第五章 信號(hào)與系統(tǒng)

1、第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.0 引引 言言5.1 離散時(shí)間基本信號(hào)離散時(shí)間基本信號(hào) 5.2 卷積和卷積和 5.3 離散系統(tǒng)的算子方程離散系統(tǒng)的算子方程 5.4 離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 5.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 5.6 系統(tǒng)差分方程的經(jīng)典解法系統(tǒng)差分方程的經(jīng)典解法 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.0 5.0 引引 言言 在前面幾章的討論中，所涉及的系統(tǒng)均屬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這類系統(tǒng)用于傳輸和處理連 續(xù)時(shí)間信號(hào)。此外，還有一類用于傳輸和處理離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散 時(shí)間系統(tǒng)， 簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)。數(shù)字計(jì)

2、算機(jī)是典型的離散系統(tǒng)例子，數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)和數(shù)字通信系統(tǒng)的核心組成部分也都是離散系統(tǒng)。 鑒于離散系統(tǒng)在精度、可靠性、可集成化等方面，比連續(xù)系統(tǒng)具有更大的優(yōu)越性，因此，近幾十年來(lái)，離散 系統(tǒng)的理論研究發(fā)展迅速，應(yīng)用范圍也日益擴(kuò)大。在實(shí)際工作中，人們根據(jù)需要往往把 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)組合起來(lái)使用，這種系統(tǒng)稱為混合系統(tǒng)。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.1 5.1 離散時(shí)間基本信號(hào)離散時(shí)間基本信號(hào)5.1.1 5.1.1 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào) 連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，在數(shù)學(xué)上可以表示為連續(xù)時(shí)間變量t的函數(shù)。這類信號(hào) 的特點(diǎn)是：在時(shí)間定義域內(nèi)，除有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外， 對(duì)任一給定時(shí)刻都對(duì)應(yīng)有確定的

3、信號(hào)值。 離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)，它是離散時(shí)間變量tk(k=0,1, 2, )的函數(shù)。信號(hào)僅在規(guī)定的離散時(shí)間點(diǎn)上有意義，而在其它時(shí)間則沒(méi)有定義，如圖 5.1-1(a)所 示。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 鑒于tk按一定順序變化時(shí)，其相應(yīng)的信號(hào)值組成一個(gè)數(shù)值序列，通常把離散時(shí)間信號(hào)定義為如下有序信號(hào)值的集合： fk=f(tk) k=0, 1, 2, (5.1-1)式中，k為整數(shù)，表示信號(hào)值在序列中出現(xiàn)的序號(hào)。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.1 1 離散時(shí)間信號(hào)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 式(5.1-1)中tk和tk-1之間的間隔(tk-tk-1)可以是常數(shù)，也

4、可以隨k變化。在實(shí)際應(yīng)用中，一般取為常數(shù)。例如，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)均勻取樣后得到的離散時(shí)間信號(hào)便是如此。對(duì)于這類離散時(shí)間信號(hào)，若令tk-tk-1=T，則信號(hào)僅在均勻時(shí)刻t=kT(k=0,1,2,)上取值。此時(shí)，式(5.1 - 1)中的f(tk)可以改寫為f(kT)，信號(hào)圖形如圖 5.1-1(b)所示。 為了簡(jiǎn)便，我們用序列值的通項(xiàng)f(kT)表示集合f(kT)，并將常數(shù)T省略，則式(5.1-1)可簡(jiǎn)寫為fk=f(k) k=0, 1, 2, (5.1-2) 工程應(yīng)用中，常將定義在等間隔離散時(shí)刻點(diǎn)上的離散時(shí)間信號(hào)稱為離散時(shí)間序列離散時(shí)間序列 ，簡(jiǎn)稱序列序列。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.1.

5、2 5.1.2 離散時(shí)間基本信號(hào)離散時(shí)間基本信號(hào)1. 1. 單位脈沖序列單位脈沖序列單位脈沖序列定義為單位脈沖序列定義為01)(k00kk(5.1-3)其圖形如圖5.12所示。序列(k)僅在k=0處取單位值1，其余k0時(shí)均為零。應(yīng)該注意，單位沖激信號(hào)(t)在t=0處可以理解成一個(gè)寬度為無(wú)窮小，幅度為無(wú)窮大，面積為1的窄脈沖；而單位脈沖序列(k)在k=0處取有限值1。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.1 2 單位脈沖序列第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 位移單位脈沖序列01)(0kk00kkkk或01)(0kk00kkkk第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖5.1-3 移位

6、單位脈沖序列第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2. 2. 正弦序列正弦序列正弦序列的一般形式為)cos()(0kAkf(5.1-4)式中，A、0和分別為正弦序列的振幅、數(shù)字角頻率和初相。k無(wú)量綱， 0以rad(弧度)為單位，以弧度或度為單位。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )(cos2cos)2cos()cos()(00000NkAmkAmkAkAkf與連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)不同，離散時(shí)間正弦序列并非一定是周期序列。這是因?yàn)殡x散信號(hào)的自變量k只能取整數(shù)，故周期序列的周期N也必定是整數(shù)。然而,對(duì)于任一正弦序列，并非總能找到滿足周期性序列所要求的正整數(shù)N。 由于 (5.1-5)第 5 章 離

