任意角的三角函數(shù)（課堂PPT）

1、12 1、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba 復(fù)習(xí)回顧OabMPc1.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)3OabMP yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？新課 導(dǎo)入422:barOPbMPaOM其中 yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan新課 導(dǎo)入baP,Mo5如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？PMOP

2、MPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思 探究MOyxP(a,b)6OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab3.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中）以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心，以單位圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓，稱為單位圓長(zhǎng)度為半徑的圓，稱為單位圓. yoP),(bax1M72.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，記作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記

3、作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點(diǎn)上點(diǎn)的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.8)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊說(shuō)說(shuō) 明明（1）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)）正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，余弦就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 正切就是正切就是 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐

4、標(biāo)與. .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， xytan無(wú)意義，此時(shí)無(wú)意義，此時(shí) )(2zkk軸上時(shí)，點(diǎn)軸上時(shí)，點(diǎn)P 的的（3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).9任意角的三角函數(shù)的定義過(guò)程：任意角的三角函數(shù)的定義過(guò)程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin

5、單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan,10例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐標(biāo)系中，作解：在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin， ,2367cos3367tan實(shí)例 剖析xyoAB3511例例2 已知角已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5) 4() 3(220OP解

6、解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過(guò)點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,12 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos

7、 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)終邊上的位置無(wú)關(guān).P定義推廣：定義推廣xr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，鞏固 提高練習(xí)練習(xí) 1、已知角、已知角 的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn) ， 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：142P15 ,8aa、已知角 的終邊上一點(diǎn)aR且a0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaa a所以 10

8、17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 1532sin ,cos ,tan.yx、已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí)，221,2125在角 的終邊上取點(diǎn)，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時(shí)，221, 2125r 在角 的終邊上取點(diǎn)，則22 5152sin,cos,tan255155 161.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它

9、們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-17 例例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)， 角角 為第三象限角為第三象限角.0tan 0sin 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因

10、為又因?yàn)槭绞?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪ⅲ越鞘蕉汲闪?，所以?的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明.18如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角

11、函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .360020到或到 ？19例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48練習(xí)練習(xí) 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)516cos)34sin()817tan( （3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin20例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos練習(xí)練習(xí) 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）21117119cossintan363練習(xí)：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 221. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)