最新人教八年級(jí)三角形教學(xué)案

1、 學(xué)思苑教育 學(xué)習(xí)無捷徑，考試有方法與三角形有關(guān)的線段知識(shí)點(diǎn)1：三角形的邊三角形的概念:不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊. 推論：三角形兩邊的差小于第三邊。腰腰底邊頂角底角底角三角形分類有兩種方法：（1）按角分類；（2）按邊分類（1） 按角分類 銳角三角形三角形 直角三角形 鈍角三角形（2）按邊分類 不等邊三角形 三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形考點(diǎn)1：認(rèn)識(shí)三角形1.如圖7.1.1-1的三角形記作_，它的三條邊是_，三個(gè)頂點(diǎn)分別是_，三個(gè)內(nèi)角是_，頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別是_，用小寫字母分別表示

2、為_.圖7.1.1-2圖7.1.1-12.三角形按邊分類可分為_三角形，_三角形；等腰三角形分為底與腰_的三角形和底與腰_的三角形.3.如圖7.1.1-2所示，以AB為一邊的三角形有（ ）A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)考點(diǎn)2：三角形三邊關(guān)系4.已知四組線段的長(zhǎng)分別如下，以各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）A.1，2，3B.2，5，8C.3，4，5D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則下列長(zhǎng)度的四條線段中能作為第三邊的是（ ） A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm6.如果線段a、b、c能組成三角形，那么，它們的長(zhǎng)度比可能是（ ）A.1

3、24B.134C.347D.2347.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和7cm，則此三角形的周長(zhǎng)為（ ）A.15cmB.18cmC.15cm或18cmD.不能確定8.下列各組給出的三條線段中不能組成三角形的是（ ）A.3，4，5B.3a，4a，5aC.3+a，4+a，5+aD.三條線段之比為3589.三角形三邊的比是345，周長(zhǎng)是96cm，那么三邊分別是_cm.10.已知等腰三角形的周長(zhǎng)是25cm，其中一邊長(zhǎng)為10cm，求另兩邊長(zhǎng)_.11.某木材市場(chǎng)上木棒規(guī)格和價(jià)格如下表：規(guī)格1m2m3m4m5m6m價(jià)格（元/根）101520253035小明的爺爺要做一個(gè)三角形的木架養(yǎng)魚用，現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度為3

4、m和5m的木棒，還需要到某木材市場(chǎng)上購買一根.問：（1）有幾種規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？（2）選擇哪一種規(guī)格的木棒最省錢？12. 如圖所示,已知P是ABC內(nèi)一點(diǎn),試說明PA+PB+PC>(AB+BC+AC).13、（1）如圖1，從A經(jīng)B到C是一條柏油馬路，AC是一條小路，人們從A到C，為什么不走柏油路，而喜歡走小路？請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)解釋一下原因。（2）如圖2，從A經(jīng)B到C是一條柏油馬路，由A經(jīng)D到C是一條小路，人們從A步行到C，為什么不走柏油路，而喜歡走小路？請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)解釋一下原因。 14、已知a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)知識(shí)點(diǎn)2：三角形的高、中線與角平分線1.三角形的高(

5、如圖從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。表示法：（1）AD是ABC的BC上的高。（2）ADBC于D。（3）ADBADC90°。注意：三角形的高是線段；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)。圖2如圖3圖12.三角形的中線（如圖2）三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。表示法：（1）AD是ABC的BC上的中線；（2）BDDCBC注意：三角形的中線是線段；三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形。3、三角形的角平分線（

6、如圖3）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段。表示法：（1）AD是ABC的BAC的平分線。（2）12BAC注意：三角形的角平分線是線段；三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；可以用量角器畫三角形的角平分線。考點(diǎn)1：三角形的高1.如圖7.1.2-1，在ABC中，BC邊上的高是_；在AFC中，CF邊上的高是_；在ABE中，AB邊上的高是_. 圖7.1.2-1 圖7.1.2-2 圖7.1.2-32.如圖7.1.2-2，ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則ABH的三條高是_，這三條高交于_.BD是_、_、_的高.3.如圖7.1.2-

