導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性,極值中的應用

1、導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、極值中的應用一、知識梳理1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系：如果f_(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f_(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果f_(x)0，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)問題探究1：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f (x)>0嗎？f (x)>0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f (x)0，f (x)>0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件2函數(shù)的極值與導數(shù)(

2、1)函數(shù)的極小值函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在xa附近其他點的函數(shù)值都小，f (a)0，而且在點xa附近的左側f_(x)<0，右側f_(x)>0，則點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)函數(shù)的極大值函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近的其他點的函數(shù)值都大，f (b)0，而且在點xb附近，左側f_(x)>0，右側f_(x)<0，則點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值問題探究2：若f (x0)0，則x0一定是f(x)的極

3、值點嗎？提示：不一定可導函數(shù)在一點的導數(shù)值為0是函數(shù)在這點取得極值的必要條件，而不是充分條件，如函數(shù)f(x)x3，在x0時，有f (x)0，但x0不是函數(shù)f(x)x3的極值點二、自主檢測1函數(shù)yxlnx的單調(diào)減區(qū)間是()A(，1)B(0,1)C(1，) D(0,2)2函數(shù)f(x)x33x23x的極值點的個數(shù)是()A0B1C2D33函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)4(2012年山東諸城高三月考)已知函數(shù)yf(x)，其導函數(shù)yf (x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4，)

4、上為減函數(shù)D在x2處取極大值5若函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時取得極值，則a()A2B3C4D56(1)函數(shù)f(x)在xx0處可導，則“f (x0)0”是“x0是函數(shù)f(x)極值點”的_條件(2)函數(shù)f(x)在(a，b)上可導，則“f (x)>0”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的_條件(3)函數(shù)f(x)在(a，b)上可導，則“f (x)0”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的_條件三、考向指導考點1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f (x)，令f (x)0，求出它在定義域內(nèi)的一切實根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點

5、(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定f (x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f (x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性2證明可導函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟(1)求f (x)(2)確認f (x)在(a，b)內(nèi)的符號(3)作出結論：f (x)>0時，f(x)為增函數(shù)；f (x)<0時，f(x)為減函數(shù)例1 (2010年全國)已知函數(shù)f(x)x33ax23x1.(1)設a2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范

6、圍課堂過手練習：設函數(shù)f(x)x3ax29x1(a<0)若曲線yf(x)的斜率最小的切線與直線12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間考點2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應注意函數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應是f (x)0(或f (x)0)，x(a，b)恒成立，且f (x)在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f (x0)0，甚至可以在無窮多個點處f (x0)0，只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間例2 已知函數(shù)f(x)x3ax1，在實

7、數(shù)集R上yf(x)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍課堂過手練習：已知f(x)exax1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)是否存在a，使f(x)在(，0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由考點3求已知函數(shù)的極值運用導數(shù)求可導函數(shù)yf(x)極值的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)yf(x)的導數(shù)f (x)；(2)求方程f (x)0的根；(3)檢查f (x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值例3 設f(x)，其中a為正實數(shù)(1

8、)當a時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍課堂過手練習：函數(shù)f(x)x33x21在x_處取得極小值考點4利用極值求參數(shù)已知函數(shù)解析式，可利用導數(shù)及極值的定義求出其極大值與極小值；反過來，如果已知某函數(shù)的極值點或極值，也可利用導數(shù)及極值的必要條件建立參數(shù)方程或方程組，從而解出參數(shù)，求出函數(shù)解析式例4 設x1與x2是函數(shù)f(x)alnxbx2x的兩個極值點(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由課堂過手練習：設函數(shù)f(x)(xa)2lnx，aR.若xe為yf(x)的極值點，求實數(shù)a.易錯點求參數(shù)取值時出現(xiàn)

9、典例：已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍 (1)當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f (x)0，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性f (x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，在學習過程中注意思維的嚴密性(2)函數(shù)極值是一個局部性概念，函數(shù)的極值可以有多個，并且極大值與極小值的大小關系不確定要強化用導數(shù)處理單調(diào)性、極值、最值、方程的根及不等式的證明等數(shù)學問題的意識(3)如果一個函數(shù)在給定定義域上的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號“”連接，只能用“，”或“和”字隔開糾錯課堂練習：已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x1處取極值2.(1)試用c表示a，b；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間1與函數(shù)的單調(diào)性有關的問題(1)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可通過f (x)>0或f (x)<0來進行，至于區(qū)間的端點是否包含，取決于函數(shù)在端點處是否有意義，若有意義，則端點包含與不包含均可；若無意義，則必不能包含端點(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)，則在(a，b)上f (x)0(或f (x)0)恒成立，若該不等式中含有參數(shù)，我們可利用上述結論求參數(shù)的范圍，它蘊涵了恒成立思想利用上述方法求