7、散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 式中，m為整數(shù)。式(5.1-5)表明，只有當(dāng) 為整數(shù)，或者02mN為有理數(shù)時(shí)，正弦序列才是周期序列；否則為非周期序列。Nm20(5.1 - 6)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 式中， ， 將它代入式(5.1 - 6)可得002TTsTSrTTNm002當(dāng)正弦序列是通過(guò)抽取連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)的樣本獲得時(shí)，如果假設(shè)正弦信號(hào)cos(0t)的周期為T0，取樣間隔為Ts，那么，經(jīng)過(guò)抽樣得到的正弦序列可表示為 )cos(2cos| )cos()(000kkTTttfskTts(5.17) 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 式中,rT是抽樣間隔Ts與被抽樣的連續(xù)正弦信號(hào)周期T

8、0兩者的比值，稱為周期比。顯然,只有當(dāng)周期比rT為有理數(shù)時(shí)，抽樣后得到的序列才是周期的正弦序列。且將rT表示為不可約分?jǐn)?shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)的分母N即為該正弦序列的周期。分?jǐn)?shù)的分子m表示正弦序列的一個(gè)周期（N）內(nèi)，連續(xù)正弦信號(hào)重復(fù)的周期數(shù)。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 對(duì)于連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào) , 按幾種不同間隔Ts抽樣得到的正弦序列示于圖 5.1-4 中。當(dāng) 時(shí)，有ttf2cos)(161sT162cos)2cos(2cos)(kkTttfskTts由于 為有理數(shù)，故f(k)是一個(gè)周期為16的周期性正弦序列，其圖形如圖5.14(a)所示。當(dāng) 時(shí)， ，可得到如圖5.14(b)所示的序列，其 為有理數(shù)，

9、f(k)是一個(gè)周期為23的周期性正弦序列；當(dāng)時(shí)， ，序列圖形如圖5.14(c)所示，由于周期比 ,是一無(wú)理數(shù)，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此時(shí)它的包絡(luò)函數(shù)f(t)仍具有周期性。 1610TTrsT234sT238cos)(kkf234Tr121sT6cos)(kkf121Tr第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.14 正弦序列第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 3. 3. 指數(shù)序列指數(shù)序列指數(shù)序列的一般形式為kAkf)( (1)若A和 均為實(shí)數(shù)，且設(shè) 則 為實(shí)指數(shù)序列。 當(dāng)1時(shí)，f(k)隨k單調(diào)指數(shù)增長(zhǎng)。當(dāng)0a 1時(shí)，f(k)隨k單調(diào)指數(shù)衰減； 當(dāng)-1時(shí)，f(k)的絕對(duì)

10、值隨k按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。 當(dāng)-1a0時(shí)，f(k)絕對(duì)值隨k按指數(shù) 規(guī)律衰減。 且兩者的序列值符號(hào)呈現(xiàn)正、負(fù)交替變化； 當(dāng)a=1時(shí)，f(k)為常數(shù)序列。當(dāng)a=-1時(shí)，f(k)符號(hào)也呈現(xiàn)正、 負(fù)交替變化。ekAekf)(第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.1 5 實(shí)指數(shù)序列第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 (2) 若A=1，=j0，則 kjekf0)(是虛指數(shù)序列。 我們已經(jīng)知道，連續(xù)時(shí)間虛指數(shù)信號(hào)e j0t是周期信號(hào)。然而，離散 時(shí)間虛指數(shù)序列ej0k則只有滿足一定條件時(shí)才是周期的， 否則是非周 期的。根據(jù)歐拉公式，式(5.1 - 9)可寫成 kjkekj00sincos0可見，e

11、j0k的實(shí)部和虛部都是正弦序列，只有其實(shí)部和虛部同時(shí)為周 期序列時(shí)，才能保證ej0k是周期的。 (5.1-9)(5.1-10)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 (3) 若A和均為復(fù)數(shù)，則f(k)=Aek為一般形式的復(fù)指數(shù)序列 。設(shè)復(fù)數(shù)A=|A|ej, =+j0，并記e=r， 則有 )sin()cos()(00)()()(000kjkrAerAeeAeeAAekfkkjkjkkjjk可見，復(fù)指數(shù)序列f(k)的實(shí)部和虛部均為幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。 （5.1-11）第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 當(dāng)r1時(shí)，f(k)的實(shí)部和虛部均為包絡(luò)按指數(shù)增長(zhǎng)的正弦序列，如圖5.16(a)；當(dāng)r1

12、時(shí)，f(k)的實(shí)部和虛部均為包絡(luò)按指數(shù)衰減的正弦序列，如圖5.16(b)；當(dāng)r=1時(shí)，f(k)的實(shí)部和虛部均為等幅正弦序列，如圖5.16(c)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.1 6 復(fù)指數(shù)序列 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 4. Z序列序列Z序列的一般形式為 kzkf)(式中，z為復(fù)數(shù)。通常，稱序列值為復(fù)值的序列為復(fù)序列復(fù)序列。顯然， Z 序列是一復(fù)序列。若將z表示為極坐標(biāo)形式 0jezzkjkjkezezzkf00)()()sin(cos)(00kjkzzkfkk根據(jù)歐拉公式， 還可寫成 (5.1-12)則式(5.112)可表示為 (5.1-14)第 5 章 離散信

13、號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.2 卷卷 積積 和和5.2.1 卷積和的定義卷積和的定義 定義兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f1(t)和f2(t)的卷積運(yùn)算為 d)()()()(2121tfftftf同樣地， 我們定義 iikfifkfkfkf)()()()()(2121為序列f1(k)和f2(k)的卷積和運(yùn)算，簡(jiǎn)稱卷積和 ( Convolution Sum)。 (5.2 - 2)(5.2-1)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 如果f1(k)為因果序列，由于k0時(shí)，f1(k)=0，故式(5.2 - 2)中求和下限可 改寫為零，即 02121)()()()(iikfifkfkf 如果f2(k)為因果序列，而f1(

