三角形內(nèi)角和定理的證明

1、三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理的證明定理的證明w證明命題的一般步驟證明命題的一般步驟:w與同伴交流你在探索思路的過程與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法中的具體做法.w(1)理解題意理解題意:分清命題的條件分清命題的條件(已知已知),結(jié)論結(jié)論(求證求證); 回顧與思考回顧與思考w(2)根據(jù)題意根據(jù)題意,畫出圖形畫出圖形;w(3)結(jié)合圖形結(jié)合圖形,用符號(hào)語言寫出用符號(hào)語言寫出“已知已知”和和“求證求證”;w(4)分析題意分析題意,探索證明思路探索證明思路;w(5)依據(jù)思路依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程清晰地寫出證明過程;w(6)檢查表達(dá)過程是否

2、正確檢查表達(dá)過程是否正確,完善完善. 回顧與思考回顧與思考 我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .你還記得這個(gè)你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎結(jié)論的探索過程嗎? ?112ABD23C(1)(1)如圖如圖, ,當(dāng)時(shí)我們是當(dāng)時(shí)我們是把把AA移到了移到了11的位的位置置,B,B移到了移到了22的位的位置置. .如果不實(shí)際移動(dòng)如果不實(shí)際移動(dòng)AA和和B,B,那么你還有那么你還有其它方法可以其它方法可以 達(dá)到同達(dá)到同樣的效果樣的效果? ?(2)(2)根據(jù)前面的公理和定理根據(jù)前面的公理和定理, ,你能用自己的語言說說這一你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎結(jié)論的

3、證明思路嗎? ?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎過程嗎? ?與同伴交流與同伴交流. .三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .w已知已知:如圖如圖6-9,ABC.w求證求證:A+B+C=A+B+C=1800.w證明證明:作作BC的延長線的延長線CD,過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CEAB,則則 例題例題欣賞欣賞P207w 你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.w 1=A(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 2= B(兩直線平行兩直線平行,同位角相等同位角相

4、等).w 又又1+2+33=1800 (平角的定義平角的定義),w A+B+ACBACB=1800 (等量代換等量代換).w分析分析: :延長延長BCBC到到D,D,過點(diǎn)過點(diǎn)C C作作射線射線CEAB,CEAB,這樣這樣, ,就相當(dāng)就相當(dāng)于把于把AA移到了移到了11的位置的位置, ,把把BB移到了移到了22的位置的位置. .這里的這里的CD,CE稱稱為輔助線為輔助線,輔助線通常輔助線通常畫成虛線畫成虛線.ABCE213D一題一題 多解多解w在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角小明的想法是把三個(gè)角“湊湊”到到A處處,他過點(diǎn)他過點(diǎn)A作直線作直線PQBC(如圖如圖)

5、,他的想法可他的想法可以嗎以嗎?議一議議一議P208w請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng)請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng).w小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到由此你受到什么啟發(fā)什么啟發(fā)?你有新的證法嗎你有新的證法嗎?w證明證明:過點(diǎn)過點(diǎn)A作作PQBC,則則ABCw 1=B(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 2=C(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 又又1+2+33=1800 (平角的定義平角的定義),w BAC+B+CC=1800 (等量代換等量代換).所作的輔助所作的輔助線是證明的線是證明的一個(gè)重要組一個(gè)重要組成部分成部分,要要在證明時(shí)首在證明時(shí)首

6、先敘述出來先敘述出來.PQ231w根據(jù)下面的圖形根據(jù)下面的圖形,寫出相應(yīng)的證明寫出相應(yīng)的證明. 試一試試一試P211w 你還能想出其它證法嗎你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理w三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的幾種變形的幾種變形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B

7、).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . 三種語言三種語言ABCw1.直角三角形的兩銳角之和是多少度直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度的一個(gè)內(nèi)角是多少度?請(qǐng)證明你的結(jié)論請(qǐng)證明你的結(jié)論.w已知已知:如圖在如圖在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700.w求證：求證： ADE=ADE=500. 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)P208DCBAEABCABCw結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳角互余直角三角形的兩個(gè)銳角

8、互余. .以后可以后可以直接運(yùn)用以直接運(yùn)用. .用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)w在在ABC中中,如果如果BC不動(dòng)不動(dòng),把點(diǎn)把點(diǎn)A“壓壓”向向BC,那么當(dāng)點(diǎn)那么當(dāng)點(diǎn)A越越來越接近來越接近BC時(shí)時(shí), AA就越來越大就越來越大( (越來越接近越來越接近181800),而而BB和和 C,C,越來越小越來越小( (越來越接近越來越接近00).由此你能想到什么由此你能想到什么?w如果如果BC不動(dòng)不動(dòng),把點(diǎn)把點(diǎn)A“拉離拉離”BC,那么當(dāng)那么當(dāng)A越來越遠(yuǎn)離越來越遠(yuǎn)離BC時(shí)時(shí),AA就越來越小就越來越小( (越來越接近越來越接近00),),而而BB和和CC則越來越大則越來越大, ,它們的和越來越接近它們的和越來越接近1800, 當(dāng)把點(diǎn)當(dāng)把點(diǎn)A A拉到無窮遠(yuǎn)時(shí)拉到無窮遠(yuǎn)時(shí), ,便有便有ABABAC,AC,BB和和CC成為同旁內(nèi)角成為同旁內(nèi)角, ,它們的和等于它們的和等于181800.由此你由此你能想到什么能想到什么? 讀一讀讀一讀P207CBACBA回味無窮 掌握幾何命題證明的方法,步驟,格式及注意事項(xiàng). 三角形內(nèi)角和定理.結(jié)論: 直角三角形的兩