第八講期權(quán)二叉樹定價模型

1、.第八講第八講 二叉樹模型二叉樹模型. 8.1 單步二叉樹圖單步二叉樹圖8.1.1 二叉樹圖的構(gòu)造二叉樹圖的構(gòu)造問題問題 假設(shè)一種股票當(dāng)前價格為假設(shè)一種股票當(dāng)前價格為$20，三個月后的價格，三個月后的價格將可能為將可能為$22或或$18。假設(shè)股票三個月內(nèi)不付紅利。有。假設(shè)股票三個月內(nèi)不付紅利。有效期為效期為3個月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為個月的歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格為$21。如何對。如何對該期權(quán)進行估值？該期權(quán)進行估值？. 思路思路 根據(jù)期權(quán)的特性，顯然可以用圖根據(jù)期權(quán)的特性，顯然可以用圖8-1所示的二叉樹圖來描所示的二叉樹圖來描述股票和期權(quán)的價格運動。述股票和期權(quán)的價格運動。 如果能夠用這種股票

2、和期權(quán)構(gòu)造一個組合，使得在三個如果能夠用這種股票和期權(quán)構(gòu)造一個組合，使得在三個月末該組合的價值是確定的，那么，根據(jù)月末該組合的價值是確定的，那么，根據(jù)該組合的收益率等該組合的收益率等于無風(fēng)險收益率（無套利假設(shè)），可以得到構(gòu)造該組合所需于無風(fēng)險收益率（無套利假設(shè)），可以得到構(gòu)造該組合所需成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價格是已知的，于是可以得成本（現(xiàn)值），而組合中股票的價格是已知的，于是可以得出期權(quán)的價格。出期權(quán)的價格。 構(gòu)造一個證券組合，該組合包含一個構(gòu)造一個證券組合，該組合包含一個股股票多頭頭寸股股票多頭頭寸和一個看漲期權(quán)的空頭頭寸。和一個看漲期權(quán)的空頭頭寸。是否可有多種構(gòu)造方法是否可有多種構(gòu)造

3、方法?. . 由圖由圖8-1可知，當(dāng)股票價格從可知，當(dāng)股票價格從$20上升到上升到$22時，該證券組時，該證券組合的總價值為合的總價值為22-1；當(dāng)股票價格從；當(dāng)股票價格從$20下降到下降到$18時，該證時，該證券組合的總價值為券組合的總價值為18。 完全可以選取某個完全可以選取某個值，使得該組合的終值對在上述兩值，使得該組合的終值對在上述兩種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風(fēng)險組合。種情況下是相等的。這樣，該組合就是一個無風(fēng)險組合。 由由 221=18 得得 =0.25 是否一定為正是否一定為正? ? 因此，一個無風(fēng)險的組合由因此，一個無風(fēng)險的組合由0.25股股票和一個期權(quán)空頭股股票和

4、一個期權(quán)空頭構(gòu)成。通過計算可知，無論股票價格是上升還是下降，在期構(gòu)成。通過計算可知，無論股票價格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價值總是權(quán)有效期的末尾，該組合的價值總是$4.5。 . 在無套利假設(shè)下，無風(fēng)險證券組合的盈利必定為無風(fēng)險在無套利假設(shè)下，無風(fēng)險證券組合的盈利必定為無風(fēng)險利率。利率。 假設(shè)無風(fēng)險利率為年率假設(shè)無風(fēng)險利率為年率12。則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：。則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 4.5e-0.120.25=4.3674 股票現(xiàn)在的價格已知為股票現(xiàn)在的價格已知為$20。用。用f表示期權(quán)的價格。因此，表示期權(quán)的價格。因此，由由 200.25f=4.3674 得得 f=0.633 如果