14、k)不受限制，那么式(5.2 - 2)中，當(dāng)(k-i) 0，即ik時(shí)，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改寫為k，也就是 kiikfifkfkf)()()()(2121如果f1(k)和f2(k)均為因果序列， 則有 (5.2 - 5)kiikfifkfkf02121)()()()(5.2-3)(5.2-4)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 考慮到f1(k)、f2(k)均為因果序列，根據(jù)式(5.2 - 5)，可將上式表示為 iiikiekfkf)()()()(121例例 5.2 1 設(shè)f1(k)=e-k( k)，f2(k)=(k), 求f1(k)*f2(k)。解解 由卷積和定義式(5.2

15、 - 2)得 1)1(1100211111)()()(eeeeeeikekfkfkkiiii第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 顯然，上式中k0，故應(yīng)寫為 1)1(2111)()()()(eekkekfkfkk 與卷積運(yùn)算一樣，用圖解法求兩序列的卷積和運(yùn)算也包括信號(hào)的翻轉(zhuǎn)、平移、相乘 、求和等四個(gè)基本步驟。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.2 2 已知離散信號(hào) 0231)(1kf其他210kkk 04)(2kkf其他3 , 2 , 1 , 0k求卷積和f1(k)*f2(k)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解 記卷積和運(yùn)算結(jié)果為f(k)，由式(5.2 - 2)得 i

16、ikfifkfkfkf)()()()()(2121 第一步，畫出f1(i)、f2(i)圖形，分別如圖 5.2 - 1(a)、 (b)所示。 第二步，將f2(i)圖形以縱坐標(biāo)為軸線翻轉(zhuǎn) 180，得到f2(-i)圖形，如圖 5.2 - 1(c)所示。 第三步，將f2(-i)圖形沿i軸左移(k0)或右移(k0)|k|個(gè)時(shí)間單位，得到f2(k-i) 圖形。例如，當(dāng)k=-1和k=1時(shí)，f2(k-i)圖形分別如圖 5.2 - 1(d)、 (e)所示。 (5.2-6)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第四步第四步，對(duì)任一給定值k，按式(5.2 - 6)進(jìn)行相乘、求和運(yùn)算，得到序號(hào)為k的卷 積 和序列值f

17、(k)。若令k由-至變化，f2(k-i)圖形將從-處開始沿i軸自左向右移動(dòng) ，并由式(5.2 - 6)計(jì)算求得卷積和序列f(k)。對(duì)于本例中給定的f1(k)和f2(k) ，具體計(jì)算過(guò)程如下： 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 于是，其卷積和為 002713191540)(kkf 對(duì)于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積和計(jì)算， 可以采用下面介紹的更為簡(jiǎn)便實(shí)用的方法計(jì)算。 這種 方法不需要畫出序列圖形， 只要把兩個(gè)序列排成兩行，按普通乘法運(yùn)算進(jìn)行相乘， 但中 間結(jié)果不進(jìn)位，最后將位于同一列的中間結(jié)果相加得到卷積和序列。 例如，對(duì)于例5. 2 - 2 中給定的f1(k)和f2(k)，為了方便，將f2(k)寫在

18、第一行， f1( k)寫在第二行， 經(jīng)序列值相乘和中間結(jié)果相加運(yùn)算后得到 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖5.2-1 卷積和計(jì)算第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.2.2 卷積和的性質(zhì)卷積和的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 離散信號(hào)的卷積和運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即)()()()()()()()()()()()()()()()()(31213213213211221kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkf(5.2-7)(5.2-8)(5.2-9)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 性質(zhì)性質(zhì) 2 任一序列f(k)與單位脈

19、沖序列(k)的卷 積和等于序列f(k)本身， 即 )()()()()(kfkfkkkf性質(zhì)性質(zhì) 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，則 )()()()()(0201021kkfkfkkfkkfkf)()()()()(2112212211kkkfkkfkkfkkfkkf式中k0， k1 , k2均為整數(shù)。 (5.2-10)(5.2-11)(5.2-12)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.2-3 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 試驗(yàn)證x(k)和y(k)的卷積和運(yùn)算滿足交換律，即 )()()()(kxkykykx 解解 先計(jì)算x(k)*y(k)，考慮到

20、x(k)是因果序列，根據(jù)式(5.2-3)，有 5 . 1)3(1)()3()()()()(0iiiiiiikyixkykx(5.2-13)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 再計(jì)算y(k)*x(k)，同樣考慮到x(k)是因果序列，可得 5 . 1313) 3() 3(3) 3() 3()() 3(1)()()()()()(kkkikiikikiikiikikxiykxky所以 5 . 1)()()()(kxkykykx(5.2-14)因求解過(guò)程中對(duì)k沒(méi)有限制，故上述結(jié)論在-k范圍均成立，即x(k)*y(k)運(yùn)算滿足交換律。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.2-4 求序列f1(k

21、)=2-(k+1) (k+1)和f2(k)=(k-2)的卷積和。 解解 用下面兩種方法計(jì)算。 方法一：方法一：圖解法。將序列f1(k), f2(k)的自變量換為i，畫出f 1(i)和f2(i)的圖形如圖 5.2-2(a), (b)所示。 將f2(i)圖形翻轉(zhuǎn) 180后，得f2(-i)，如圖5.2-2(c)所示。 當(dāng)k1時(shí)，由圖 5.2-2(d)可知，其乘積項(xiàng)f1(i)f2(k-i)為零，故f1(k)*f2(k)=0。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.2-2 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 當(dāng)k1時(shí)，按卷積和定義，參見圖 5.2-2(e)，可得 )21 (2222212222