7、3，在ABC中EFAC，BDAC于D，交EF于G，則下面說話中錯(cuò)誤的是（ ）A.BD是ABC的高B.CD是BCD的高C.EG是ABD的高D.BG是BEF的高4.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（ ） A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定5.三角形的三條高的交點(diǎn)一定在（ ）A.三角形內(nèi)部B.三角形的外部C.三角形的內(nèi)部或外部D.以上答案都不對(duì)6.如圖7.1.2-4所示，ABC中，邊BC上的高畫得對(duì)嗎？為什么？ 圖7.1.2-47、如圖，在ABC中，D是BC邊上的任意一點(diǎn)，AHBC于H。圖中以AH為高的三角形個(gè)數(shù)為（ ） A、3 B、4 C、5

8、D、6考點(diǎn)2：三角形的中線與角平分線8如圖7.1.2-5所示：（1）ADBC，垂足為D，則AD是_的高，_=_=90°.（2）AE平分BAC，交BC于E點(diǎn)，則AE叫做ABC的_，_=_=_.（3）若AF=FC，則ABC的中線是_，SABF=_.（4）若BG=GH=HF，則AG是_的中線，AH是_的中線. 圖7.1.2-5 圖7.1.2-69.如圖7.1.2-6，DEBC，CD是ACB的平分線，ACB=60°，那么EDC=_度.10.如圖7.1.2-7，BD=DC，ABN=ABC，則AD是ABC的_線，BN是ABC的_，ND是BNC的_線. 圖7.1.2-7 圖7.1.2-8

9、11.如圖7.1.2-8，若上1=2、3=4，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A.AD是ABC的角平分線B.CE是ACD的角平分線C.3=ACBD.CE是ABC的角平分線12.下列判斷中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）（1）D是ABC中BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且BD=CD，則AD是ABC的中線（2）D是ABC中BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且ADC=90°，則AD是ABC的高（3）D是ABC中BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且BAD=BAC，則AD是ABC的角平分線（4）三角形的中線、高、角平分線都是線段A.1B.2C.3 D.412如圖，在ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則根據(jù)圖形填空：BE= = ； BAD= =

10、AFB= =900；14.如圖圖7.1.2-9所示，在ABC中，D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，SABC=4cm2，求SABE. 圖7.1.2-9 15.ABC中，高AD與CE的長(zhǎng)分別為2，4 求AB與BC的比是多少？16、在ABC中，ABAC，AC上的中線BD把三角形的周長(zhǎng)分為24cm和30cm的兩個(gè)部分，求三角形的三邊長(zhǎng)。16.根據(jù)你畫圖的實(shí)踐，用序號(hào)字母填寫下表（有幾種可能情況填寫幾個(gè)字母）：A.在三角形的內(nèi)部 B.在三角形的邊上 C.在三角形的外部銳角三角形直角三角形鈍角三角形角平分線中線高17填表：用長(zhǎng)度相等的火柴棒拼成如圖所示的圖形三角形的個(gè)數(shù) 1 2 3 4 5n所用的火柴的根數(shù)3

11、57918.如圖所示,在ABC中,A=,ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)P, 且P=,試探求下列各圖中與的關(guān)系,并選擇一個(gè)加以說明. 知識(shí)3：三角形的穩(wěn)定性考點(diǎn)1：三角形的穩(wěn)定性1.三角形是具有_的圖形，而四邊形沒有_.2.自行車用腳架撐放比較穩(wěn)定的原因是_.3.木工師傅在做完門框后，為了防止變形常常像圖7.1.3-1所示那樣釘上兩條斜拉的木板條（即圖中的AB、CD兩個(gè)木條），這樣做根據(jù)數(shù)學(xué)道理是_. 圖7.1.3-1 圖7.1.3-2考點(diǎn)2：四邊形的不穩(wěn)定性4.如圖7.1.3-2是放縮尺，其工作原理是_.5下列把四邊形的不穩(wěn)定性合理地應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)際中的例子有（ ）（1）活動(dòng)掛架 （2）放

12、縮尺 （3）屋頂鋼架 （4）能夠推攏和拉開的鐵拉門（5）自行車的車架 （6）大橋鋼架A.1B.2C.3D.46.下列圖形（如圖7.1.3-3）中哪些具有穩(wěn)定性？圖7.1.3-37.如圖7.1.3-4，哪些應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性，些應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性. 鋼架橋 起重機(jī) 屋頂鋼架 活動(dòng)滑門圖7.1.3-4你來試一試：夯實(shí)基礎(chǔ)一、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）1、如圖，當(dāng)_時(shí)，AD是ABC的中線；當(dāng)_時(shí)，AD是ABC的角平分線.圖2圖32、圖2中有_個(gè)三角形，它們分別是_3、如圖3，ABC的高AD、BE、CF相交于點(diǎn)I，BIC的BI邊上的高是_4、三角形的三邊之比是345，周長(zhǎng)是36c

