概率第一章第4節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度二、常用連續(xù)型分布二、常用連續(xù)型分布一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義定義如果對(duì)隨機(jī)變量如果對(duì)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(xF負(fù)可積函數(shù)負(fù)可積函數(shù)),(xf使得對(duì)任意實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x有有 xdttfxXPxF,)()(則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱稱)(xfX的的概率密度函概率密度函數(shù)數(shù)，簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為概率密度概率密度或或密度函數(shù)密度函數(shù).存在非存在非(1) ; 0)( xf(2) . 1)(dxxf易見概率密度

2、具有下列性質(zhì)：易見概率密度具有下列性質(zhì)：注注： 上述性質(zhì)有明顯的幾何意義上述性質(zhì)有明顯的幾何意義.反之反之，可證可證一個(gè)函數(shù)若滿足上述性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)若滿足上述性質(zhì)，則該函數(shù)則該函數(shù)一定可以作為某一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函一定可以作為某一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)數(shù).Oxy)(xfxA 11. 對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,X若已知其密度函數(shù)若已知其密度函數(shù)),(xf則概據(jù)定義，則概據(jù)定義， 可求得其分布函數(shù)可求得其分布函數(shù)),(xF還可求得還可求得X的取值落在任意區(qū)的取值落在任意區(qū)間間,(ba上的概率：上的概率： badxxfaFbFbXaP)()()(Oxy)(xfx)(xF

3、Oxy)(xfabXaP b連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)：2. 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一指定值取任一指定值 的概率的概率)(Raa lim0aXxaPaXPx axaxdxxf, 0)(lim0故對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量故對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量,X有有bXaPbXaPbXaP .bXaP 為為0.3. 若若)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)x處連續(xù)，處連續(xù)，則則)()(xfxF (1)由定義和積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式即得，由定義和積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式即得， 由由(1)式得：式得：xxFxxFx )()(lim0)(xfxxxXxPx lim0(2)可將上式理解為：可將上式理解為：X在點(diǎn)在

4、點(diǎn)x的密度的密度),(xf恰好是恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間,(xxx 上的概率上的概率x 之比的極限之比的極限(比比與區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間長(zhǎng)度較線密度的定義）較線密度的定義）. 由由(2)式，式，若不計(jì)高階無窮小，則若不計(jì)高階無窮小，則有有,)(xxfxxXxP 即，即，X落在小區(qū)間落在小區(qū)間,(xxx 上的概率近似等于上的概率近似等于.)(xxf 例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,1, 110,0, 0)(2 xxxxxF求求 (1) 概率概率;7 . 03 . 0 XP(2)X的密度函數(shù)的密度函數(shù). .解解 由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì), ,有

5、有(1)3 . 0()7 . 0(7 . 03 . 0FFXP ; 4 . 03 . 07 . 022 (2)X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 xxxx1, 010,20, 0., 010,2 其它其它xx)()(xFxf 二 常用的連續(xù)型分布（一）、（一）、 均勻分布均勻分布定義定義若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 , 0,1)(abxfbxa 其它其它).,(baU易見，易見，; 0)()1( xf . 1)()2(dxxf記為記為X上服從上服從均勻分布均勻分布，則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間),(ba注注：在區(qū)間在區(qū)間),(ba上服從均勻分布的隨機(jī)變量上服從均勻分布的隨機(jī)變量

6、,X其取值落在其取值落在),(ba中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的概率中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的，是相同的， 且與子區(qū)間的和度成正比且與子區(qū)間的和度成正比.事實(shí)上，事實(shí)上，子區(qū)間子區(qū)間),(),(balcc 任取任取.1)(abldxabdxxflcXcPlcclcc 易求得易求得X的分布函數(shù)的分布函數(shù) , 1, 0)(abaxxFax . bxa bx 例例2 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午 7 時(shí)起時(shí)起, , 每每 15 分鐘來一分鐘來一班車班車, , 即即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站此站, , 如果乘客到達(dá)此站時(shí)間如果乘客到