22、222)2(2)2() 1(2)()(11)2(121121)1(1)1()1(21kkkkiikiiiiiiikikikfkf于是)21 (20)()(21kkfkf11kk故有) 1()21 (2)()(21kkfkfk第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 方法二方法二： 應(yīng)用卷積和性質(zhì) 3。 先計(jì)算 kkkiiiikikikkkf22212212)()()2()()()2()(110上式中k0， 故有 )()22()()(2)(kkkkfkk再應(yīng)用卷積和性質(zhì) 3，求得 ) 1()21 (2) 1(22) 1()21()2() 1(2)()()1()1(21kkkfkfkkkfkfkkk第

23、 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.2.3 常用序列的卷積和公式常用序列的卷積和公式 表表 5.1 常用序列的卷積和公式常用序列的卷積和公式 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.3 離散系統(tǒng)的算子方程離散系統(tǒng)的算子方程 5.3.1 LTI離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣，我們也可將離散時(shí)間系統(tǒng)視為一個(gè)“黑盒子”，用輸入輸出模型(如圖5.31所示)來(lái)描述它的特性。圖5.31中的f(k)是輸入，y(k)是輸出，系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可表示為 )()()()(kykfkfTky（5.3-1）或者簡(jiǎn)記為 （5.3-2）式中，符號(hào)“T”和“”表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的變換作用。這里，輸入是引起

24、變換的“原因”，輸出反映了變換的“結(jié)果”，而變換作用則完全取決于系統(tǒng)本身的特性。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖圖 5.3-1 離散系統(tǒng)的輸入輸出模型離散系統(tǒng)的輸入輸出模型 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量。離散時(shí)間系統(tǒng)在k0時(shí)刻的狀態(tài)是指 滿足如下條件的數(shù)目最少的一組數(shù)據(jù)x1(k0), x2(k0), , xn(k0)。 這組 數(shù)據(jù)連同k0k上的輸入f(k)就可以惟一地確定k時(shí)刻的輸出y(k)，而不需具體知道k 0以前的輸入情況。n稱為離散系統(tǒng)的階數(shù)階數(shù)。 在實(shí)際工作過(guò)程中，系統(tǒng)的狀態(tài)x1(k0), x2(k0), , xn(k0)隨k0不同 而變化

25、，我們把描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的變量稱作狀態(tài)變量， 它是一組序 列信號(hào)，記為x1(k), x2(k), , xn(k)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。設(shè)k0為初始觀察 時(shí)刻，則可將系統(tǒng)的輸入?yún)^(qū)分為兩部分，稱k0以前的輸入為歷史輸入信號(hào)，稱k0及k0以后的輸入為當(dāng)前輸入信號(hào)或簡(jiǎn)稱輸入信號(hào)。我們將僅由k0時(shí)刻的初始狀態(tài)或歷史輸入信號(hào)引起的響應(yīng)稱作零輸入響應(yīng)，記為yx(k)；僅由當(dāng)前輸入信號(hào)引起的響應(yīng)稱作零狀態(tài)響應(yīng)，記為yf(k)。而將零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)之和 稱作系統(tǒng)的完全響應(yīng)，記為y(k)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 離散時(shí)間系統(tǒng)

26、的齊次性、疊加性和線性特性。設(shè)離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 f(k) y(k) 所謂齊次性是指對(duì)于任意常數(shù)a、 輸入f(k)和輸出y(k)，恒有 af(k) ay(k) (5.3-3) 所謂疊加性疊加性是指對(duì)于輸入f1(k)、f2(k)和輸出y(k)，若設(shè)f1(k)y1(k)，f2(k) y2( k)，則恒有 f1(k), f2(k) y1(k)+y2(k) (5.3- 4)式中，f1(k), f2(k)表示f1(k)和f2(k)同時(shí)作為系統(tǒng)的輸入。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 齊次性和疊加性統(tǒng)稱為線性特性。 對(duì)于任意常數(shù)a和b，輸入f1(k)和 f2(k)共同作用時(shí)，系統(tǒng)的線性特性可表

27、示為af1(k), bf2(k) ay1(k)+by2(k) (5.3 - 5)它同時(shí)體現(xiàn)了式(5.3-3)的齊次性和式(5.3-4)的疊加性。 線性離散時(shí)間系統(tǒng)和非線性離散時(shí)間系統(tǒng)。 若離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)可 分 解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分， 且零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)或歷史輸入信號(hào)、 零狀態(tài) 響應(yīng)與當(dāng)前輸入信號(hào)之間分別滿足齊次性和疊加性，則稱該系統(tǒng)為線性離散時(shí)間 系統(tǒng)，否則稱為非線性離散時(shí)間系統(tǒng)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)和時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)。 設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 )()(kykfT若對(duì)于任意整數(shù)k0， 恒有 )()(00kkykkfT則稱該系統(tǒng)為

28、時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變離散時(shí)間時(shí)變離散時(shí)間系系 統(tǒng)。統(tǒng)。 因果離散時(shí)間系統(tǒng)和非因果離散時(shí)間系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)始終不會(huì)在 輸入加入之前產(chǎn)生響應(yīng)， 這種系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)， 否則稱為非因果系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例如，有三個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系如下： 系統(tǒng) 1 y(k)=kf(k) 系統(tǒng) 2 y(k)=|f(k)| 系統(tǒng) 3 y(k)=2f(k)+3f(k-1) 根據(jù)定義容易驗(yàn)證： 系統(tǒng) 1 是線性時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)， 系統(tǒng) 2 是非線性時(shí)不變離散時(shí)間 系統(tǒng)， 而系統(tǒng) 3 是線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

