范德蒙行列式的推廣及應(yīng)用論文2

1、襄樊學(xué)院本科畢業(yè)論文論文題目：范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用姓名：李小兵學(xué)號(hào)：2009109157專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：應(yīng)用數(shù)學(xué)0911班指導(dǎo)老師：馮倩倩 材 料 清 單一、畢業(yè)設(shè)計(jì)二、畢業(yè)設(shè)計(jì)任務(wù)書三、畢業(yè)設(shè)計(jì)開題申請(qǐng)表四、畢業(yè)設(shè)計(jì)開題報(bào)告正文聲 明本人李小兵，學(xué)號(hào)2009109157，系湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)0911班學(xué)生。所做論文內(nèi)容主體均為原創(chuàng)，無任何抄襲、剽竊他人勞動(dòng)成果的行為。如有發(fā)現(xiàn)此類行為，本人愿意為此承擔(dān)一切道義及法律責(zé)任，特此聲明。學(xué)生簽名： 年 月 日范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用摘要：范德蒙行列式是線性代數(shù)中著名的行列式，它構(gòu)造獨(dú)特、形式優(yōu)美，更由于

2、它有廣泛的應(yīng)用，因而成為一個(gè)著名的行列式。它的證明過程是典型行列式定理及數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用。本文將通過對(duì)n階范德蒙行列式的計(jì)算, 討論它的各種位置變化規(guī)律, 介紹了如何構(gòu)造范德蒙行列式進(jìn)行行列式計(jì)算，以及探討了范德蒙行列式在向量空間理論、線性變換理論以及微積分中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：行列式；范德蒙行列式；向量空間理論；線性變換理論；微積分；等差數(shù)列拆項(xiàng)Application and Popularization of Vandermonde determinantAbstract：Vandermonde determinant is the determinant of well-known in

3、 linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the

4、n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transform

5、ation theory and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra；Vandermonde determinant；theory of vector spaces；linear transformation theory；infinitesimal calculus目 錄1引言12.范德蒙行列式的基本性質(zhì)22.2 范德蒙行列式的證明22.3 范德蒙行列式的性質(zhì)33 范德蒙行列式的推廣53.1 跳行范德蒙行列式53.2 合流范德蒙行列式63.3 范德蒙行列式的在推廣74 范德蒙行列式的應(yīng)用134.1 范德蒙行列式在行列式計(jì)算中德應(yīng)用

6、134.2 范德蒙行列式在微積分中德應(yīng)用144.3 范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用154.4 范德蒙行列式在線性變換理論中的應(yīng)用154.5 范德蒙行列式在數(shù)列拆項(xiàng)中的應(yīng)用174.6 范德蒙行列式在奧數(shù)中德應(yīng)用195 范德蒙行列式與行列的組合計(jì)算22結(jié) 論25主要參考文獻(xiàn)26致 謝271引言行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。其定義域?yàn)閚×n的矩陣A，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在 n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式

7、理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。作為一種特殊的行列式范德蒙行列式，是一類很重要的行列式。范德蒙行列式作為一種重要的行列式，在計(jì)算的過程中可以將一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，從而能夠簡(jiǎn)化計(jì)算，有利于行列式的計(jì)算。范德蒙行列式的應(yīng)用也比較廣泛，不僅應(yīng)用于一些行列式的計(jì)算當(dāng)中，而且它可以應(yīng)用于證明行列式的問題和一些關(guān)于多項(xiàng)式方面以及某些特征向量線性無關(guān)等問題上。2.范德蒙行列式的基本性質(zhì)我們首先來介紹范德蒙行列式的定義及其計(jì)算方法.形如行列式 (1)稱為 階的范德蒙（）行列式.我們來證明，對(duì)任意的, 階范德蒙行列