5、期權(quán)價格偏離如果期權(quán)價格偏離0.633，則將存在套利機會。，則將存在套利機會。. 8.1.2 一般結(jié)論一般結(jié)論 考慮一個無紅利支付的股票，股票價格為考慮一個無紅利支付的股票，股票價格為S?；谠摴伞；谠摴善钡哪硞€衍生證券的當(dāng)前價格為票的某個衍生證券的當(dāng)前價格為f。假設(shè)當(dāng)前時間為零時刻，。假設(shè)當(dāng)前時間為零時刻，衍生證券給出了在衍生證券給出了在T時刻的盈虧狀況時刻的盈虧狀況 。 一個證券組合由股的股票多頭和一個衍生證券空頭構(gòu)成。 如果股票價格上升如果股票價格上升,在有效期末該組合的價值為：在有效期末該組合的價值為： 如果股票價格下降，在有效期末該組合的價值為：如果股票價格下降，在有效期末該組合的

6、價值為： UUfSDDfS. . 當(dāng)兩個價值相等時當(dāng)兩個價值相等時 即即 （9.1） 該組合是無風(fēng)險的，收益必得無風(fēng)險利率。在該組合是無風(fēng)險的，收益必得無風(fēng)險利率。在T時刻的時刻的兩個節(jié)點之間運動時，兩個節(jié)點之間運動時，是衍生證券價格變化與股票價格變是衍生證券價格變化與股票價格變化之比。化之比。UUDDfSfSDUDUSSff. 用用r表示無風(fēng)險利率，該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：表示無風(fēng)險利率，該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 而構(gòu)造該組合的成本是：而構(gòu)造該組合的成本是： 因此因此 ()rTuSuf e()rTuSfSuf eSf . 將式（將式（9.1）代入上式，得到）代入上式，得到 其中其中 （9.3）風(fēng)險中性概

7、率風(fēng)險中性概率 運用單步二叉樹圖方法，式（運用單步二叉樹圖方法，式（9.2）和（）和（9.3）就可為衍）就可為衍生證券估值。生證券估值。(1)rTudfepfp fDUDrTSSSSep0. 8.1.3 股票預(yù)期收益的無關(guān)性股票預(yù)期收益的無關(guān)性 衍生證券定價公式（衍生證券定價公式（9.2）并沒有用到股票上升和下降）并沒有用到股票上升和下降的概率。這似乎不符合人們的直覺，因為人們很自然地假的概率。這似乎不符合人們的直覺，因為人們很自然地假設(shè)假設(shè)如果股票價格上升的概率增加，基于該股票的看漲設(shè)假設(shè)如果股票價格上升的概率增加，基于該股票的看漲期權(quán)價值也增加，看跌期權(quán)的價值則減少。期權(quán)價值也增加，看跌期

8、權(quán)的價值則減少。 之所以如此，原因在于，我們并不是在完全的條件下為之所以如此，原因在于，我們并不是在完全的條件下為期權(quán)估值，而只是根據(jù)標(biāo)的股票的價格估計期權(quán)的價值。期權(quán)估值，而只是根據(jù)標(biāo)的股票的價格估計期權(quán)的價值。未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價格中。它說明，未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價格中。它說明，當(dāng)根據(jù)股票價格為期權(quán)估值時，我們不需要股票價格上漲當(dāng)根據(jù)股票價格為期權(quán)估值時，我們不需要股票價格上漲下降的概率。下降的概率。 . 8.2 風(fēng)險中性估值風(fēng)險中性估值8.2.1 風(fēng)險中性估值原理風(fēng)險中性估值原理 式（式（9.2）中的變量）中的變量p可以可以解釋為解釋為股票價格上升的概率

9、，股票價格上升的概率，于是變量于是變量1p就是股票價格下降的概率。這樣，就是股票價格下降的概率。這樣， pfu+(1-p)fd 就是衍生證券的預(yù)期收益。于是，式（就是衍生證券的預(yù)期收益。于是，式（9.2）可以表述為：）可以表述為：衍生證券的價值是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值衍生證券的價值是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值 。. 同樣，按照上式對同樣，按照上式對p的解釋，在的解釋，在T時刻預(yù)期的股票價格時刻預(yù)期的股票價格 即即 將式（將式（9.2）中的）中的p代入上式，得代入上式，得 E(ST)=SerT （9.4） 這表明，平均來說，股票價格以無風(fēng)險利率增長。因這表明，平均來說，股票價格以