7、達(dá)此站時(shí)間X是是 7:00 到到 7:30 之之間的均勻隨機(jī)變量間的均勻隨機(jī)變量, , 試求他候車時(shí)間少于試求他候車時(shí)間少于 5 分鐘的分鐘的概率概率. .解解 以以 7:00 為起點(diǎn)為起點(diǎn) 0, , 以分為單位以分為單位, , 依題意依題意X),30, 0(U 其它其它, 0300,301)(xxf為使候車時(shí)間為使候車時(shí)間X少于少于 5 分鐘分鐘, , 乘客必須在乘客必須在 7:10 到到7:15 之間之間, , 或在或在 7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車站之間到達(dá)車站, , 故所故所求概率為求概率為30251510 XPXP3130130130251510 dxdx即乘客候車時(shí)間少于即

8、乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是分鐘的概率是 1/3. .指數(shù)分布指數(shù)分布定義定義若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 , 0,)(xexf 0 x其中其中, 0 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布，簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為).( eX注：注：; 0)()1( xf . 1)()2(dxxf)(xf的幾何圖形如圖的幾何圖形如圖.Ox )(xf注注：指數(shù)分布常用來指數(shù)分布常用來描述對(duì)某一事件發(fā)生的等待描述對(duì)某一事件發(fā)生的等待時(shí)間，時(shí)間， 例如，例如， 乘客在公交乘客在公交車站等車的時(shí)間，車站等車的時(shí)間， 電子元件的壽命等，電子元件的壽命等，易求得易求得X的分布的分布 , 0,1)(

9、xexF 0 x其它其它服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有具有無記憶性無記憶性，, 0, ts有有因而它在可靠因而它在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用性理論和排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用.函數(shù)函數(shù)即對(duì)任意即對(duì)任意.|tXPsXtsXP ( )*)()(|sXPsXtsXPsXtsXP sXPtsXP .)(1)(1)(tXPeeesFtsFtsts 若若X表示某一元件的壽命，表示某一元件的壽命， 則則式表明：式表明：( )*已知元件已知元件使用了使用了s小時(shí)，小時(shí)， 它總共能使用至少它總共能使用至少ts 概率與從開始使用時(shí)算起概率與從開始使用時(shí)算起率相等，率相等，一性質(zhì)是指數(shù)分布具有廣

10、泛應(yīng)用的重要原因一性質(zhì)是指數(shù)分布具有廣泛應(yīng)用的重要原因.即元件對(duì)它使用過即元件對(duì)它使用過s小時(shí)沒有記憶小時(shí)沒有記憶,t它至少能使用它至少能使用 小時(shí)的概小時(shí)的概具有這具有這小時(shí)的條件小時(shí)的條件例例5 某元件的壽命某元件的壽命X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, , 已知其參數(shù)已知其參數(shù),1000/1 求求 3 個(gè)這樣的元件使用個(gè)這樣的元件使用 1000 小時(shí)小時(shí), , 至至少已有一個(gè)損壞的概率少已有一個(gè)損壞的概率. .解解 由題設(shè)知由題設(shè)知, ,X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為.0, 00,1)(1000 xxexFx由此得到由此得到100011000 XPXP.)1000(11 eF各元件的壽命是否超過各

11、元件的壽命是否超過 1000 小時(shí)是獨(dú)立的小時(shí)是獨(dú)立的, , 用用Y表示三個(gè)元件中使用表示三個(gè)元件中使用 1000 小時(shí)損壞的元件數(shù)小時(shí)損壞的元件數(shù), ,).1 , 3(1 ebY所求概率為所求概率為011 YPYP.1)()1(13310103 eeeC則則正態(tài)分布正態(tài)分布:定義定義若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為,21)(222)( xexf x其中其中 和和)0( 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 則稱則稱X服服從參數(shù)為從參數(shù)為 和和2 的的正態(tài)分布正態(tài)分布， 記為記為).,(2 NX易見，易見，; 0)()1( xf又利用泊松積分又利用泊松積分.2 dtex參見相關(guān)知識(shí)點(diǎn)參見相關(guān)知識(shí)

12、點(diǎn)易證，易證，dxedxxfx 222)(21)()2( xt. 12122 dtet 注注： 正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣， 故又常稱為故又常稱為高高斯分布斯分布. 一般來說，一般來說，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用，則它服從正態(tài)分布則它服從正態(tài)分布. 例如，例如，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)， 元元件的尺寸，件的尺寸，某地區(qū)成年男子的身高、體重，某地區(qū)成年男子的身高、體重，