8、式的結(jié)果為2.2 范德蒙行列式的證明1.2.1 用數(shù)學(xué)歸納法證明范德蒙德行列式我們對(duì)作歸納法.（1）當(dāng)時(shí)， 結(jié)果是對(duì)的.（2）假設(shè)對(duì)于級(jí)的范德蒙行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來看級(jí)的情況.在中，第行減去第行的倍，第行減去第行的倍，也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的倍，有1后面這行列式是一個(gè)級(jí)的范德蒙德行列式，根據(jù)歸納法假設(shè)，它等于所有可能差；而包含的差全在前面出現(xiàn)了.因之，結(jié)論對(duì)級(jí)范德蒙德行列式也成立.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，完成了證明. 用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡(jiǎn)寫為由這個(gè)結(jié)果立即得出，范德蒙德行列式為零的充分必要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.2.3 范德蒙行列式的性質(zhì)利用行列式的性質(zhì)容易推得：01、若

9、將范德蒙行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),可得2、若將范德蒙行列順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得3、若將范德蒙行列式旋轉(zhuǎn)，可得3 范德蒙行列式的推廣3.1 跳行范德蒙行列式 跳行范德蒙行列式為如下形式：為了計(jì)算該行列式，構(gòu)造多項(xiàng)式如下：=， （1）該行列式中第行、第列元素的代數(shù)余子式為，由（1）式可得的系數(shù)為，其中是中個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，表示所有階排列的和。比較的系數(shù)可得；特別的，當(dāng)、1并取時(shí)，即可得范德蒙行列式。3.2 合流范德蒙行列式給定個(gè)互異的數(shù)和正整數(shù)，記，稱如下形式的階行列式 （2）為合流范德蒙行列式，當(dāng)時(shí)，是通常的范德蒙行列式。定理1：階合流范德蒙行列式。證明:設(shè)維向量滿足比較上式2邊的系數(shù)，可知,且或有 （3）構(gòu)造

10、階矩陣,其中是第個(gè)分量為1、其余分量為0的維列向量，則是下三角矩陣。由（3）式可得,其中,于是，有0。利用上述遞推公式，可得。即可得出結(jié)論。3.3 范德蒙行列式的在推廣 給出范德蒙行列式的一個(gè)推廣，即定理 2推論 設(shè)0其中的整數(shù)，則當(dāng)互異時(shí)，。否則為零。稱定理和推論中德行列式為推廣的范德蒙行列式，行列式的前列是按范德蒙行列式的規(guī)律寫出的，其余各列則是按某一列求階“導(dǎo)數(shù)”或某幾列分別求階“導(dǎo)數(shù)”寫出的。定理對(duì)某一列求“導(dǎo)數(shù)”型的推廣的范德蒙行列式給出了計(jì)算方法；推論對(duì)某幾列分別求“導(dǎo)數(shù)”型的推廣的范德蒙行列式進(jìn)行了討論，但未給出計(jì)算方法，故推論的應(yīng)用具有一定的局限性。行列式某兩列乃至多列求“導(dǎo)數(shù)

11、”型的推廣的范德蒙行列式應(yīng)該如何討論?，F(xiàn)在先討論行列式中某兩列求“導(dǎo)數(shù)”型推廣的范德蒙行列式，在討論多列“求導(dǎo)”型推廣的范德蒙行列式。定理 3其中;分別表示關(guān)所在的列元素求各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)。證明： 為了證明簡(jiǎn)捷，令，使行列式中關(guān)于列的“導(dǎo)數(shù)”列寫在第列之和，關(guān)于列的“導(dǎo)數(shù)”列寫在第列之后。否則，可以通過關(guān)于和列的“導(dǎo)數(shù)”列施以列交換來實(shí)現(xiàn)。（1） 取多項(xiàng)式0具有如下性質(zhì)：1） 的展開式共有項(xiàng)，最高次數(shù)為次。2） .3） 。4） 因的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，次項(xiàng)的系數(shù)分別乘以的第行，第行，第行后，全部加到第行上去，第行成為：令再用的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，次項(xiàng)系數(shù)乘以的第1行，第2行，第行后，全部加到第行

