(教師版)相交線,垂線(基礎)知識講解及鞏固練習

1、相交線，垂線(基礎)知識講解(教師版)【學習目標】1 .了解兩直線相交所成的角的位置和大小關系，理解鄰補角和對頂角概念，掌握對頂角的性質；2 .理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質；3 .理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；4 .能依據對頂角、鄰補角及垂直的概念與性質，進行簡單的計算【要點梳理】知識點一、鄰補角與對頂角1 .鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角.要點詮釋：(1)鄰補角的定義既包含了位置關系，又包含了數(shù)量關系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為180° .(2

2、)鄰補角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補角.(3)互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角.(4)鄰補角滿足的條件：有公共頂點；有一條公共邊，另一邊互為反向延長線2 .對頂角及性質：(1)定義：由兩條直線相交構成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角.(2)性質：對頂角相等.要點詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產生對頂角.(2)對頂角滿足的條件：相等的兩個角；有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向 延長線.3.鄰補角與對頂角對比：角的名稱特 征性質相同點不同點對頂角兩條直線相交 形成的角；有一個公共頂 點；沒有公共邊.對頂角相等.都是兩條

3、直線相交III成的角;都有一個公共頂 點；都是成對出現(xiàn) 的.有無公共邊； 兩直線相交 時，對頂角只后 2對；鄰補角有 4.鄰補角兩條直線相交 而成；有一個公共頂 點；有一條公共邊.鄰補角互補.知識點二、垂線1 .垂線的定義： 兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相 垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足.(1)記法：直線a與b垂直，記作：a b;直線AB和CD垂直于點 O,記彳AB±CD于點O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質，即有:AOC 900 foT CD*2 .垂線的畫法： 過一點畫已知直線的垂線，

4、可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三 角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示).要點詮釋：(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上.(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段.3 .垂線的性質：(1)在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.要點詮釋：(1)性質(1)成立的前提是在“同一平面內”，“有”表示存

5、在，“只有”表示唯一，“有且 只有”說明了垂線的存在性和唯一性.(2)性質(2)是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短.”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短.在實際問題中經常應用其“最短性”解決問題.4 .點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.要點詮釋：(1)點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；(2)求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線 段的長度.【典型例題】類型一、鄰補角與對頂角C1 .如圖所示，M、N是直線AB上兩點，/ 1

6、= Z 2,問/ 1與/2, / 3與/ 4是對頂角嗎？ / 1與/ 5, / 3與/ 6是鄰補角嗎？【答案與解析】解：/ 1和/2, / 3和/4都不是對頂角./ 1與/5, Z 3與/ 6也都不是鄰補角.【總結升華】牢記兩條直線相交，才能產生對頂角或鄰補角.舉一反三：【變式】判斷正誤：(1)如果兩個角有公共頂點且沒有公共邊，那么這兩個角是對頂角.()(2)如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角.()(3)有一條公共邊的兩個角是鄰補角.()(4)如果兩個角是鄰補角，那么它們一定互補.()(5)有一條公共邊和公共頂點，且互為補角的兩個角是鄰補角.()【答案】(1) X (2) X(3) X(4)

7、 V (5) X,反例：/ AO8 1200 ,射線OB為/AOC勺角平分線，/ AO*/AOCE補，且有邊公共為 A0,公共頂點為 Q但它 們不是鄰補角.0, / 1 = 65°，求/ 2、/ 3、/ 4 的度數(shù)解：:/1是/ 2的鄰補角，/ 1 = 65° ,72= 180° 65° = 115° .又 /1和/3是對頂角，/ 2與/ 4是對頂角/3=/ 1 = 65 ,/4=/ 2=115 .【總結升華】(1)兩條直線相交所成的四個角中，只要已知其中一個角，就可以求出另外三角；(2)求出/ 2后用“對頂角相等"，求/3和/4.舉

8、一反三：【變式】(2015?梧州)如圖，已知直線 AB與CD交于點 0,0N平分/ D0B,若/BOC=110°, 則/AON的度數(shù)為 度.解：Z BOC=110 °,/ BOD=70 °,. ON為/ BOD平分線，/ BON= / DON=35 °, / BOC= / AOD=110 °,/ AON= / AOD+ / DON=145 ;?各對角存3.任意畫兩條相交的直線，在形成的四個角中，兩兩相配共能組成幾對角 在怎樣的位置關系？根據這種位置關系將它們分類.【答案與解析】任意兩條相交直線，兩兩相配共組成6對角，在這6對角中，它們的位置關系

9、有兩種:有公共頂點，一邊重合，另一邊互為反向延長線;有公共頂點，角的兩邊互為反向延長線.這6對角為/ 1與/ 2, / 1與/ 3, / 1與/ 4, / 2與/ 3, / 2與/ 4, / 3與/ 4,其 中/1 = /3, /2 = /4, /1 + /2 = 180° , /3+/4=180° , Z 1+74=180° , /2+/3 =180° ,在位置上/ 1與/ 3, / 2與/ 4是對頂角，/ 1與/ 2, / 3與/ 4, / l與/ 4, / 2 與/3是鄰補角.【總結升華】 兩條相交的直線，兩兩相配共組成6對角，這6對角中有：4對鄰

