2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（上海）賽區(qū)競(jìng)賽試卷

1、2012年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題（本題滿(mǎn)分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1.如圖,正六邊形的邊長(zhǎng)為1,它的6條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形,如此繼續(xù)下去,則所有這些六邊形的面積和是 . 2.已知正整數(shù)滿(mǎn)足: ,則的最小可能值是 .3.若，,，則 .4已知關(guān)于的方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .5如圖，是邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)接三角形，已知，則 .6方程的非負(fù)整數(shù)解 .7一個(gè)口袋里有5個(gè)大小一樣的小球，其中兩個(gè)是紅色的，兩個(gè)是白色的，一個(gè)是黑色的，依次從中摸出5個(gè)小球，相鄰兩個(gè)小球的顏色均不相同的概率是 .（用數(shù)字作答）8數(shù)列定義如下：.若，則正整數(shù)的最小值為 .二、解答

2、題9（本題滿(mǎn)分14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD的夾角，記直線AB與CD的距離為求的表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍10（本題滿(mǎn)分14分）給定實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值11（本題滿(mǎn)分16分）正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：（1）；（2）12（本題滿(mǎn)分16分）給定整數(shù)，記為集合的滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件的子集A的元素個(gè)數(shù)的最小值：（a） ；（b） A中的元素（除1外）均為A中的另兩個(gè)（可以相同）元素的和（1）求的值；（2）求證：2012年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案1、 2、923、11 4、5、 6、7、 8、40259解 由平行四邊形對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和得 （2分）在OBC中，由余弦定理，所以 ， 由

3、，得 （5分）所以 ，故 ，所以 （10分）由可得，故因?yàn)?，結(jié)合，可得 ，解得（結(jié)合） 綜上所述， （14分）10解 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，且當(dāng)時(shí)不等式等號(hào)成立，故 （6分） 當(dāng)時(shí)，此時(shí)“耐克”函數(shù)在內(nèi)是遞減，故此時(shí) 綜上所述， （14分）11證 （1）記，由平均不等式 （4分）于是 ，所以 ，而，所以，即，從而 （10分） （2）又因?yàn)?，所?，故 （16分）12解 （1）設(shè)集合，且A滿(mǎn)足（a），（b）則由于不滿(mǎn)足（b），故又 都不滿(mǎn)足 （b），故而集合滿(mǎn)足（a），（b），所以 （6分） （2）首先證明 事實(shí)上，若，滿(mǎn)足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為令，由于，故又，所以，集合，且B滿(mǎn)足（a），（b）從而 （10分）其次證明： 事實(shí)上，設(shè)滿(mǎn)足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為令