大學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典求極限方法(最全)

1、求極限的各種方法1 約去零因子求極限例1:求極限xmX41X 1【說明】X 1說明X與 1無限接近，但X 1，所以X 1這一零因子可以約去2解lim (x 1)(X21)6=4X 1(x 1)(x1)(x1)X 12 分子分母同除求極限32例2:求極限lim X 3 Xx3x3 1【說明】一型且分子分母都以多項式給出的極限，可通過分子分母同除來求解limX3x31limXx3【注】1 一般分子分母同除x的最高次方;na“ xn 1an 1Xm 1bm 1Xa。b。0mn Xim bn mXbmXanmnmnbn3 分子(母)有理化求極限例 3:求極限 lim ( . xx3x21)【說明分子或

2、分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。解lim ( , x23、x21) limxx( .X23. x21)( x23. x21 )limxx23 x210例4:求極限limx 0,1 tanx 、1 si nx解limx 01 tan x1 sinxtanx sinxtanx 1 sinxlim x 0 . 1tan x . 1 sin xtanx si nxlim3x 0x31 tan x sin x lim323 例 6: (1) lim 1 0x3【注此題除了使用分子有理化方法外，及時別離極限式中的非零因子 是解題的關(guān)鍵4 應(yīng)用兩個重要極限求極限1兩個重要極限是lim s 1和li

3、m (1丄廣lim (1丄)“ lim (1 x)； e，第x 0 xxx nn x 0一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。主要考第二個重要極限。例5:求極限limx【說明第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟:先湊出1,再湊1，最后湊指數(shù)局部。x【解lim -_-x x 1xlim 12xx 1limxx 12xx 2ax a8，求 a。x;(2) limx5用等價無窮小量代換求極限【說明】(1) 常見等價無窮小有：當(dāng) x 0 時，xs in x ta n x arcsi n x arcta nxl n(1 x) ex 0 f (u)du 1, 1 cosx 1 x2, 1 ax b 1

4、 abx ；2(2) 等價無窮小量代換，只能代換極限式中的因式；(3) 此方法在各種求極限的方法中 應(yīng)作為首選。例 7：求極限 lim xln(1_xx 0 1 cosx【解】lim 沁兇lim巻2.x 0 1 cosx X 0 1 2x2例8求極限lim sin ： xx 0 tan3 x【解】Sin x xlim3x 0 tan xxlirmsin x x3xCOSX 13x2i_x_3x26 用羅必塔法那么求極限2ln cos2x ln(1 sin x) 例9:求極限lim?x 0x2【說明】一或0型的極限,可通過羅必塔法那么來求【解】limln cos2xln(1sin2 x)2si

5、n2xsi n2xlim cos2x 1 sin2x x 02xsin2x 2122x cos2x 1 sin x【注】許多變動上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法那么求解x例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且0(x t)f (t)dt f (0)0，求極限 lim -一x 0 xx0 f(x t)dtxX t【解】由于o f (x t)dt0xf(u)(du)xo f (u)du，于是xim0xx0 f(t)dtx0(x t)f (t)dt lim七廠x 0xx0 f(x t)dtx0tf (t)dt=啊f(t)dt xf(x) xf(x)=啊f(t)dtf (u)duxf(x)x0f(u)duxf

6、(x)=0。f (0) f(0) f(0)7 .用對數(shù)恒等式求lim f (x)g(x)極限例 11:極限 lim1 ln(1x)【解】2lim1 ln(1 x)x=limx 0x 02ln1 ln(1 x)ex=elim2ln1 ln(1 x)x 0xlimxe2ln(1 x)0x【注】對于1型未定式lim f(x)g(x)的極限，也可用公式lim f (x)g(x) (1lim( f (x) 1)g (x)=e因為lim f (x)g(x)elimg(x)ln(f(x)lim g(x)ln(1 f(x) 1) elim( f (x) e1)g(x)例12：1求極限lim 3 x 0 X32

7、 cosx【解1】xln原式 lim x 0ln(2 lim - x 0【解2】2 cosx3In2 cosxx3limxcosx)2x1 1 lim2 x 0 2 cosxIn 32 cosx "2xsi nx)sin x,2 cosx xln3原式 limex 0ln(llncosxcosx 1 lim2x 0 3x28. 利用Taylor公式求極限例13求極限lim0xxa a2-x(a 0).【解】 axln a e2x_ln22(x2)；x2ln2 a(x2).2乞 ln 2 a (x2),22 2 / 2、a limx 0x ln a (x )2【解】lim ( cot

8、x)X 0lim01 sin x xcosx x xsin xxlimx 03 x3!23x2(x ) x1 可(x )(x3)9. 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解15:極限 lim nsinlim2ln a.x 0x 1例 14 求極限 lim0 ( cotx).0 3nn【說明】這是1形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法那么，假設(shè)直接求有一定難度，假設(shè)轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限, 求解?？赏ㄟ^7提供的方法結(jié)合羅必塔法那么x22 . 1 .1x xsin 1xsi nlim exx【解】考慮輔助極限limx1 1 . 彳sin y 1 y2 ylim ey 0所以,limni 1 n2 nsin

9、n10. n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1) 用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算(2) 利用兩邊夾法那么求極限.例16：極限limn121n222【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算，是把f(x)看成0,1定積分1 22n例17:極限limn1_0 J_xdx2ln 2 12 2 1、n22n2【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成lim1n n的形式,因而用兩邊夾法那么求解;112n1limf -ff -0f(x)dxn nnnn1解原式=limn兩邊夾法那么需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的解lim 1n因為n-n2一 n22n

10、2 n2 n2212n nn21limnlimn所以limn112單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18:設(shè)數(shù)列xn滿足0 x.,Xn i sin Xn(n1,2,)I證明lim xn存在，并求該極限；n1x 1來n計算 lim 4.nXn【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)那么來證明數(shù)列極限的存在【詳解】I因為0X1，那么 0X2sin x11 .可推得 0xn 1 sin xn1,n 1,2,那么數(shù)列Xn有界Xn 1于是Xnsin Xn1Xn因當(dāng)x 0時，sin xx，那么有Xn 1Xn ,可見數(shù)列Xn單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限lim xn存在.n設(shè) lim Xnl，在 Xn 1 sin