二階線性偏微分方程的分類與小結

1、第六章 二階線性偏微分方程的分類與小結一 兩個自變量的二階線性方程1 方程變換與特征方程兩個自變量的二階線性偏微分方程總表示成它關于未知函數(shù)及其一、二階偏導數(shù)都是線性的，其中都是自變量的已知函數(shù)，假設它們的一階偏 導數(shù)在某平面區(qū)域內(nèi)都連續(xù)，而且不全為0 。設是內(nèi)給定的一點，考慮在的領域內(nèi)對方程進行簡化。取自變量變換,其中它們具有二連續(xù)偏導數(shù)，而且在處的雅可比行列式。=根據(jù)隱函數(shù)存在定理，在領域內(nèi)存在逆變換,因為，將代入使其變?yōu)榻?jīng)過變換后，方程的階數(shù)不會升高，由變換的可逆性，方程的階數(shù)也不會降低，所以不全為0。并可驗證這表明，在可逆變換下與保持相同的正負號。 定理 在的領域內(nèi)，不為常數(shù)的函數(shù)是偏

2、微分方程之解的充分必要條件是：是常微分方程的通解。2 方程的類型及其標準形式根據(jù)以上結論簡化方程的問題歸結為尋求其特征曲線。為此將特征方程分解成兩個方程：，(1) 若在的鄰域內(nèi)時，方程可以化為，該式稱為雙曲線方程的標準形式，其中是自變量的已知函數(shù)。(2) 若的鄰域內(nèi)時，可將方程簡化成，該式稱為拋物型方程的標準形式，其中是自變量的已知函數(shù)。(3) 若的鄰域內(nèi)時，可將方程簡化成，該式稱為橢圓型方程的標準形式，其中是自變量的已知函數(shù)。 總之，根據(jù)的正負號能將簡化成三種標準形式。 定義 若在區(qū)域中點處滿足(或是=0，或是0)，則稱方程在該點處是雙曲線的(或是拋物型的，或是橢圓型的)。二 個自變量的二階

3、線性方程 1 方程的分類個自變量的二階線性偏微分方程一般可以表示成其中，都是自變量的已知函數(shù)，假設它們在維空間中某一區(qū)域內(nèi)連續(xù)，而且不全為0。 在區(qū)域內(nèi)某點處，由二階導數(shù)項的系數(shù)可構成相應的二次型=其中，而是階對稱矩陣。 定義2 如果在點的二次型為非退化且是不定的，即它恰有個非零特征值，而且特征值的符號不全相同，則稱方程在點是雙曲線型。如果其中個非零特征值同號，只有一個非零特征值與它們異號，則稱方程在點是狹義雙曲線型的。如果其中不只一個非零特征值是異號的，則稱方程在點是超雙曲線型的。 定義3 如果在點的二次型為非退化的，即它至少有一個零特征值，則稱方程在點是拋物型。如果只有一個零特征值，而另外

4、個非零特征值同號，則稱方程在點是狹義拋物型的。如果是其它有零特征值的情形，則稱方程在點是廣義拋物型的。 定義4 如果在點的二次型為正定或負定的，即它恰有個同號的非零特征值，則稱方程在點是橢圓型的。 2 方程的簡化 當方程中二階偏導數(shù)項的系數(shù)全是常數(shù)時，相應的二次型是常系數(shù)實二次型。根據(jù)線性代數(shù)的理論，運用配方法或者正交變換法，總可找到一個可逆線性變換，即其中是可逆矩陣，將二次型化成標準形，即= 其中=，而且=1或-1或0。 可取轉(zhuǎn)置矩陣構造自變量可逆線性變換，即，就能將在區(qū)域內(nèi)方程簡化為+。三小結前面各章的各種定解問題具有的一個共同的特點偏微分方程與定解條件關于未知函數(shù)及其導數(shù)都是線性的，稱這些業(yè)解問題都是線性問題。線性問題普遍成立有疊加原理。疊加原理是前面各章介紹的各種方法的基礎。另一方面，二階偏微分方程可以分成雙曲線型、拋物型和橢圓型，由于它們描述了物理與工程技術中不同的自然現(xiàn)象，所以，它們不僅在二階偏導數(shù)項系數(shù)的代數(shù)方面有差異，而且在定解條件與性態(tài)方程有本質(zhì)區(qū)別。常系數(shù)齊次波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程分別是三類方程的典型代表。為了使定解問題能反映實際現(xiàn)象的客觀規(guī)