13、m，求這個(gè)三角形各邊長(zhǎng)分別為_。5、已知三角形兩邊長(zhǎng)分別是2cm和5cm，第三邊長(zhǎng)數(shù)值為奇數(shù)，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為_cm6、觀察下表中三角形個(gè)數(shù)變化規(guī)律，填表并回答下面問題問題：如果圖中三角形的個(gè)數(shù)是102個(gè)，則圖中應(yīng)有_條橫截線二、耐心選一選，你會(huì)開心（每題5分，共30分）7、在下列長(zhǎng)度的四組線段中，能組成三角形的是（ ） A、4，5，6 B、6，8，15 C、7，5，12 D、3，7，138、在圖中，正確畫出AC邊上高的是（ ）A B C D9、已知三角形的周長(zhǎng)為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長(zhǎng)是（ ） A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm10、在下列長(zhǎng)度的四

14、根木棒中，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（ ）A、4cm B、5cm C、9cm D、13cm11、如圖，線段AD把ABC分為面積相等的兩部分，則線段AD是（ ）A、三角形的角平分線B、三角形的中線C、三角形的高D、以上都不對(duì)12、在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對(duì)角的角平分線，最短的是（ ）A、高 B、中線 C、角平分線 D、不能確定綜合創(chuàng)新三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）14、如圖，ABC正好可以放在長(zhǎng)方形內(nèi)，要測(cè)出ABC的面積，現(xiàn)有一把刻度尺，你能做到嗎?說出你是怎樣做的15、如圖，AD、CE是ABC的兩條高，AB3cm，BC6cm，CE8c

15、m，求AD的長(zhǎng) 與三角形有關(guān)的角知識(shí)點(diǎn)一：三角形內(nèi)角和定理1、內(nèi)容：角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，即可以表示為：在中，有.2、作用：在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角之間關(guān)系，求各角；已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和等于180°，但要注意的是在解決實(shí)際問題時(shí)，這一點(diǎn)是不會(huì)在已知中告訴你的，也就是往往要把它作為隱含的條件來用，因此在解決此類問題時(shí)應(yīng)該切記3、定理的推導(dǎo)：三角形內(nèi)角和定理證明方法很多，定理的證明需要添加輔助線，通過輔助線將角轉(zhuǎn)移和集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來由180°可聯(lián)想到平角；鄰補(bǔ)角；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，現(xiàn)舉幾種常見的證明思路： 思路1：如圖1所

16、示，延長(zhǎng)BC到E，作CDAB因?yàn)锳BCD（已作）， 所以1=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），B=2（兩直線平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180°（平角定義）， 所以ACB+A+B=180°（等量代換） 思路2：如圖2所示，在BC邊上任取一點(diǎn)D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于點(diǎn)F 因?yàn)镈FAC（已作）， 所以1=C（兩直線平行，同位角相等）， 2=DEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 因?yàn)镈EAB（已作） 所以3=B，DEC=A（兩直線平行，同位角相等） 所以A=2（等量代換） 又1+2+3=180°（平角定義）， 所以A+B+C=180°（

17、等量代換）知識(shí)點(diǎn)二：三角形的外角 三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.要點(diǎn)詮釋： (1)外角的特征有三條： 頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上如下圖：ACD的頂點(diǎn)C是ABC的一個(gè)頂點(diǎn) 一條邊是三角形的一邊如：ACD的一條邊AC正好是ABC的一條邊； 另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線如：ACD的邊CD是ABC的BC邊的延長(zhǎng)線。 (2)三角形有六個(gè)外角，每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，但算三角形外角和時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)處只算一個(gè)外角，外 角和是指三個(gè)外角的和，三角形的外角和為360°；和外角有共同頂點(diǎn)的內(nèi)角叫做和這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角，它們是互補(bǔ)的，互為鄰補(bǔ)角，另外兩個(gè)內(nèi)角叫做和這個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角