29、根據(jù)第 1 章討論結(jié)果，一個(gè)n階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，若其輸入為f(k)，全響應(yīng)為y (k)，那么，描述該系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)差分方程，它可以表 示為 )() 1()()() 1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn式中，ai(i=0, 1, , n-1)，bj(j=0, 1, , m)均為常數(shù)。 (5.3-7)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.3.2 離散系統(tǒng)算子方程離散系統(tǒng)算子方程 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析中，我們?cè)梦⒎炙阕觩和積分算子p-1分別表示對(duì)函數(shù)的微分 和積分運(yùn)算。與此類似，在離散系統(tǒng)分析中，我們引入E算子(超前算子)，表示將序列提

30、前一個(gè)單位時(shí)間的運(yùn)算；E-1算子(遲后算子 )，表示將序列延遲一個(gè)單位時(shí)間的運(yùn)算，即：),1()(),1()(1kfkfEkfkEf)()()()(nkfkfEnkfkfEnn應(yīng)用中，統(tǒng)稱E算子和E-1算子為差分算子。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 利用差分算子，可將差分方程式(5.3-7)寫成下述形式： )()()()()()(011011kfEbkfEbkfbkyEakyEakymmmnn或?qū)懗?()()()1 (011011kfEbEbbkyEaEammmnn進(jìn)一步寫成)()()()(1)(011011kfEAEBkfEaEaEbEbbkynnmmm式中：nnmmmEaEaEAE

31、bEbbEB0110111)()(5.3-8)(5.3-9)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 若令 nnmmmEaEaEbEbbEAEBEH0110111)()()(則式(5.3-9)可表示為 )()()(kfEHky(5.3-10)(5.3-11)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 此式稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的算子方程。式中的H(E)稱為離散系統(tǒng)離散系統(tǒng) 的傳輸算子的傳輸算子。H(E)在離散系統(tǒng)分析中的作用與H(p)在連續(xù)系統(tǒng)分析中的作用相同 ，它完整地描述了離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)， 或者說(shuō)集中反映了系統(tǒng)對(duì)輸入序列的傳輸特 性。例如，設(shè)某離散系統(tǒng)的差分方程為 )()() 1(kfkayky以單

32、位延遲算子E-1作用于方程兩邊后，得到 ）（1) 1()(kfkayky第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.3-2 用H(E)表示離散系統(tǒng) 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 根據(jù)差分算子的定義，容易證明： )()(1)(1)()(1)(1mnkfkfEEkfEEkfkEfEkfEEnmmn可見，對(duì)于同一序列而言，超前算子與遲后算子的作用可以互相抵消。同樣，差分方程兩邊的公共因子也允許消去。這與微分和積分算子是有區(qū)別的。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.3-1 設(shè)描述某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為 )()2() 1()(kfkbykayky求其傳輸算子H(E), 并畫出

33、系統(tǒng)的模擬框圖和信號(hào)流圖表示。 解解 寫出系統(tǒng)的算子方程為 )()()1 (21kfkybEaE所以，系統(tǒng)的傳輸算子 2111)(bEaEEH第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 再將算子方程改寫成 )()()()(21kybEkyaEkfky應(yīng)用基本運(yùn)算單元，容易畫出相應(yīng)的模擬框圖和信號(hào)流圖如圖5.33所示。其中遲后算子E-1與第1章中定義的移位器D的作用相同,故也常稱E-1為移位器。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.3-3 例 5.3-1圖 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.3-2 某離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出算子 方程為 )()()()(kfEBkyEA式中： 2

34、01122011)(1)(EbEbbEBEaEaEA試畫出系統(tǒng)的模擬框圖和信號(hào)流圖。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解 如同連續(xù)系統(tǒng)那樣，選擇中間變量x(k)，并令 )(11)()(1)(2011kfEaEakfEAkx則有 )()()()()(20112kxEbEbbkxEBky)()()()(2011kfkxEakxEakx(5.3-12)(5.3-13)由式(5.312)得 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )()()()(20112kxEbkxEbkxbky(5.3-14)或?qū)懗?)()()()(2011kxEakxEakfkx根據(jù)式(5.314)可畫出如圖5.34(a)

35、所示的模擬框圖。由式(5.313)可得到輸出y(k)與x(k)之間的關(guān)系 (5.3-15)此方程右邊的x(k)、E-1x(k)及E-2x(k)在圖5.34(a)中的位置是很清楚的，因此可很方便地畫出整個(gè)系統(tǒng)的模擬框圖和信號(hào)流圖分別如圖5.34(b)、(c)所示。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.3-4 例 5.3-2圖 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.4 離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 根據(jù)線性系統(tǒng)定義，系統(tǒng)的完全響應(yīng)由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分組成。 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析中，我們從描述系統(tǒng)的微分方程或傳輸算子H(p)出發(fā)，分別求 出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零

36、狀態(tài)響應(yīng)， 然后把它們疊加起來(lái)得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)。 這種做法 同樣適用于離散系統(tǒng)的時(shí)域分析。 只是在離散時(shí)間系統(tǒng)分析中， 我們討論問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是 描述系統(tǒng)的差分方程或傳輸算子H(E)。 此外，求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)， 與連續(xù)時(shí)間信號(hào) 的卷積積分相對(duì)應(yīng)， 需要進(jìn)行離散時(shí)間信號(hào)的卷積和計(jì)算。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 如前所述，一個(gè)描述n階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程，若應(yīng)用差分算子E，則可 表示為 )()()()1 (011011kfEbEbbkyEaEammmnn或者寫為 )()()()()()()(kfEHkykfEBkyEA式中： nnmmmEaEaEbEbbEAEBEH011