12、上去，使第行成為 下面，再依次用按項(xiàng)的指數(shù)逐次降冪直至為1構(gòu)造的多項(xiàng)式的展開式的關(guān)于各次冪的系數(shù)乘以0的相應(yīng)行后，加到相應(yīng)的下一行去，則可以化成如下形式：(2) 取多項(xiàng)式具有如下的性質(zhì)：1） 的展開式共有項(xiàng)，最高次數(shù)為次。2） 。3） 仿上，用的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，次項(xiàng)系數(shù)分別乘以的第1行，第2，第行全部加到第行上去，第行成為0。再依次用的展開式的關(guān)于各次冪的系數(shù)分別乘以相應(yīng)行后，再加到相應(yīng)的下一行上去，將化成如下形式：0即推論其中的整數(shù)；分別表示關(guān)于所在的列元素各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)。 04 范德蒙行列式的應(yīng)用4.1 范德蒙行列式在行列式計(jì)算中德應(yīng)用 若第行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰

13、兩行（列）均含相同分行（列）；且中含有由個(gè)分行（列）組成的范德蒙行列式，那么將的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。例 1 計(jì)算解：將的第1行乘以-1加到第2行得：再將上式得第三行減去第二行得：再將上式的第四行減去第三行得：即為范德蒙行列式。0所以4.2 范德蒙行列式在微積分中德應(yīng)用例 2設(shè) 至少有階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)有試證： 其中表示證明：由已知條件，要證明，只需要將寫成的線性組合即可.利用泰勒公式， (1)其中,這是關(guān)于,的線性方程組，其系數(shù)行列式為后一行列式為范德蒙行列式，其值為，故，于是可從方程組（1）把寫成與的線性組合，我們只要證明即可.事實(shí)上

14、，設(shè)，于是,0在此式中分別令和令,則得,4.3 范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用 在向量空間理論中，我們會(huì)經(jīng)常遇到需要用范德蒙行列式轉(zhuǎn)化的問題，通過轉(zhuǎn)化，我們很容易就能得到需要的結(jié)論.例3 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，任給正整數(shù)，則在中存?zhèn)€向量，其中任取個(gè)向量都線性無關(guān).證明：因?yàn)樗灾豁氃谥锌紤]就行了,取令,是范德蒙行列式，且所以線性無關(guān)4.4 范德蒙行列式在線性變換理論中的應(yīng)用在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，線性變換一直是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，題目的變化也比較多，在有些題目中，我們可以巧妙的運(yùn)用范德蒙行列式來解決這類題目。例4 設(shè)數(shù)域上的維向量的線性變換有個(gè)互異的特征值，則（1） 與可交換的的線性變換都是

15、0的線性組合，這里的為恒等變換(2) 線性無關(guān)的重要條件為這里證明： 設(shè)是與可交換的線性變換，且則是的不變子空間,令且,則由以下方程組 (1)因?yàn)榉匠探M(1)的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，且所以方程組(1)有唯一解，故是的線性組合。（2）充分性因?yàn)樗圆⑶?所以 是可逆矩陣，又因?yàn)槭堑囊唤M基，線性無關(guān).必要性 設(shè)是分別屬于的特征向量，則構(gòu)成的一個(gè)基，因而有。若,則是的屬于的特征向量，故結(jié)論成立 若存在，使,不妨設(shè)全不為零，而，因而有則利用范德蒙行列式可知有一個(gè)階子式不為零，所以，從而,又因?yàn)?線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，矛盾，從而這里。4.5 范德蒙行列式在數(shù)列拆項(xiàng)中的應(yīng)用設(shè)等差數(shù)列，公差，則當(dāng)時(shí)，