18、知識(shí)點(diǎn)三：三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì) 1. 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. （1）推理過程：如圖所示， 因?yàn)锳CD+ACB=180°（鄰補(bǔ)角定義）， ACB+A+B=180°（內(nèi)角和定理）， 所以ACD=A+B（等式性質(zhì)） （2）作用：已知外角和與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角中的一個(gè)可求“另一個(gè)”； 可證一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和； 經(jīng)常利用它作為中間關(guān)系式證明兩個(gè)角相等。 2. 三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角. 如上圖所示，ACD>A或ACD>B 作用：利用它證明兩個(gè)角不相等的關(guān)系要點(diǎn)詮釋： 這兩個(gè)結(jié)論稱為三角形內(nèi)角和定理的推論它可以當(dāng)作定理直接使用

19、利用它證明角不等時(shí)，應(yīng)設(shè)法把求證中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在內(nèi)角位置上，也可以把它們的一部分放在外角或內(nèi)角的位置上。 注意：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理的推論時(shí)，一定要理解其意思即 “和它不相鄰”的意義三、規(guī)律方法指導(dǎo) 1三角形內(nèi)角和為180°，三角形三個(gè)外角的和是360°,這是在做題時(shí)題設(shè)不用加以說明的已知條件； 在三個(gè)角中已知其中兩個(gè)角的度數(shù)便能求第三個(gè)角的大小. 2在一個(gè)三角形中最多只能有一個(gè)鈍角或者一個(gè)直角，最少有兩個(gè)銳角. 3三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度數(shù)及有關(guān)的推理論證時(shí)經(jīng)常使用的理論依據(jù)外角的性質(zhì)應(yīng)用：證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和；作為中間關(guān)

20、系式證明兩角相等；證明角的不等關(guān)系. 4利用作輔助線求解問題，會(huì)使問題變得簡(jiǎn)便.基礎(chǔ)過關(guān)作業(yè)1ABC中，A=50°，B=60°，則C=_2已知三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個(gè)三角形是（ ） A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定3ABC中，A=B+C，則A=_度4根據(jù)下列條件，能確定三角形形狀的是（ ）（1）最小內(nèi)角是20°； （2）最大內(nèi)角是100°； （3）最大內(nèi)角是89°； （4）三個(gè)內(nèi)角都是60°； （5）有兩個(gè)內(nèi)角都是80°A（1）、（2）、（3）、（4） B（1）、（3）、（4）、（5

21、） C（2）、（3）、（4）、（5） D（1）、（2）、（4）、（5）5如圖1，1+2+3+4=_度 (1) (2) (3)6三角形中最大的內(nèi)角不能小于_度，最小的內(nèi)角不能大于_度7ABC中，A是最小的角，B是最大的角，且B=4A，求B的取值范圍8如圖2，在ABC中，BAC=4ABC=4C，BDAC于D，求ABD的度數(shù)綜合創(chuàng)新作業(yè)9（綜合題）如圖3，在ABC中，B=66°，C=54°，AD是BAC的平分線，DE平分ADC交AC于E，則BDE=_10（應(yīng)用題）如圖7-2-1-4是一個(gè)大型模板，設(shè)計(jì)要求BA與CD相交成30°角，DA與CB相交成20°角，怎樣

22、通過測(cè)量A，B，C，D的度數(shù)，來檢驗(yàn)?zāi)０迨欠窈细瘢?1（創(chuàng)新題）如圖，ABC中，AD是BC上的高，AE平分BAC，B=75°，C=45°，求DAE與AEC的度數(shù)12（2005年，福建廈門）如圖，已知，在直角ABC中，C=90°，BD平分ABC且交AC于D（1）若BAC=30°，求證：AD=BD；（2）若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度數(shù)13（易錯(cuò)題）在ABC中，已知A=B=C，求A、B、C的度數(shù)培優(yōu)作業(yè)14（探究題）（1）如圖，在ABC中，A=42°，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)D，求BDC的度數(shù)（2）在（1）中去掉A=42°

23、;這個(gè)條件，請(qǐng)?zhí)骄緽DC和A之間的數(shù)量關(guān)系15（開放題）如圖，在直角三角形ABC中，BAC=90°，作BC邊上的高AD，圖中出現(xiàn)多少個(gè)直角三角形？又作ABD中AB邊上的高DD1，這時(shí)，圖中共出現(xiàn)多少個(gè)直角三角形？按照同樣的方法作下去，作出D1D2，D2D3，當(dāng)作出Dn-1Dn時(shí)，圖中共出現(xiàn)多少個(gè)直角三角形？答案:170° 2B 390 4C 5280 660；607解：設(shè)B=x，則A=x由三角形內(nèi)角和定理，知C=180°-x而ACB所以x180°-xx即80°x120°8解：設(shè)ABC=C=x°，則BAC=4x° 由