37、0111)()()(5.4-1)(5.4-2)(5.4-3)(5.4-4)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 根據(jù)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的定義，如果假定初始觀察時(shí)刻為k0，那么，離散系統(tǒng)的零 輸入響應(yīng)就是k0及k0以后的輸入為零時(shí)，僅由k0以前的輸入或k0時(shí)刻的狀態(tài)引起 的響應(yīng)，常記為yx(k)。 由此可見，在系統(tǒng)差分方程式(5.4-1)中，只需 令輸入信號(hào)f(k)為零，就可得到求解零輸入響應(yīng)yx(k)的方程，其一般形式為 0)()1 (011kyEaEaxnn0kk 或者簡(jiǎn)寫為 0)()(kyEAx0kk 具體地說(shuō)，離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)就是上面齊次差分方程滿足給定初始條件yx(0 )，yx(1)，

38、yx(n-1)時(shí)的解。 (5.4-5)(5.4-6)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.4.1 簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 如果離散系統(tǒng)傳輸算子H(E)僅含有單個(gè)極點(diǎn)r， 這時(shí)式(5.4-6)可表示為 0)()(kyrEx0kk 這是一個(gè)一階齊次差分方程，將上式改寫為 0)() 1(krykyxx0kk (5.4-7)(5.4-8)式中，c1是常數(shù)，由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始條件確定。上述結(jié)果與一階齊次微分方程解c1 et的形式非常類似，因?yàn)楫?dāng)時(shí)間t按t=kT離散變化時(shí)，其解可改寫成c1 et = c1 ekT=c1(eT)k，令eT=r時(shí)，就是差分方程式(5.47)的解。 第

39、 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 因此，我們有如下結(jié)論： kxrckyEEBEH1)()()(0kk 如果系統(tǒng)傳輸算子僅含有g(shù)個(gè)單極點(diǎn)r1, r2, , rg，則相應(yīng)齊次差分方程可寫成 0)()(21kyrEEExg）（0kk 顯然，滿足以下方程 0)()(kyExigi, 2 , 1的解，必定也滿足式(5.4-10)。仿照微分方程解結(jié)構(gòu)定理的證明，可導(dǎo)得式(5 .4-10)的解為 (5.4-9)(5.4-10)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 kngkkxrcrcrcky2211)(式中, 待定系數(shù)值c1, c2, , cg由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始條件確定。 于是，有結(jié)論 gikiixg

40、rckyrErErEEBEH121)()()()()(0kk 為了考察H(E)含有重極點(diǎn)的情況，我們假定對(duì)于一極小值，其系統(tǒng)齊次差分方程為 0)()()(kyrErEx(5.4-11)(5.4-12)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 且系統(tǒng)初始條件為 ) 1 ()0(xxyyyx(k)表示為 kkxrcrcky)()(21代入初始條件，有 )(2121rcrccc解得 rc1rc2(5.4-13)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )()()()()()(1 )(313212131321211rrcrkrarrrcrcrrrrrrrkykkkkkkkkkx現(xiàn)在，令0取極限，使得H(E)的

41、兩個(gè)極點(diǎn)相重合，于是有 kxrkrky)()(lim10或?qū)懗?kxrkccky)()(1110第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 式中： )(11110rcc同樣道理，如果傳輸算子H(E)僅含有r的d重極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的齊次差分方程為 kddxrkckckccky)()(112210相應(yīng)的零輸入響應(yīng)可表示為 0)()(kyExd 式中，常數(shù)c0, c1, , cd-1由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始條件確定。 因此 kdjjjxdrkckyrEEBEH)()()()()(100k(5.4-14)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.4.2 一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一般系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 設(shè)n階離散時(shí)間系

42、統(tǒng)的齊次差分方程為 0)()1 (02211kyEaEaEaxnnn其傳輸算子H(E)含有g(shù)個(gè)相異極點(diǎn)r1, r2, , rg，對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)分別是d1, d2, , dl。 這里， (d1+d2+dl)=n。顯然，若di(i=1, 2, , l)為 1 時(shí)， 表示相應(yīng)的極點(diǎn)ri是單極點(diǎn)。此時(shí)式可表示為 0)()()()(2121kyrErErExlddld(5.4-15)(5.4-16)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 n階LTI離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 10)(idjkijijxirkckylixixkyky1)()(0k式中l(wèi)i, 2 , 1式中，各待定系數(shù)由系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yx(k)的初始

43、條件確定。 (5.4-17)(5.4-18)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 綜上所述，由LTI離散系統(tǒng)傳輸算子H(E)求零輸入響應(yīng)yx(k)的具體步驟可歸納如下： 第一步，第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相異極點(diǎn)r1, r2，, rl及相應(yīng)的重?cái)?shù)d1, d2, , dl。將系統(tǒng)齊次差分方程表示為 0)()(1kyrExgidii(5.4-19)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第二步第二步，求解方程0)()(kyrExidiili, 2 , 1得到各極點(diǎn)相應(yīng)輸入響應(yīng)分量10)(idjkijijxirkckyli, 2 , 1(5.4-20)(5.4-21)第 5 章 離散

44、信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第三步，第三步，寫出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)gikijijdjgixixrkckykyi1101)()(0k 第四步第四步，由零輸入響應(yīng)初始條件確定式（5.4-22）中的各個(gè)待定系數(shù)cij，并最后求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(k)。（5.4-22）第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 表5.2yx(k)與A(E)對(duì)應(yīng)關(guān)系 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.4-1 已知離散時(shí)間系統(tǒng)傳輸算子 2)5 . 0)(3 . 0)(2 . 0(2)(EEEEEH及初始條件yx(0)=12，yx(1)=4.9， yx(2)=2.47，yx(3) =1.371。 求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