16、有將此拆項(xiàng)公式推廣之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)拆項(xiàng)公式與范德蒙行列式有著密切的關(guān)系。設(shè)是等差數(shù)列中任意,公差，因?yàn)?則其中是關(guān)于的階范德蒙行列式，分別是關(guān)于的2階范德蒙行列式，一般的，因?yàn)樗怨饰覀儾孪肷鲜讲鸪身?xiàng)和時(shí)，也與階范德蒙行列式和階范德蒙行列式產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。定理5：設(shè)是等差數(shù)列中任意,公差，則0即時(shí)結(jié)論也成立；故由歸納原理知，結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)都成立。 4.6 范德蒙行列式在奧數(shù)中德應(yīng)用在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，部分考題的編擬與范德蒙行列式密切相關(guān)，不少中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題是將高等數(shù)學(xué)改造成初等形式，因此，從高觀點(diǎn)下看初等數(shù)學(xué)，探究高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的關(guān)系，有利于提高我們對(duì)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，同時(shí)，大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽也注重學(xué)生

17、對(duì)高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)新和應(yīng)用能力的考察。例5：試證若是不同的整數(shù)，而是非負(fù)整數(shù)，則是整數(shù)0 上述問題是關(guān)于復(fù)數(shù)域內(nèi)三元冪和式的問題,由于,對(duì)于,且互不相等,復(fù)數(shù)域內(nèi)元冪和式滿足遞推關(guān)系式 （1）其中為的個(gè)初等對(duì)稱多項(xiàng)式，例題中德滿足遞推關(guān)系由于是不同的整數(shù)，且,所以例題中的恒為整數(shù)。 將原問題推廣為復(fù)數(shù)域內(nèi)元冪和式的情形，發(fā)現(xiàn)與范德蒙行列式有密切的聯(lián)系。 定理 6 若在復(fù)數(shù)域內(nèi)互不相同，且它們的個(gè)初等對(duì)稱多項(xiàng)式全為整數(shù)，則 (2)恒為整數(shù)，其中 證明 根據(jù)以上討論，只要證明恒為整數(shù)即可。設(shè) 同分后的分母為，則,恰好等于范德蒙行列式的值，令 則同分后，由于與有個(gè)符號(hào)相異的公因子，則 其中,所以的分子為

18、,由于恰好等于范德蒙行列式的值，且恰為行列式的元素的余子式，由行列式的展開拉普拉斯定理得，恰為把中德替換為后的行列式的按列展開，所以0因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由于中均存在兩列的對(duì)應(yīng)元素相等，則都有,所以。而當(dāng)時(shí)，有，所以。從而由（1）式得恒為整數(shù)。0 5 范德蒙行列式與行列的組合計(jì)算從范德蒙行列式和行列式的乘法探索一類行列式的計(jì)算范德蒙行列式 (1)行列式乘法：設(shè)， 則其中是的第行元素分別與的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和：,利用范德蒙行列式和行列式乘積，我們可以作出一類有一定規(guī)律的行列式；反之，對(duì)這一類行列式我們可以分解成一個(gè)范德蒙行列式和另一個(gè)行列式的乘積，分解后兩個(gè)行列式比較容易計(jì)算，原行列式的值就可以算出。

19、 例如，我們把中的元素具體取值，令那么與得乘積為：0 行列式是有規(guī)律的行列式，如果要計(jì)算行列式的值，那么可把分解成與的乘積，行列式的值很容易計(jì)算的，范德蒙行列式的值可由（1）計(jì)算。于是的值可以求得： 什么樣的行列式能夠分解成為一個(gè)行列式與范德蒙行列式的乘積呢？我們不妨分析一下行列式的特點(diǎn)： 第1行的元素可以分別看作多項(xiàng)式取的值。 第2行的元素可以分別看作多項(xiàng)式取的值。 第行的元素可以分別看作多項(xiàng)式取的值 第行的元素可以分別看作多項(xiàng)式取的值 上述第個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)正好是行列式第行的元素，一般地設(shè)有階行列式0多項(xiàng)式作行列式那么，這里是階范德蒙行列式。0結(jié) 論 行列式在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域及其其他學(xué)科中都有