13、測(cè)量測(cè)量誤差，誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差，信號(hào)噪聲，信號(hào)噪聲，農(nóng)作物的產(chǎn)量等等都服從或近似服從正態(tài)分布農(nóng)作物的產(chǎn)量等等都服從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的圖形特征正態(tài)分布的圖形特征:xo)(xf 21, xx;. 1對(duì)稱對(duì)稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;21)(,. 2xfx 取得最大值取得最大值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 0)(,. 3xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)4. 確定了曲線的位置；確定了曲線的位置； 確定了曲線的陡峭程度確定了曲線的陡峭程度. . 5. 5. 拐點(diǎn)和漸近線拐點(diǎn)和漸近線。;,)(,. 6軸作平移變換軸作平移變換只是沿著只是沿著不變不變圖形的形壯圖形的形壯的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)

14、固定當(dāng)固定xxf.,)(,. 7圖形越矮越胖圖形越矮越胖越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形壯在改變而形壯在改變不變不變圖形的對(duì)稱軸圖形的對(duì)稱軸的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xf標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布當(dāng)正態(tài)分布當(dāng)1, 0 時(shí)稱為時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 此時(shí)，此時(shí)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用)(x 和和)(x 表示：表示：,21)(22xex xtdtex2221)( 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于， 任何一個(gè)一般的正態(tài)分任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

15、.Oxx)( Oxx )(0.51定理定理設(shè)設(shè)),(2 NX則則).1 , 0( NXY 證明證明 XY的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xXPxYP xXP dtetx222)(21 tu)(2122xduexu 所以所以).1 , 0( NXY 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,21)(22xex dtexxt 2221)( 1. 表中給出了表中給出了0 x時(shí)時(shí))(x 的數(shù)值，的數(shù)值，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性利用正態(tài)分布的對(duì)稱性(如下圖如下圖)，易見有易見有);(1)(xx Oxxx)( x )(2. 若若),1 , 0( NX則則);()(abbXaP 3.若若),(2 NX故故X的分布函數(shù)

16、的分布函數(shù);)( xxXPxXPxF bYaPbXaP. ab例例6 設(shè)設(shè)),4 , 1( NX求求),5(F,6 . 10 XP.2|1| XP解解 這里這里, 1 , 2 故故)2(215 查表得查表得0.9772; 210216 . 16 . 10 XP)5 . 0()3 . 0( )5 . 0(16179. 0 15)5(xPXPF2 152;3094. 0)6915. 01(6179. 0 312|1| XPXP1)1(2)1()1( .6826. 018413. 02 11XP 12例例5解解假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位單位:厘米厘米),69. 7 ,17

17、0(2NX求該地區(qū)成年男性的身高超過求該地區(qū)成年男性的身高超過175厘米的概率厘米的概率 .根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)),69. 7 ,170(2NX且且175 X表表示該地區(qū)成年男性的身高超過示該地區(qū)成年男性的身高超過175厘米厘米 , 可得可得175 XP1751175 XPXP)65. 0(169. 71701751 .2578. 07422. 01 3準(zhǔn)則準(zhǔn)則設(shè)設(shè)),(2 NX則則 XP)1()1( ,6826. 01)1(2 同理，同理，22 XP33 XP 11 XP,9544. 0)2()2( ,9974. 0)3()3( 如圖，如圖，盡管正態(tài)隨機(jī)變量盡管正態(tài)隨機(jī)變量X的取值范圍是的取值范圍是), ,( 2 3 2 368.26%95.44%99.74%但它的值幾乎全部集中在但它的值幾乎全部集中在)3,3( 范圍的可能性僅占不到此為范圍的可能性僅占不到此為0.3%.這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為 3準(zhǔn)則準(zhǔn)則 (三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則).超出這個(gè)超出這個(gè) 2 3 2 368.26%95.44%99.74%如圖，如圖，盡管正態(tài)隨機(jī)變量盡管正態(tài)隨機(jī)變量X的取值范圍是的取值范圍是), ,(例例10格品的概率格品的概率.已