10、無風(fēng)險利率增長。因此，設(shè)定上升運動的概率等于此，設(shè)定上升運動的概率等于p就是等價于假設(shè)股票收益等就是等價于假設(shè)股票收益等于無風(fēng)險利率。于無風(fēng)險利率。 DUTSppSSE)1 ()(DDUTSSSpSE)()(. 我們把每一個人是風(fēng)險中性的世界稱為風(fēng)險中性世界（我們把每一個人是風(fēng)險中性的世界稱為風(fēng)險中性世界（ risk-nerisk-neutral worldrld ）。在這樣的世界中，投資者對風(fēng)險不要求補償，所有證券的預(yù)）。在這樣的世界中，投資者對風(fēng)險不要求補償，所有證券的預(yù)期收高效益是無風(fēng)險利率。期收高效益是無風(fēng)險利率。式（式（9.4）說明，當(dāng)設(shè)定上升運動的概率為）說明，當(dāng)設(shè)定上升運動的概率

11、為p時，我們就在假設(shè)一個風(fēng)險時，我們就在假設(shè)一個風(fēng)險中性世界中性世界 。式（式（9.2）說明，衍生證券的價值是其預(yù)期收益在風(fēng)險中性世界中按無）說明，衍生證券的價值是其預(yù)期收益在風(fēng)險中性世界中按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。以上過程表明，當(dāng)為期權(quán)和其它衍生證券估值時，完全可以假設(shè)世界以上過程表明，當(dāng)為期權(quán)和其它衍生證券估值時，完全可以假設(shè)世界是風(fēng)險中性的。這就是所謂風(fēng)險中性（是風(fēng)險中性的。這就是所謂風(fēng)險中性（risk-neutral valuation）原理。）原理。在風(fēng)險中性世界中得到的價格，在現(xiàn)實世界中也是正確的。在風(fēng)險中性世界中得到的價格，在現(xiàn)實世界中也是正確的。 . 8.2.2

12、風(fēng)險中性估值舉例風(fēng)險中性估值舉例 我們將風(fēng)險中性估值原理運用于圖我們將風(fēng)險中性估值原理運用于圖8-1的例子。的例子。 在風(fēng)險中性世界，股票的預(yù)期收益率一定等于無風(fēng)險利在風(fēng)險中性世界，股票的預(yù)期收益率一定等于無風(fēng)險利率率12。則有：。則有： 22p+18(1-p)=20e0.120.25 即即 4p=20e0.120.25-18 得得 p=0.6523 在三個月末尾在三個月末尾:看漲期權(quán)價值為看漲期權(quán)價值為$1的概率為的概率為0.6523，價值，價值為零的概率為為零的概率為0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為：。因此，看漲期權(quán)的期望值為： 0.65231+0.34770=$0.6523 按無風(fēng)

13、險利率貼現(xiàn)得期權(quán)現(xiàn)在的價值：按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)得期權(quán)現(xiàn)在的價值： f=0.6523e-0.120.25 =0.633. 8.3 兩步二叉樹圖兩步二叉樹圖8.3.1 兩步二叉樹圖的構(gòu)造兩步二叉樹圖的構(gòu)造 假設(shè)一種股票開始的價格為假設(shè)一種股票開始的價格為$20，并在圖，并在圖8-3所示的所示的兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中，股票價格可以上兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中，股票價格可以上升升10或者下降或者下降10。 假設(shè)在每個單步二叉樹的步長是三個月，無風(fēng)險利假設(shè)在每個單步二叉樹的步長是三個月，無風(fēng)險利率是年率率是年率12。考慮一個執(zhí)行價格為考慮一個執(zhí)行價格為$21的期權(quán)。的期權(quán)。 在圖在圖8-3

14、中，很容易得到，在節(jié)點中，很容易得到，在節(jié)點D，期權(quán)價格為，期權(quán)價格為$3.2；在節(jié)點；在節(jié)點E和和F，期權(quán)價格為零。，期權(quán)價格為零。 在節(jié)點在節(jié)點B的期權(quán)價格計算如下：的期權(quán)價格計算如下：. . u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在節(jié)點在節(jié)點B的期權(quán)價格為：的期權(quán)價格為： e-0.120.25(0.65233.2十十0.34770)=2.0257 在節(jié)點在節(jié)點C，期權(quán)價格為，期權(quán)價格為0。 在節(jié)點在節(jié)點A的期權(quán)價格為：的期權(quán)價格為：e-0.120.25(0.65232.0257十十0.34770)=1.2823 在構(gòu)造這個例子時，在構(gòu)造這個例子時，u和和

