浦東暑假初中數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班初三數(shù)學(xué)

1、 初三數(shù)學(xué) 東南數(shù)理化 初中數(shù)學(xué)教研組【數(shù)學(xué)】中考數(shù)學(xué)輔助線的添加方法，幫你輕松拿下壓軸題一、添輔助線有兩種情況：1、按定義添輔助線：如證明兩直線垂直可延長(zhǎng)使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2、按基本圖形添輔助線：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與兩條平行線都相交的等第三條直線（2

2、）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的兩條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的兩邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行

3、證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四

4、個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)兩端點(diǎn)添平行線（7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進(jìn)行證明（9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子

5、不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二、基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問(wèn)題添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一

6、條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等

7、.3.梯形中常用輔助線的添法梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法（1）見弦作弦心距有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已

8、知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。（4）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。三、作輔助線的方法1、中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目

9、的。2、垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。3、邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。4、造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造

10、一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表5、兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。6、兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。7、切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是

11、斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。8、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。9、面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割

12、補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?在平面直角坐標(biāo)系中，有A(-8，3),B(-4，5),C(0,m),D(n,0),當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，m:n的值為 .;AODBFKE圖3GMCKP2（11閘北）. 如圖3，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，O分別是AB，CD，AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧EF，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，并延長(zhǎng)OP交線段BC于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作O的切線，分別交射線AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)G. 若，則BKABGCD3、點(diǎn)是的重心，的延長(zhǎng)線交于，將

13、繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，則的面積 .4.在矩形ABCD中，AD=4，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，P為AB的中點(diǎn)，將ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)O處，點(diǎn)P落在點(diǎn)P/處，那么點(diǎn)P/與點(diǎn)B的距離為 5678楊浦11 25已知半徑為6的O1與半徑為4的O2相交于點(diǎn)P、Q，且O1P O2= 120°，點(diǎn)A為O1上異于點(diǎn)P、Q的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與O2交于點(diǎn)B，直線O1A與直線O2B交于點(diǎn)M。（1） 如圖1，求AM B的度數(shù)；（2） 當(dāng)點(diǎn)A在O1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在AM B的度數(shù)不同于（1）中結(jié)論的情況？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一種該情況的示意圖，并求出AM B的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中再畫

14、出一個(gè)符合題意的圖形，并證明AM B的度數(shù)同于（1）中結(jié)論；（3） 當(dāng)點(diǎn)A在O1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若APO1與BPO2相似，求線段AB的長(zhǎng)。圖2PO1O2QPO1O2圖1ABMQPO1O2Q備用圖9徐匯11 25.在梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，AB=4，AD=5，CD=5E為底邊BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑畫E交直線DE于點(diǎn)F (1) 如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段DE上時(shí)，設(shè)BE，DF，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； (2) 當(dāng)以CD直徑的O與E與相切時(shí)，求的值；(3) 聯(lián)接AF、BF，當(dāng)ABF是以AF為腰的等腰三角形時(shí)，求的值。10（11閔行）25如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)

15、E在邊AD上，聯(lián)結(jié)BE，ABE = 30°，BE = DE，聯(lián)結(jié)BD點(diǎn)M為線段DE上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN / BD，與BE相交于點(diǎn)N（1）如果，求邊AD的長(zhǎng)；（2）如圖1，在（1）的條件下，如果點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CN過(guò)點(diǎn)M作MFCN，垂足為點(diǎn)F，求線段MF的長(zhǎng)；（3）試判斷BE、MN、MD這三條線段的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論ABCDEMN（圖1）FABCDEMN（第25題圖）11徐匯11 21（本題滿分10分，第（1）題6分，第（2）、（3）題各2分）人數(shù)（人） 景點(diǎn)4月份外地游客來(lái)滬旅游首選景點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖外 灘城隍廟東方明珠南京路人民廣場(chǎng)新天地其它作為國(guó)際化

16、的大都市，上海有許多優(yōu)秀的旅游景點(diǎn).某旅行社對(duì)4月份本社接待的2000景點(diǎn)頻數(shù)頻率外 灘6500.325城隍廟350東方明珠3000.15南京路3000.15人民廣場(chǎng)新天地0.075其 它500.025合 計(jì)200014月份來(lái)滬游客旅游首選景點(diǎn)的頻數(shù)分布表名外地游客來(lái)滬旅游的首選景點(diǎn)作了一次調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下圖表.（1）填上頻數(shù)和頻率分布表中空缺的數(shù)據(jù),并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（2）由于五一黃金周、6月高三學(xué)生放假，該社接待外來(lái)旅游的人數(shù)每月比上月按,60%的速度增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)該旅行社6月將接待外地來(lái)滬的游客的人數(shù)是 (3) 該旅行社預(yù)計(jì)10月黃金周接待外地來(lái)滬的游客將達(dá)5200人,請(qǐng)你估計(jì)首選景點(diǎn)是外灘的

17、人數(shù)約是 12（2011閘北）21（本題滿分10分）2010年，世博會(huì)在我國(guó)的上海舉行，在網(wǎng)上隨機(jī)抽取了5月份中的某10天持票入園參觀的人數(shù)，繪成下面的統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)圖4中的信息回答下列問(wèn)題：(1)求出這10天持票入園人數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；圖4(2)不考慮其它因素的影響，以這10天的數(shù)據(jù)作為樣本，估計(jì)在世博會(huì)開館的184天中，持票入園人數(shù)超過(guò)30萬(wàn)人的有多少天？13（11閔行）22分?jǐn)?shù)50.560.570.580.590.5100.5（第22題圖）0.10.20.30.250.0050.0100.0150.0200.0250.030某校九年級(jí)260名學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，隨機(jī)抽取部分學(xué)生的

18、成績(jī)進(jìn)行分析，這些成績(jī)整理后分成五組，繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），從左到右前四個(gè)小組的頻率分別為0.1、0.2、0.3、0.25，最后一組的頻數(shù)為6根據(jù)所給的信息回答下列問(wèn)題：（1）共抽取了多少名學(xué)生的成績(jī)？（2）估計(jì)這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)超過(guò)80分的學(xué)生人數(shù)約有多少名？（3）如果從左到右五個(gè)組的平均分分別為55、68、74、86、95分，那么估計(jì)這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均分約為多少分？1某班50名學(xué)生的一次英語(yǔ)聽力測(cè)試成績(jī)分布如下表所示(滿分10分)：這次聽力測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是成績(jī)(分)012345678910人數(shù)(人)0001013561519 (A)5分； (B)6分； (C)9分； (D)1

19、0分 2已知（x1, y1）,（x2, y2）,（x3, y3）是反比例函數(shù)的圖像上的三個(gè)點(diǎn)，且，則，的大小關(guān)系是(A)； (B)； (C)； (D)3關(guān)于長(zhǎng)方體有下列三個(gè)結(jié)論： 長(zhǎng)方體中每一個(gè)面都是長(zhǎng)方形； 長(zhǎng)方體中每?jī)蓚€(gè)面都互相垂直； 長(zhǎng)方體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的長(zhǎng)方形其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（A）0個(gè)；（B）1個(gè)；（C）2個(gè)；（D）3個(gè).4已知O1和O2的半徑分別為3、5，O1上一點(diǎn)A與O2的圓心O2的距離等于6，那么下列關(guān)于O1和O2的位置關(guān)系的結(jié)論一定錯(cuò)誤的是（A）兩圓外切；（B）兩圓內(nèi)切；（C）兩圓相交； （D）兩圓外離.1、在ABC中，ABAC5，BC6，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，將BEF沿直線EF翻折后，點(diǎn)B落在對(duì)邊A