20、著廣泛的應(yīng)用,但是行列式卻有著悠久的歷史。自1545年，卡當(dāng)給出了兩個(gè)一次方程組的解法，到1683年日本數(shù)學(xué)家關(guān) 孝和首次引進(jìn)了行列式的概念開始，再到1771年，范德蒙德不僅把行列式應(yīng)用于解線性方程組，而且對(duì)行列式理論本身進(jìn)行了開創(chuàng)性研究，人們逐漸對(duì)行列式進(jìn)行更深的 研究，第一個(gè)給出行列式系統(tǒng)理論的是偉大數(shù)學(xué)家柯西。而范德蒙行列式是一類特殊的行列式，它有著獨(dú)特的形式及其簡(jiǎn)明的計(jì)算結(jié)果，所以范德蒙行列式不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位，而且在各個(gè)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用，范德蒙行列式不僅在行列式理論中有著重要的應(yīng)用，而且在向量空間理論、線性變換理論以及微積分中都有 廣泛的應(yīng)用。 本文先介紹了行列式的

21、性質(zhì)及其在計(jì)算中的應(yīng)用，進(jìn)而給出了范德蒙行列式的證明過程、性質(zhì)、以及在行列式計(jì)算的應(yīng)用，比如在我們運(yùn)用范德蒙行列式進(jìn)行計(jì)算或者變換時(shí)，有些行列式經(jīng)過簡(jiǎn)單變形后便可應(yīng)用范德蒙行列式，但是有些行列式則需要經(jīng)過增加一行一列才可以應(yīng)用范德蒙行列式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 我們還 介紹了范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論、解線性方程組中的應(yīng)用。范德蒙德行列式的結(jié)論計(jì)算并不復(fù)雜,難的是如何將給定的行列式化成范式的標(biāo)準(zhǔn)形式。最后介紹了范德蒙行列式的兩種推廣形式，讓我們進(jìn)一步了解范德蒙行列式，方便我們將行列式化為標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式。這就需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷總結(jié)，不斷探索關(guān)于范德蒙行列式的規(guī)律，只有熟能生巧，才能更好的掌握范

22、德蒙行列式的相關(guān)知識(shí)。1主要參考文獻(xiàn)1張賢科，許甫華，高等代數(shù)【M】，清華大學(xué)出版社，19982盧剛，馮翠蓮，線性代數(shù)【M】，北京大學(xué)出版社，2006,63宴林，范德蒙行列式的應(yīng)用【J】，文山師范高等?？茖W(xué)報(bào)，2001,13（2），55-574劉建中，范德蒙行列式的一個(gè)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用【J】，河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2000,20（1），84-855吳良森，毛羽輝，宋國棟，魏木生，數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解【M】,北京科學(xué)出版社，2002，360-3616易大義，陳道琦，數(shù)值分析引論【M】，杭州、浙江大學(xué)出版社，1993,180-1817裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典問題與方法【M】北京:高等教育出版社，

23、1998,17-188郭麗妮，地球概論課程教學(xué)改革探討 福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)【J】2003(12)9毛綱源，線性代數(shù)解題方法技巧歸納【M】，武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.310北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系編，高等代數(shù)【M】。北京：高等教育出版社，1991.7980 949611李建武、楊輝三角與數(shù)列拆項(xiàng)【J】.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（11）12張?jiān)诿鳌讉€(gè)涉及指數(shù)函數(shù)的不等式【J】.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考書、2002（17）13龐金彪，鹿琳。范德蒙行列式的推廣及其在教學(xué)中的應(yīng)用【J】。數(shù)學(xué)通報(bào)，1992（11）：3942.14單墫。因式分解技巧【M】。上海：華東師范大學(xué)出版社，2005:19415楊利民