10、補角，2對對頂角類型二、垂線歌山丁。君4.下列語句中，正確的有 （）一條直線的垂線只有一條；在同一平面內，過直線上一點有且僅有一條直線與已知直線垂直;兩直線相交，則交點叫垂足；互相垂直的兩條直線形成的四個角一定都是直角.A. 0個B. 1個C. 2個 D. 3個【答案】C【解析】正確的是：【總結升華】充分理解垂直的定義與性質 .【變式1】直線l外有一點P,則點P到直線l的距離是（）. A.點P到直線l的垂線的長度.B.點P到直線C.點P到直線D.點P到直線【答案】Cl的垂線段.l的垂線段的長度.l的垂線.則/3的度數(shù)為（【解析】解:/ 1=145°,C. 55°D. 65&

11、#176;（2015?河北模擬）如圖，已知點 O在直線AB上，CO, DO于點O,若/ 1=145°,/ 2=180 - 145 =35°,.COSO,/ COD=90 °,Z 3=90 - / 2=90 - 35 =55 ）【總結升華】本題考查了垂線和鄰補角的定義；弄清兩個角之間的互補和互余關系是解題的關鍵.【變式】如圖，直線AB和CD交于。點，OD平分/ BOF, OE，CD于點O, / AOC=40, 貝U/ EOF=.C,在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最【答案與解析】解：如圖，過點 C作CDXAB ,垂足為D.所以在點D沿CD開溝，才能使溝最短，原因

12、是從直線外一點到直線上所有各點的連線中，垂線段最短.【總結升華】“如何開溝、使溝最短”，實質上是如何過 C點向AB引線段，使線段最短,這就是最熟悉的垂線的性質的應用.【變式】（1）用三角尺或量角器畫已知直線 l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條（2）經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？（3）經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？【答案】解：（1）能畫無數(shù)條；（2）能畫一條；（3）能畫一條.【鞏固練習】、選擇題2.以下四個敘述中，正確的有()相等的角是對頂角；互補的角是鄰補角；兩條直線相交，可構成 對頂角、鄰補角都有一個共同特點：兩個角有公共的頂點.A. 4個 B. 3個

13、C. 2個 D. 1個3 . （2014春？瓊海期中）在同一平面內兩條直線的位置關系可能是（2對對頂角；A .相交或垂直C.平行或相交4 .如圖所示，點 A至ij BD的距離是指（）B .垂直或平行D .平行或相交或重合A.線段AB的長度B.線段AD的長度 C,線段AE D.線段AE的長度5 .在平面上，過直線上一點可以畫這條直線的垂線的條數(shù)為A. 1 B. 2 C. 3 D. 46 .如圖，ABLCD于點O,直線EF經過點O,若/ 1 = 26° ,則/ 2的度數(shù)是（）A. 26° B. 64° C. 54°D.以上答案都不對二、填空題7 . （201

14、4秋？新泰市月考）四條直線兩兩相交，至多會有 個交點.9 .如圖所示，直線 AB , CD , EF相交于點 O,CD，AB ,若/ COE = 30° ,則/ AOE= /AOF =.10 .如圖，直線AB與CD的位置關系是 ，記作 于點,此時/ AOD= 90 .11 .如圖，/ AOB = 90° ,則 AB _BO;若 OA = 3 cm, OB= 2 cm,則 A 點到 OB 的距離 是 cm,點B到OA的距離是 cm； O點到AB上各點連接的所有線段中最短.12 .如圖所示，已知直線 AB、CD相交于點 O, OA平分/ EOC, ZEOC = 100°

15、; ,則/ BOD 的度數(shù)是三、解答題13 . (2015春？懷集縣期末)如圖， OCLAB于點O, OD平分/ BOC,求/ COD的度數(shù).14 .如圖，OAOB, OCXOD, OE是OD的反向延長線.(1) /AOC等于/ BOD嗎？請說明理由；(2)若/ BOD =32° ,求/ AOE 的度數(shù).15 .如圖所示，小明家在 A處，他要去在同一條路上的小麗家或小紅家或小華家或小剛家 問作業(yè)，則最少要走多少米可以問到作業(yè)？小由小紅小年小剛【答案與解析】一、選擇題1 .【答案】B【解析】只有(3)中的/ 1與/ 2是對頂角.2 .【答案】C【解析】正確.3 .【答案】C.4 .【答

16、案】D5 .【答案】A6 .【答案】B【解析】/ BOE=90° -Z 1=64° ,又/ AO曰 / BOE= 64二、填空題7 .【答案】6.【解析】如圖，可看出四條直線兩兩相交，至多有 6個交點.120° .【解析】/ AOE= 90° -Z COE= 60° ,/ AO已 / AOD吆 DOR 90°+ Z EOC= 90° +30° =120° .10 .【答案】垂直， AB ±CD, O, / BOD , / BOC , / AOC .【解析】垂直的定義.11 .【答案】,3,2,垂線段.【解析】點到直線的距離的定義12 .【答案】50°【解析】由題意知：/ BOD = Z AOC=1 Z EOG= 50° .2三、解答題13 .【解析】解：OCXAB 于點 O, ./ BOC=90 °,. OD 平分/ BOC,/ COD=45 .14 .【解析】解：（1）/AOC=/ BOD.理