多元函數(shù)微分學(xué)測(cè)試題_第1頁(yè)
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1、1、填空題 1）。2）設(shè)，則。3）已知，則。 4）函數(shù)在點(diǎn)處的剃度為。5）已知在點(diǎn)沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)是。6）已知曲面上的點(diǎn)處的法線平行于直線，則該法線方程為。2、解下列各題 1）已知，其中為可微函數(shù)，求。 解：方程兩邊微分得2）設(shè)，其中均為二階可微函數(shù)，求。解：3）設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，將變化為下的表達(dá)式解： 因?yàn)?，所以?）已知，其中均為可微函數(shù)，求。解：利用全微分的不變形計(jì)算，方程兩邊微分可得消去可得5）設(shè)是曲面在點(diǎn)處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解：設(shè)，如圖容易看出與正方向的夾角為鈍角，其軸坐標(biāo)為負(fù)，所以，6）設(shè)是由方程所確定的函數(shù)

2、，其中可導(dǎo)，求。解：方程兩邊微分得7）設(shè)，求。解：方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得3、在橢球面上找一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切平面與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小。解：設(shè)為橢球面上在第一象限的一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)的切平面方程為化成截距式方程此切平面與坐標(biāo)面圍成四面體的體積為。（下面我們?nèi)サ粝聵?biāo)0）要求滿足條件的最小值，只需求滿足條件的最大值。由拉格朗日乘數(shù)法，只需求以下函數(shù)的駐點(diǎn)得由此得，所以當(dāng)時(shí)，有最小體積，最小體積為。4、設(shè)1）求；2）是否在原點(diǎn)連續(xù)？在原點(diǎn)是否可微？說(shuō)明理由。解：1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2）考慮 當(dāng)時(shí)，不存在，所以在原點(diǎn)不連續(xù)； 同理可得在原點(diǎn)不連續(xù)。 又因?yàn)椋ㄓ薪缌颗c無(wú)窮小的積還是無(wú)窮?。?，所以在原點(diǎn)可微。5、已知為常數(shù)，且，求證：證明：設(shè)，此問(wèn)題變?yōu)榍蠛瘮?shù)滿足條件的最大值，其中都大于或等于零?？紤]函數(shù)解此方程組可得所以所

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