24、三角形內(nèi)角和定理得4x+x+x=180 解得x=30 BAC=4×30°=120° BAD=180°-BAC=180°-120°=60° ABD=90°-BAD=90°-60°=30°點(diǎn)撥：ABD是RtBDA的一個(gè)銳角，若能求出另一個(gè)銳角DAB就可運(yùn)用直角三角形兩銳角互余求得9132° 點(diǎn)撥：因?yàn)锽AC=180°-B-C=180°-66°-54°=60°，且AD是BAC的平分線，所以BAD=DAC=30°在ABD中，

25、ADB=180°-66°-30°=84°在ADC中，ADC=180°-54°-30°=96°又DE平分ADC，所以ADE=48°故BDE=ADB+ADE=84°+48°=132°10解：設(shè)計(jì)方案1：測(cè)量ABC，C，CDA，若180°-（ABC+C）=30°，180°-（C+CDA）=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格設(shè)計(jì)方案2：測(cè)量ABC，C，DAB，若180°-（ABC+C）=30°，（BAD+ABC）-180

26、°=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格設(shè)計(jì)方案3：測(cè)量DAB，ABC，CDA，若（DAB+CDA）-180°=30°，（BAD+ABC）-180°=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格設(shè)計(jì)方案4：測(cè)量DAB，C，CDA，若（DAB+CDA）-180°=30°，180°-（C+CDA）=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格 點(diǎn)撥：這是一道幾何應(yīng)用題，借助于三角形知識(shí)分析解決問題，對(duì)形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)解決實(shí)際問題是大有益處的11解法1：B+C+BAC=180°，B=75°，

27、C=45°，BAC=60°AE平分BAC，BAE=CAE=BAC=×60°=30°AD是BC上的高，B+BAD=90°，BAD=90°-B=90°-75°=15°，DAE=BAE-BAD=30°-15°=15°在AEC中，AEC=180°-C-CAE=180°-45°-30°=105°解法2：同解法1，得出BAC=60°AE平分BAC，EAC=BAC=×60°=30°AD是BC

28、上的高，C+CAD=90°，CAD=90°-45°=45°，DAE=CAD-CAE=45°-30°=15°AEC+C+EAC=180°，AEC+30°+45°=180°，AEC=105° 答：DAE=15°，AEC=105° 點(diǎn)撥：本節(jié)知識(shí)多與角平分線的定義，余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形高的定義綜合應(yīng)用，有時(shí)也結(jié)合方程組、不等式等代數(shù)知識(shí)綜合應(yīng)用求角的度數(shù)的關(guān)鍵是把已知角放在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理求解，或轉(zhuǎn)化為與已知角有互余關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系求解，

29、有些題目還可以轉(zhuǎn)化為已知角的和或差來求解12（1）證明：BAC=30°，C=90°， ABC=60° 又BD平分ABC，ABD=30° BAC=ABD，BD=AD （2）解法1：C=90°， BAC+ABC=90° （BAC+ABC）=45° BD平分ABC，AP平分BAC， BAP=BAC，ABP=ABC； 即BAP+ABP=45°， APB=180°-45°=135° 解法2：C=90°， BAC+ABC=90° （BAC+ABC）=45° BD平分A

30、BC，AP平分BAC， DBC=ABC，PAC=BAC， DBC+PAD=45° APB=PDA+PAD=DBC+C+PAD=DBC+PAD+C=45°+90°=135°13解：由A=B=C知，B=3A，C=5A 設(shè)A=x°，則B=3x°，C=5x° 由三角形內(nèi)角和定理得x+3x+5x=180 解得x=20 3x=60，5x=100 A=20°，B=60°，C=100° 點(diǎn)撥：解此類題，一般設(shè)較小的角為未知數(shù)14解：（1）A=42°， ABC+ACB=180°-A=138&#

