第1.9節(jié)無(wú)窮小量的比較

1、一. 無(wú)窮小量比較的概念二. 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)和定理 設(shè) , 是同一個(gè)極限過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量.則稱 是 的若, 0lim記為. )(o高階無(wú)窮小,此時(shí), ,lim也可稱 是 的低階無(wú)窮小.若0limCC，為常數(shù),記為則稱 與 是同階無(wú)窮小,. )(O若0 , 0limkCCk，為常數(shù),則稱 為 的 k 階無(wú)窮小, 記為. )(Ok . ,是同階無(wú)窮小與此時(shí)k則稱 是 的若, 1lim記為. 等價(jià)無(wú)窮小,不存在, 但又不是無(wú)窮大,若lim則稱 與 是不能比較的無(wú)窮小.x 0 時(shí)的幾個(gè)無(wú)窮小量的比較：).0( )(o , 0lim ) 1 (220 xxxxxxxxxx2sinlim )2(

2、0, 32limsinlim00 xxxxxx)O(2sinxxx)0( x例1)0 , 0( ln1 axaxax證明1ln1 lim 0axaxx即要證 , 1 xay令ayyxaln)1ln()1 (logaxaxxln1lim 0故)0( ln1 xaxax從而且時(shí)則 , 0 , 0 yx)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10yyy有何想法？例2證 ).0( )1ln( ,xxx得到由該例的證明過(guò)程 , 21cos1lim 20 xxx因?yàn)樗?1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . )0( 21cos1 2xxx還有例3xxxxxx1sin lim1sinl

3、im 00 x 0 時(shí),xx1sin不可比較的無(wú)窮小.不存在, 但不是無(wú)窮大, 與 x 是例4設(shè)在某一極限過(guò)程中, ) ( lim 或?yàn)槿鬭 . limlim 則, , 證綜上所述, , lim 則設(shè)a , limlimlimlimlimlima , 0 , 0lim , lim 的情形即則設(shè)a . lim , 0lim 故于是 . limlim限過(guò)程中的第三個(gè)變量.z 是該極 設(shè)在某極限過(guò)程中, limlimzz( 或?yàn)?), 則若, limaz zz lim lim，a由定理 1, 得0 1limz, 故 lim z = . 綜上所述,設(shè) 則, limaz z limlim則設(shè) ， 0 1

4、lim z, lim z證 . limlimzz設(shè)在某極限過(guò)程中, , , 則 .傳遞性無(wú)窮小量可以用其等價(jià)無(wú)窮小量替代.定理告訴我們:在計(jì)算只含有乘、除法的極限時(shí),例例 .21sintanlim 30 xxxx直接計(jì)算可得 如果在加減法中用等價(jià)無(wú)窮小量替代, 則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤: . 0limsintanlim3030 xxxxxxxx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx時(shí)將常用的等階無(wú)窮小列舉如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan 當(dāng) x 0 時(shí) , , , 0 .mnNa其其中中xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例6解xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例7解3221