù)： 二進(jìn)制 001 101 111 010 . 101 100 八進(jìn)制 1 5 7 2 . 5 4 所以 (01101111010.1011)2=(1572.54

12、) 8 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)的方法和二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換相似，從小數(shù)點(diǎn)開始分別向左、向右將二進(jìn)制數(shù)按每四位一組分組(不足四位補(bǔ)0)，然后寫出每一組等值的十六進(jìn)制數(shù)。 第1章 數(shù)制與編碼 例如，將(1101101011.101)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)： 00 11 01 10 10 11 . 10 103 6 B . A 所以 (1101101011.101)2=(36B.A)16 八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的方法可以采用與前面相反的步驟，即只要按原來順序?qū)⒚恳晃话诉M(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))用相應(yīng)的三位(或四位)二進(jìn)制數(shù)代替即可。 例如，分別求出(375.46)8、(678.A5)16的等

13、值二進(jìn)制數(shù)： 八進(jìn)制 3 7 5 . 4 6 十六進(jìn)制 6 7 8 . A 5 二進(jìn)制 011 111 101 . 100 110 二進(jìn)制 0110 0111 1000.1010 0101 所以 (375.46)8=(011111101.100110)2, (678.A5)16=(011001111000.10100101)2 第1章 數(shù)制與編碼 1.2 編編 碼碼 1.2.1 二二十進(jìn)制編碼十進(jìn)制編碼(BCD碼碼) 二十進(jìn)制編碼是用四位二進(jìn)制碼的10 種組合表示十進(jìn)制數(shù)09，簡(jiǎn)稱BCD碼(Binary Coded Decimal)。 這種編碼至少需要用四位二進(jìn)制碼元，而四位二進(jìn)制碼元可以有

14、16 種組合。當(dāng)用這些組合表示十進(jìn)制數(shù)09時(shí)， 有六種組合不用。由 16 種組合中選用 10 種組合，有 101016109 . 2)!1016(!16A第1章 數(shù)制與編碼 表 1-2 幾種常用的BCD碼 十進(jìn)制數(shù) 8421碼 5421碼 2421碼 余 3 碼 BCD Gray碼 01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110011010001010110011110001001

15、1010101111000000000100110010011001110101010011001000第1章 數(shù)制與編碼 1. 8421 BCD碼碼 8421 BCD碼是最基本和最常用的BCD碼， 它和四位自然二進(jìn)制碼相似， 各位的權(quán)值為8、 4、 2、 1， 故稱為有權(quán)BCD碼。和四位自然二進(jìn)制碼不同的是， 它只選用了四位二進(jìn)制碼中前 10 組代碼，即用00001001分別代表它所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)， 余下的六組代碼不用。 第1章 數(shù)制與編碼 2. 5421 BCD碼和碼和2421 BCD碼碼 5421 BCD碼和2421 BCD碼為有權(quán)BCD碼，它們從高位到低位的權(quán)值分別為5、 4、 2、

16、1和2、4、2、1。 這兩種有權(quán)BCD碼中，有的十進(jìn)制數(shù)碼存在兩種加權(quán)方法，例如， 5421 BCD碼中的數(shù)碼5，既可以用1000表示，也可以用0101表示，2421 BCD碼中的數(shù)碼6，既可以用1100表示， 也可以用0110表示。這說明5421 BCD碼和2421 BCD碼的編碼方案都不是惟一的，表1-2只列出了一種編碼方案。 表1-2中2421 BCD碼的 10 個(gè)數(shù)碼中，0和9、1和8、2和7、3和6、 4和5的代碼的對(duì)應(yīng)位恰好一個(gè)是0時(shí)，另一個(gè)就是1。我們稱0和9、1和8互為反碼。因此2421 BCD碼具有對(duì)9互補(bǔ)的特點(diǎn)，它是一種對(duì)9的自補(bǔ)代碼(即只要對(duì)某一組代碼各位取反就可以得到9

17、的補(bǔ)碼)，在運(yùn)算電路中使用比較方便。 第1章 數(shù)制與編碼 3. 余余3 碼碼 余 3 碼是8421 BCD碼的每個(gè)碼組加3 (0011)形成的。 余 3 碼也具有對(duì) 9 互補(bǔ)的特點(diǎn)，即它也是一種 9 的自補(bǔ)碼，所以也常用于BCD碼的運(yùn)算電路中。 用BCD碼可以方便地表示多位十進(jìn)制數(shù)，例如十進(jìn)制數(shù)(579.8)10可以分別用8421 BCD碼、余 3 碼表示為 碼余碼3842110)1011.110010101000()1000.100101110101()8 .579(BCD第1章 數(shù)制與編碼 1.2.2 可靠性編碼可靠性編碼 1. Gray碼碼(格雷碼格雷碼) Gray碼也稱循環(huán)碼，其最基本

18、的特性是任何相鄰的兩組代碼中，僅有一位數(shù)碼不同，因而又叫單位距離碼。 Gray碼的編碼方案有多種，典型的Gray碼如表1-3所示。從表中看出，這種代碼除了具有單位距離碼的特點(diǎn)外，還有一個(gè)特點(diǎn)就是具有反射特性，即按表中所示的對(duì)稱軸為界，除最高位互補(bǔ)反射外，其余低位數(shù)沿對(duì)稱軸鏡像對(duì)稱。利用這一反射特性可以方便地構(gòu)成位數(shù)不同的Gray碼。 第1章 數(shù)制與編碼 Gray碼的單位距離特性有很重要的意義。假如兩個(gè)相鄰的十進(jìn)制數(shù) 13 和 14， 相應(yīng)的二進(jìn)制碼為1101和1110。在用二進(jìn)制數(shù)作加 1 計(jì)數(shù)時(shí)，如果從 13 變 14， 二進(jìn)制碼的最低兩位都要改變， 但實(shí)際上兩位改變不可能完全同時(shí)發(fā)生， 若最低位先置0， 然后次低位再置1，則中間會(huì)出現(xiàn)110111001110， 即出現(xiàn)暫短的誤碼1100，而Gray碼因只有一位變化，因而杜絕了出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的可能。 BCD Gray碼是一種具有單位距離特性的B