31、176; BD、CD平分ABC、ACB的平分線 DBC=ABC，DCB=ACB DBC+DCB=（ABC+ACB）=×138°=69° BDC=180°-（DBC+DCB）=180°-69°=111° （2）BDC=90°+A 理由：BD、CD分別為ABC、ACB的平分線， DBC=ABC，DCB=ACB DBC+DCB=（ABC+ACB）=（180°-A）=90°-A BDC=180°-（DBC+DCB） =180°-（90°-A） =90°+A 點(diǎn)撥：

32、欲求BDC，只要求出DBC+DCB即可15解：作出BC邊上的高AD時(shí)，圖中出現(xiàn)3個(gè)直角三角形； 作出ABD中AB邊上的高DD1時(shí)，圖中出現(xiàn)5個(gè)直角三角形； 作出Dn-1Dn時(shí)，圖中共出現(xiàn)（2n+3）個(gè)直角三角形 多邊形及其內(nèi)角和目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解多邊形，多邊形的對(duì)角線，正多邊形等有關(guān)的概念；2掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；3靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題，體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法， 進(jìn)一步培養(yǎng)說理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力.重點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和及外角和公式的靈活應(yīng)用.難點(diǎn)：1多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo). 2多邊形內(nèi)角和及外角和公式的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概

33、念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn) 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件,其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況,即空間 多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的

34、直線，如果整個(gè)多邊形都在這 條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸 多邊形. 凸多邊形 凹多邊形 圖1 (2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角 形是邊數(shù)最少的多邊形知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊

35、形才是正方形.知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線. 如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對(duì)角線。要點(diǎn)詮釋：(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n2)個(gè)三角形。(2)n邊形共有條對(duì)角線。證明：過一個(gè)頂點(diǎn)有n3條對(duì)角線(n3的正整數(shù))，又共有n個(gè)頂點(diǎn)，共有n(n3)條對(duì)角線，但過兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，凸n邊形，共有條對(duì)角線。知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式1.公式：邊形的內(nèi)角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得到邊

36、形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作條對(duì)角線，并且邊形被分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，即.要點(diǎn)詮釋：(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360°. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外

37、角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點(diǎn)詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)·180°(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加 1條邊，內(nèi)角和增加180°。 多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同

38、，也可以形狀不相同。2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形。事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360

39、76;，由此導(dǎo)出k2，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六

40、邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角360°。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和 就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.2多邊形外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān).3多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少 沒有鈍角.4在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié) 問題的常用方法.5在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相

41、關(guān)的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是 研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.經(jīng)典例題透析類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用1一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用. 只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).【變式2】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少？ 【變式3】個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350

42、6;，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。類型二：多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用2某校七年級(jí)六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每?jī)蓚€(gè)班都進(jìn)行一次比賽）.你能算出一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽嗎？總結(jié)升華：對(duì)于其他學(xué)科問題要善于把它與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，便于解決.舉一反三：【變式1】一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（ ）.A6 B7 C8 D9【變式2】一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線?？偨Y(jié)升華：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題3如圖，求A+B+C+D+E+

43、F+G的度數(shù). 總結(jié)升華：本題通過作輔助線，把A與G的和轉(zhuǎn)化為1與2的和，從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和運(yùn)算，“轉(zhuǎn)化思想”是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】如圖所示，1+2+3+4+5+6=_. 【變式2】如圖所示，求ABCDEF的度數(shù)。類型四：實(shí)際應(yīng)用題4如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15°，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了_m.【變式2】小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°，然后

44、繼續(xù)向前走10米，再向右轉(zhuǎn)36°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回點(diǎn)A時(shí)共走了多少米？若不能，寫出理由?！咀兪?】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊ABCF，CDAE. 按規(guī)定AB、CD的延長(zhǎng)線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量. 這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、CD的延長(zhǎng)線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎？說明理由. 類型五：鑲嵌問題5分別畫出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖。(1)正方形和正八邊形；(2)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形。思路點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和

45、能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。總結(jié)升華：用兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A、B、C、D、【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是( )A、4B、5C、6D、8【變式3】（2010內(nèi)蒙古赤峰）下面平面圖形中，不能鑲嵌平面的圖形是 （ ）A任意一個(gè)三角形 B任意一個(gè)四邊形C任意一個(gè)正五邊形 D任意一個(gè)正六邊形學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：選擇題1.多邊形的內(nèi)角和不可能是（ ）.A.1800° B.540° C.800° D.360°2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)最多有( ).A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)3.