24、。n的m重階乘n（?。﹎及應(yīng)用【J】，大理師專學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，1997（1）：1316.16T.Y.LiJ.Yorke.Amer Amath Monthy 82(1975)1 致 謝 歷時(shí)將近兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難和障礙，都在同學(xué)和老師的幫助下度過了。尤其要強(qiáng)烈感謝我的論文指導(dǎo)老師馮倩倩老師，她對(duì)我進(jìn)行了無私的指導(dǎo)和幫助，不厭其煩的幫助進(jìn)行論文的修改和改進(jìn)。另外，在校圖書館查找資料的時(shí)候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過我的各位老師表示最中心的感謝！感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者。本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻(xiàn)，如果沒

25、有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫論文的過程中給予我了很多你問素材，還在論文的撰寫和排版燈過程中提供熱情的幫助。由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請(qǐng)各位老師和學(xué)友批評(píng)和指正！0湖湖北文理學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 范德蒙行列式的推廣及應(yīng)用學(xué)生姓名 ： 李小兵 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí) 0911 指導(dǎo)老師 馮倩倩一、 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容： 本文主要介紹了范德蒙行列式的性質(zhì)及一些意義，并運(yùn)用范德蒙行列式的性質(zhì)解決一些在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中）的問題，運(yùn)用范德蒙行列式

26、的計(jì)算公式，把一些近似于范德蒙行列式的行列式經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后能夠變成范德蒙行列式，從而使的計(jì)算變得簡(jiǎn)單。或者在計(jì)算行列式的時(shí)候，使行列式與范德蒙行列式經(jīng)過變換，從而讓它變成一些簡(jiǎn)單的行列式，然后運(yùn)用逆變換，使計(jì)算變得簡(jiǎn)單明了。 二、 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）應(yīng)收集的資料和主要參考文獻(xiàn)：1張賢科，許甫華，高等代數(shù)【M】，清華大學(xué)出版社，19982盧剛，馮翠蓮，線性代數(shù)【M】，北京大學(xué)出版社，2006,63宴林，范德蒙行列式的應(yīng)用【J】，文山師范高等?？茖W(xué)報(bào)，2001,13（2），55-574劉建中，范德蒙行列式的一個(gè)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用【J】，河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2000,20（1），84-855吳良森

27、，毛羽輝，宋國棟，魏木生，數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解【M】,北京科學(xué)出版社，2002，360-3616易大義，陳道琦，數(shù)值分析引論【M】，杭州、浙江大學(xué)出版社，1993,180-1817裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典問題與方法【M】北京:高等教育出版社，1998,17-188郭麗妮，地球概論課程教學(xué)改革探討 福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)【J】2003(12)9毛綱源，線性代數(shù)解題方法技巧歸納【M】，武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.310北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系編，高等代數(shù)【M】。北京：高等教育出版社，1991.7980 949611李建武、楊輝三角與數(shù)列拆項(xiàng)【J】.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（11）12張?jiān)诿?、幾個(gè)涉及指數(shù)

28、函數(shù)的不等式【J】.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考書、2002（17）13龐金彪，鹿琳。范德蒙行列式的推廣及其在教學(xué)中的應(yīng)用【J】。數(shù)學(xué)通報(bào)，1992（11）：3942.14單墫。因式分解技巧【M】。上海：華東師范大學(xué)出版社，2005:19415楊利民。n的m重階乘n（！）m及應(yīng)用【J】，大理師專學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，1997（1）：1316.16T.Y.LiJ.Yorke.Amer Amath Monthy 82(1975)襄樊學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題申請(qǐng)表學(xué)生姓名李小兵指導(dǎo)老師馮倩倩系（院）數(shù)學(xué)系專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)0511論文題目范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用開題申請(qǐng)根據(jù)任務(wù)書的要求，已查閱了大量的相關(guān)資料。