45、 解解 因?yàn)閭鬏斔阕親(E)極點(diǎn)為r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重極點(diǎn))。所以，可得 kkxkkxkkxkccrkcckycrckycrcky)5 . 0()()() 3 . 0()()2 . 0()(3130331303202202101101第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 kkkkxkccccky)5 . 0()5 . 0() 3 . 0()2 . 0()(31302010上式中令k=0, 1, 2, 3, 代入初始條件后得到 371. 1375. 0125. 0027. 0008. 0) 3(47. 25 . 025. 009. 004. 0)2(9 . 45 . 0

46、5 . 03 . 02 . 0) 1 (12)0(313020103130201031302010302010ccccyccccyccccycccyxxxx聯(lián)立上述方程，求解得c10=5, c20=3, c30=4, c31=2。于是，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為kkkxkky)5 . 0)(24() 3 . 0( 3)2 . 0( 5)(0k第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 與連續(xù)系統(tǒng)中的H(p)一樣，H(E)中若有復(fù)極點(diǎn)，則必定共軛成對(duì)。若設(shè)H(E)的共軛復(fù)極點(diǎn)為 jjerrer*121)sincos()()()()(2120102010kckcececececkykkjkjkkjkjx式中：

47、)(2010220101ccjcccc則由式(5.422)可得 (5.4-23)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.4-2 設(shè)描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 為 )2(2) 1()2(25. 0)(kfkfkyky系統(tǒng)初始條件為yx(0)=2, yx(1)=3。試求k0時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。 解解 寫出系統(tǒng)傳輸算子 25. 0225. 012)(2221EEEEEEH其極點(diǎn)是一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)： 22215 . 05 . 0,5 . 05 . 0jjejrejr第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 由式(5.4-23)或表5.2， 得 2sin2cos)5 . 0()(21kckckykx利

48、用初始條件35 . 02sin2cos5 . 0) 1 (2)0(2211cccycyxx求得c1=2,c6=6于是得出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2sin62cos25 . 0)(kkkykx0k第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的初始觀察時(shí)間為k0，所謂離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，是指該系統(tǒng)的初始狀態(tài)或者歷史輸入為零時(shí)，僅由k0時(shí)加入的輸入所引起的響應(yīng)，通常記為yf(k)。 在連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域法分析中，我們根據(jù)信號(hào)的分解特性和LTI系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性， 導(dǎo)出了系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式。具體做法包括： (1) 將一般信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)單元的線

49、性組合； (2) 求出基本信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)； (3) 導(dǎo)出一般信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.5.1 離散信號(hào)的時(shí)域分解離散信號(hào)的時(shí)域分解 根據(jù)單位脈沖序列定義和序列位移的概念， 我們有 01)(mkmkmk于是可得 0)()()(mfmkkfmkmk第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 因此，對(duì)于任意序列f(k)，可寫成 )2()2() 1() 1 ()()0() 1() 1()2()2()(kfkfkfkfkfkf即 )()()()()(kkfmkmfkfm(5.5-1)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖 5.5-1 離散信號(hào)的

50、時(shí)域分解 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 可以將圖 5.5-1 所示的序列分解表示為 d)()()(tftf)4()2(2)(3) 1()2(2)(kkkkkkf顯然，式(5.5-1)是與連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的時(shí)域分解公式相對(duì)應(yīng)的。在連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析中，我們還給出了另一個(gè)分解公式 d)()( )(tftf容易得到相應(yīng)的分解公式為 mmkmfmfkf)()1()(（5.5-2）（5.5-3）第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.5.2 基本信號(hào)基本信號(hào)(k)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)初始觀察時(shí)刻k0=0，則離散系統(tǒng)對(duì)于單位脈沖序列(k)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的 單位脈沖

51、響應(yīng)，或簡(jiǎn)稱為單位響應(yīng)， 記作h(k)。 LTI離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)可由系統(tǒng)的傳輸算子H(E)求出。例例 5.5-1 單極點(diǎn)情況。若系統(tǒng)傳輸算子 rEEEH)(具有單極點(diǎn)E=r，則相應(yīng)的差分方程為 )()()(kEfkyrE(5.5-4)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 令f(k)=(k)時(shí)，其yf(k)=h(k)， 故有)()()(kEkhrE即 ) 1()() 1(kkrhkh移項(xiàng)后有 ) 1()() 1(kkrhkh根據(jù)系統(tǒng)的因果性，當(dāng)k0時(shí)，有h(k)=0。以此為初始條件， 對(duì)式(5.5-6)進(jìn) 行遞推運(yùn)算得出 (5.5-5)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 krkkrhkhrr

52、hhrrhhrhh)() 1()()2() 1 ()2() 1 ()0() 1 (1)0() 1()0(2因此有 )()()(krkhrEEEHk(5.5-7)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.5-2 重極點(diǎn)情況。設(shè)系統(tǒng)傳輸 算子 2)(rEEEH在E=r處有二階重極點(diǎn)。寫出系統(tǒng)的差分方程 )()()(2kEfkyrE同樣，令f(k)=(k)，得到單位響應(yīng)h(k)的求解方程為 )()()(2kEkhrE將該方程改寫為 )()()(kEkhrErE(5.5-8)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 可將上式方括號(hào)中的(E-r)h(k)表示為 )()()(krkhrErEk或者寫成