15、d(股票價格上升和下降的比率股票價格上升和下降的比率)在樹圖的每個節(jié)點上是相同的，每個單步二叉樹的時間長在樹圖的每個節(jié)點上是相同的，每個單步二叉樹的時間長度是相等的。度是相等的。由式（由式（9.3）可得風(fēng)險中性的概率）可得風(fēng)險中性的概率p，它在每個，它在每個節(jié)點都是相同的。節(jié)點都是相同的。. 8.3.2 一般結(jié)論一般結(jié)論 如圖如圖8-4所示，初始股票價格為所示，初始股票價格為S。在每個單步二叉樹。在每個單步二叉樹中，股票價格或者上升到初始值的中，股票價格或者上升到初始值的u倍，或下降到初始值倍，或下降到初始值的的d倍。假設(shè)無風(fēng)險利率是倍。假設(shè)無風(fēng)險利率是r。每個單步二又樹的時間長。每個單步二又

16、樹的時間長度是度是t年。年。 重復(fù)式（重復(fù)式（9.2）的計算，給出：）的計算，給出： （9.5） （9.6） （9.7）(1)r tuuuudfepfp f (1)r tdudddfepfp f (1)r tudfepfp f . . 將式（將式（9.5）和（）和（9.6）代入式（）代入式（9.7），得到：），得到： 式中，式中，p2，2p(1-p)和和(1-p)2是達到最后上、中、下三個是達到最后上、中、下三個節(jié)點的概率。節(jié)點的概率。衍生證券的價格等于它在它在風(fēng)險中性世界衍生證券的價格等于它在它在風(fēng)險中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。 如果在樹圖中加入更

17、多的步如果在樹圖中加入更多的步(step)以推廣應(yīng)用二叉樹圖以推廣應(yīng)用二叉樹圖方法，風(fēng)險中性估值的原理一直是成立的。方法，風(fēng)險中性估值的原理一直是成立的。衍生證券的價衍生證券的價格總是等于它在風(fēng)險中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼格總是等于它在風(fēng)險中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值?，F(xiàn)的值。 2222 (1)(1)r tuuudddfep fpp fpf. 8.3.3 看跌期權(quán)的例子看跌期權(quán)的例子 考慮一個兩年期歐式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價格為考慮一個兩年期歐式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價格為$52，當(dāng)前價格為，當(dāng)前價格為$50。 假設(shè)價格為兩步二叉樹，每個步長為一年。在每個單假設(shè)價格為兩步二叉樹，

18、每個步長為一年。在每個單步二叉樹中股票價格或者按比率上升步二叉樹中股票價格或者按比率上升20，或者按比率，或者按比率下降下降20。無風(fēng)險利率為。無風(fēng)險利率為5。 構(gòu)造如圖構(gòu)造如圖8-5所示的兩步二叉樹圖。風(fēng)險中性概率所示的兩步二叉樹圖。風(fēng)險中性概率P的的值為：值為： 6282. 08 . 02 . 18 . 0105. 0ep. . 最后股票的可能價格為最后股票的可能價格為$72、$48和和$32。在這種情況下，。在這種情況下，fuu=0,fud=4,fdd=20,t=1，利用公式（，利用公式（9.8），得到看跌期權(quán)的），得到看跌期權(quán)的價格價格 f=e-20.051(0.628220+ 20.

19、62820.37184+0.3718220)=4.1923 利用每個單步二步二叉樹向回倒推算，也可以得到這個利用每個單步二步二叉樹向回倒推算，也可以得到這個結(jié)果。結(jié)果。 實際上，如果股票價格的變化是二值的，那么任何基于實際上，如果股票價格的變化是二值的，那么任何基于該股票的衍生證券都可以運用二叉樹模型進行估值。該股票的衍生證券都可以運用二叉樹模型進行估值。. 84 美式期權(quán)估值美式期權(quán)估值8.4.1 方法方法 二叉樹模型可以用于為美式期權(quán)估值。方法是：從二叉樹模型可以用于為美式期權(quán)估值。方法是：從樹圖的最后末端向開始的起點倒推計算。在每個節(jié)點檢樹圖的最后末端向開始的起點倒推計算。在每個節(jié)點檢驗