29、通過對(duì)資料的參考和初步整理，對(duì)所選課題范德蒙行列式的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)已比較熟悉；對(duì)該課題的研究目的和意義也較明了。范德蒙行列式在高等數(shù)學(xué)中很重要，在微積分,線性空間,常微分方程里面都有很突出的應(yīng)用,本文主要研究它在線性空間中,行列式的計(jì)算.微積分和向量空間中的應(yīng)用。準(zhǔn)備工作基本就緒，特此提出開題申請(qǐng)。申請(qǐng)人簽名：李小兵 年 月 日指導(dǎo)教師意見 。指導(dǎo)教師簽名：年 月 日注：1、開題申請(qǐng)應(yīng)包含申請(qǐng)人根據(jù)指導(dǎo)教師下達(dá)任務(wù)書的要求完成開題報(bào)告的基本過程，對(duì)所選課題的基本認(rèn)識(shí)及開題申請(qǐng)；2、指導(dǎo)老師意見應(yīng)包含指導(dǎo)教師對(duì)學(xué)生開題報(bào)告的評(píng)價(jià)及開題意見；3、學(xué)生提交申請(qǐng)表時(shí)須同時(shí)提交開題報(bào)告文本。畢業(yè)論文開題報(bào)

30、告范德蒙行列式的推廣及應(yīng)用姓名：李小兵 學(xué)號(hào)：09109157 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一、范德蒙行列式的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。其定義域?yàn)閚×n的矩陣A，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在 n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。作為一種特殊的行列式范德蒙行列式，是一類很重要的行列式。范德蒙行列式作為一種重要的行

31、列式，在計(jì)算的過程中可以將一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，從而能夠簡(jiǎn)化計(jì)算，有利于行列式的計(jì)算。范德蒙行列式的應(yīng)用也比較廣泛，不僅應(yīng)用于一些行列式的計(jì)算當(dāng)中，而且它可以應(yīng)用于證明行列式的問題和一些關(guān)于多項(xiàng)式方面以及某些特征向量線性無關(guān)等問題上。二、研究的方向 范德蒙行列式作為一種特殊的行列式，與有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，將行列式的定理、性質(zhì)融匯于一體，貫穿于證明及計(jì)算行列式之中并加以應(yīng)用，體現(xiàn)較高的解題技巧解決較為復(fù)雜的問題。利用范德蒙行列式的結(jié)論計(jì)算并不復(fù)雜，難的是如何將給定的行列式化成范式的標(biāo)準(zhǔn)形式，并研究范德蒙行列式的推廣及在向量空間理論、線性變換理論、多項(xiàng)式理

32、論、行列式計(jì)算、微積分中的應(yīng)用。三、主要的論文內(nèi)容及提綱范德蒙行列式是一個(gè)很重要的行列式，本文將通過對(duì)n階行列式的計(jì)算，討論他的各種位置變化規(guī)律，然后主要研究一些與范德蒙行列式有關(guān)的例子，從中掌握行列式計(jì)算的某些方法和技巧。本文探討了范德蒙行列式在向量空間理論、線性變換理論、多項(xiàng)式理論中以及行列式的計(jì)算中的應(yīng)用。同時(shí)，行列式的一個(gè)性質(zhì)，即n階準(zhǔn)范德蒙行列式的計(jì)算方法，并使其能解決一類行列式的計(jì)算問題。（1）范德蒙行列式在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用（2）范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用在向量空間理論中，會(huì)經(jīng)常遇到需要用范德蒙行列式轉(zhuǎn)化的問題，通過轉(zhuǎn)化很容易就能得到所需結(jié)論。  （3）范德蒙行列式在線性變換理論中應(yīng)用在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，線性變換一直是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，題目的變化也表較多，在有些題目中，可以巧妙的運(yùn)用范德蒙行列式來解決這類題目。（4）范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用在多項(xiàng)式理論中，涉及到的求根問題有許多，在分析有些題目時(shí)，范德蒙行列式是能夠起到關(guān)鍵的作用的，若能夠熟練有效的運(yùn)用范德蒙行列式，則對(duì)我們最終