53、)()() 1(krkrhkhk采用例 5.5-1 類似求解方法，可求得系統(tǒng)的單位響應(yīng) ）（kkrkhk1)(于是有 )()()()(12kkrkhrEEEHk(5.5-9)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 同理，可得 )(! 2) 1()()()(23krkkkhrEEEHk以及d階重極點(diǎn)相應(yīng)的單位響應(yīng) )()2() 1()!1(1)()()(1krdkkkdkhrEEEHdkd(5.5-10)(5.5-11)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 設(shè)LTI離散系 統(tǒng)的傳輸算子為 0111101111011011)(1)(aEaEaEbEbEbEbEEaEaEbEbbEHnnnmmmmmn

54、nnmmm求單位響應(yīng)h(k)的具體步驟是：第一步， 將H(E)除以E得到 ;EEH）（(5.5-12)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第二步， 將 展開成部分分式和的形式； 第三步， 將上面得到的部分分式展開式兩邊乘以E， 得到H(E)的部分分式展開式 ;EEH）（lidiiliiirEEKEHEEH11)()(）（(5.5-13)式中，l為 的相異極點(diǎn)數(shù)，ri為第i個(gè)極點(diǎn)，di為該極點(diǎn)的階數(shù)，Ki為相應(yīng)部分分式項(xiàng)系數(shù)，各極點(diǎn)的階數(shù)之和等于n,即d1+d2+dl=n； EEH)(第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第四步，由式(5.5-11)求得各Hi(E)對(duì)應(yīng)的單位響應(yīng)分量 hi(k

55、) ；第五步， 求出系統(tǒng)的單位響應(yīng) )()()(1kkhkhgii)(k（5.5-14）最后，將傳輸算子H(E)進(jìn)行部分分式展開后得到的簡(jiǎn)單分式與單位響應(yīng)分量的對(duì)應(yīng)關(guān)系列于表5.3中，以供查閱使用。第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 表5.3H(E)分式與hi(t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.5-3 求圖 5.5-2 所示離 散系統(tǒng)的單位響應(yīng)h(k)。 圖 5.5-2 例 5.5-3圖 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解 )()2(2) 1()(kfkykyky或?qū)憺?)()2(2) 1()(kfkykyky相應(yīng)的傳輸算子為2211)(2221EEEE

56、EEH將 進(jìn)行部分分式展開，得EEH)(23/213/1)2)(1()(EEEEEEEH第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 由于 )() 1(31)(1311kkhEEk)()2(32)(2322kkhEEk所以，系統(tǒng)的單位響應(yīng) )()2(32) 1(31)()()(21kkhkhkhkk于是232131)(EEEEEH第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.5-4 如圖 5.5-3 的離散 系統(tǒng)，求其單位響應(yīng)h(k)。 圖 5.5-3 例 5.5-4圖 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 解解(1) 列算子方程。 )()(2)()(21kfkxEkxEkx它可寫為)(211)(2

57、1kfEEkx由右端加法器的輸出端可列出方程)()1 ()()()(22kxEkxEkxky)(211)(212kfEEEky系統(tǒng)的輸入輸出算子方程(5.5-15)(5.5-16)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 (2) 求單位響應(yīng)。 2121211)(22212EEEEEEEEEH21121)2(1)(0EEEEEEEH將 進(jìn)行部分分式展開，得 EEH)(于是 2121)(EEEH第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 由于 )(5 . 0)(5 . 01kkh)()2(5 . 0)(25 . 02kkhEEk所以，系統(tǒng)的單位響應(yīng) )()2(5 . 0)(5 . 0)()()(21kkkh

58、khkhk(5.5-17)第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 5.5-5 設(shè)描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分 方程為 ) 1(25. 0)2(3) 3(11)(05. 0)2(45. 0)2(2 . 1) 3(kfkfkfkykykyky求系統(tǒng)的單位響應(yīng)。解解 由已知差分方程得系統(tǒng)傳輸算子05. 045. 02 . 125. 0311)(2323EEEEEEEH第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 EEH)(222232)5 . 0(55 . 0102 . 01)5 . 0)(2 . 0(25. 031105. 045. 02 . 125. 0311)(EEEEEEEEEEEEEEH將 進(jìn)行部分

59、分式展開，得即2)5 . 0(55 . 0102 . 0)(EEEEEEEH由式（5.5-11）得第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )()5 . 0(5)5 . 0(5)()5 . 0(105 . 010)(2 . 02 . 012kkEEkEEkEEkkk因此，系統(tǒng)單位響應(yīng)為)()5 . 0(5)5 . 0(102 . 0)(1kkkhkkk第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.5.3 一般信號(hào)一般信號(hào)f(k)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)離散系統(tǒng)的輸入為f(k)，對(duì)應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yf(k)。由離散信號(hào)的時(shí) 域分解公式(5.5-1)知道，可將任一輸入序列f(k)分解表示成

60、眾多移位脈沖序列的 線性組合，即 )()()(mkmfkfm 根據(jù)LTI離散系統(tǒng)的特性，應(yīng)用單位響應(yīng)h(k)可以分別求出每個(gè)移位脈沖序列f(m)(k-m)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。然后， 把它們疊加起來(lái)就可以得到系統(tǒng)對(duì)輸 入f(k)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。 第 5 章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )()()()()()()()()()()()()()()(khkfkfmkhmfmkmfmkhmfmkmfmkhmkkhkmm單位響應(yīng)定義 系統(tǒng)的時(shí)不變特 性 yf(k) 的齊次性 yf(k)的疊加性 信號(hào)的分解公式和卷積和運(yùn)算 定義 于是，得到系統(tǒng)在一般信號(hào)f(k)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為 mfkhkfm