20、提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點的期權(quán)價值與歐式期驗提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點的期權(quán)價值與歐式期權(quán)在最后節(jié)點的期權(quán)價值相同。在較早的一些節(jié)點，期權(quán)在最后節(jié)點的期權(quán)價值相同。在較早的一些節(jié)點，期杈的價值是取如下兩者之中較大者：杈的價值是取如下兩者之中較大者： 1）由式（）由式（9.2）求出的值。）求出的值。 2）提前執(zhí)行所得的收益。）提前執(zhí)行所得的收益。 . 9.4.2 舉例舉例 考慮一個兩年期美式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價格為考慮一個兩年期美式看跌期權(quán)，股票的執(zhí)行價格為$52，當(dāng)前價格為，當(dāng)前價格為$50。假設(shè)價格為兩步二叉樹，每個步。假設(shè)價格為兩步二叉樹，每個步長為一年，在每個單步二叉樹中股票價格

21、或者按比率上長為一年，在每個單步二叉樹中股票價格或者按比率上升升20，或者按比率下降，或者按比率下降20。無風(fēng)險利率為。無風(fēng)險利率為5。 如圖如圖8-6所示，在節(jié)點所示，在節(jié)點B，期權(quán)的價值為，期權(quán)的價值為$1.4147，而，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值提前執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-$8)。在節(jié)點。在節(jié)點B提前執(zhí)行不是提前執(zhí)行不是明智的，此時期權(quán)價值為明智的，此時期權(quán)價值為1.4147。在節(jié)點。在節(jié)點C，期權(quán)的價值，期權(quán)的價值為為$9.4636，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$12.0。在這種情況。在這種情況下，提前執(zhí)行是最佳的，因此期權(quán)的價值為下，提前執(zhí)行是最佳的，因此期權(quán)的價值

22、為$12.0。. . 在初始節(jié)點在初始節(jié)點A，求出的期權(quán)價值為，求出的期權(quán)價值為:f= e-0.051(0.62821.4147+0.371812.0)=5.0894 而提前執(zhí)行的價值為而提前執(zhí)行的價值為$2.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是不。在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。因此期權(quán)的價值為明智的。因此期權(quán)的價值為$5.0894。 . 8.5 Delta8.5.1 Delta的含義的含義 股票期權(quán)的股票期權(quán)的Delta是股票期權(quán)價格的變化與標(biāo)的股票價格是股票期權(quán)價格的變化與標(biāo)的股票價格的變化之比，是為了構(gòu)造一個無風(fēng)險對沖，對每一個賣的變化之比，是為了構(gòu)造一個無風(fēng)險對沖，對每一個賣空的期權(quán)頭寸我

23、們應(yīng)該持有的股票數(shù)目?？盏钠跈?quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)目。 構(gòu)造無風(fēng)險對沖有時就稱之為構(gòu)造無風(fēng)險對沖有時就稱之為Delta對沖對沖(delta hedging)。 看漲期權(quán)的看漲期權(quán)的Delta是正值，而看跌期權(quán)的是正值，而看跌期權(quán)的Delta是負(fù)值。是負(fù)值。DUDUSSff. 8.5.2 Delta的計算的計算 以圖以圖8-2所示的看漲期權(quán)估值為例，該看漲期權(quán)的所示的看漲期權(quán)估值為例，該看漲期權(quán)的Delta計算如下：計算如下： 這是因為當(dāng)股票價格從這是因為當(dāng)股票價格從18變化到變化到22時，期權(quán)價格從時，期權(quán)價格從0變化到變化到1。 在圖在圖8-3中，對于第一個時間步，股票價格變動的中，對于第一個時間步，股票價格變動的Delta為：為：1 00.2522 182.025700.506422 18. 如果在第一個時間步之后，還有一個向上的運動，則如果在第一個時間步之后，還有一個向上的運動，則在第二個時間步股票價格變動的在第二個時間步股票價格變動的Delta為：為： 如果在第一個時間步之后，還有一個向下的運