電路基礎(chǔ)第5章

1、第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象5.1 頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)5.2 一階電路和二階電路的頻率響應(yīng)一階電路和二階電路的頻率響應(yīng)5.3 串聯(lián)諧振電路串聯(lián)諧振電路5.4 并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路第五章第五章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象返回主目錄返回主目錄第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第第5章章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象5.1頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 對(duì)于動(dòng)態(tài)電路, 由于容抗和感抗都是頻率的函數(shù), 因此, 不同頻率的正弦激勵(lì)作用于電路時(shí), 即使其振幅和初相相同, 響應(yīng)的振幅和初相都將隨之而變。這種電路響應(yīng)隨激勵(lì)頻率而變化的特性

2、稱為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)。 在電路分析中, 電路的頻率特性通常用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來描述。 在具有單個(gè)正弦激勵(lì)源(設(shè)其角頻率為)的電路中, 如果將我們所關(guān)心的某一電壓或電流作為響應(yīng), 根據(jù)齊次定理, 響應(yīng)相量(振幅相量 或有效值相量 )與激勵(lì)相量（振幅相量 或有效值相量 )成正比, 即 mYYFmF第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象mmFYjwH)(式中的比例系數(shù)H(j)稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù), 即 H(j) = 根據(jù)響應(yīng)和激勵(lì)是否在電路同一個(gè)端口, 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可分為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和轉(zhuǎn)移函數(shù)（或傳輸函數(shù)）; 當(dāng)響應(yīng)與激勵(lì)處于電路的同一端口時(shí), 則稱為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù); 否則稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)。 根據(jù)響應(yīng)、 激勵(lì)是電

3、壓還是電流, 策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)又可分為策動(dòng)點(diǎn)阻抗和策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納; 轉(zhuǎn)移函數(shù)又分為轉(zhuǎn)移電壓比、轉(zhuǎn)移電流比、轉(zhuǎn)移阻抗和轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。 FYFYmmjwH)(第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 譬如, 在圖5.1- 1(b)所示的RC電路中, 若以電容電壓 為響應(yīng), 以電壓源 為激勵(lì), 其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(轉(zhuǎn)移電壓比)為 H(j) = 可見網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(j)是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定的, 并且一般是激勵(lì)角頻率（或頻率）的復(fù)函數(shù)。它反映了電路自身的特性。 顯然, 當(dāng)激勵(lì)的有效值和初相保持不變（即變）, 而頻率改變時(shí), 響應(yīng) 將隨頻率的改變而變化, 其變化規(guī)律與H(j)的變化規(guī)律一致。也就是說, 響應(yīng)與激勵(lì)頻率的關(guān)系決定于網(wǎng)絡(luò)

4、函數(shù)與頻率的關(guān)系。故網(wǎng)絡(luò)函數(shù)又稱為頻率響應(yīng)函數(shù), 簡稱頻率響應(yīng)。 CUjwcRjwcRjwcSCUU1111第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 將H(j)、 、 都寫成極坐標(biāo)的形式, 并代入式(5.1- 2)可得YF)()()()(fyfjjjYwjeFYFeYeejwHjwH由此可得 |H(j)| = FY () = y-f 式中， |H(j)|是H(j)的模, 它是響應(yīng)相量的模與激勵(lì)相量的模之比, 稱為幅度-頻率特性或幅頻響應(yīng); ()是H(j)的輻角, 它是響應(yīng)相量與激勵(lì)相量之間的相位差, 稱為相位-頻率特性或相頻響應(yīng)。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 由式

5、(5.1- 1)、 (5.1- 5)和(5.1- 6)可得, 若激勵(lì)相量AKF所對(duì)應(yīng)的正弦量為 f(t) = Fmcos(t+f)則響應(yīng)相量 所對(duì)應(yīng)的正弦量為 y(t) = Ym cos(t +y) = |H(j)|Fm cost +f +() (5.1- 7) 例 5.1- 1如圖5.1- 1(a)的電路, 若 R = 1k, C = 1 F, 激勵(lì)電壓 uS = 10cos0t+10cos20t+10 cos30t (V) 其中角頻率0 =103rad/s, 求電路的響應(yīng)uC(t)。 解輸入信號(hào)uS(t)含有三個(gè)不同頻率的正弦量, 分別令其為 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 uS1(t)

6、 = 10cos0t (V) uS2(t) = 10cos20t (V) uS3(t) = 10cos30t (V) 等效為三個(gè)電壓源串聯(lián)。 它們各自引起的響應(yīng)分別用uC1(t)、 uC2(t)和uC3(t)表示, 則根據(jù)疊加定理, 電路在激勵(lì)uS(t)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 uC(t) = uC1(t) + uC2 (t) + uC3 (t) 對(duì)圖5.1- 1電路, 將電路參數(shù)R = 1k和C = 1F代入式(5.1- 3)得其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 H(j) = 對(duì)于 =0 = 103rad/s、 =20 = 2103rad/s、 =3 0 = 3103rad/s, 其值分

7、別為 2101jw第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 按式（5.1- 7）可分別求得它們所對(duì)應(yīng)的正弦量。 最后可得圖5.1- 1電路的響應(yīng) uC(t) = 7.07 cos(0t-45) +4.47cos(0t -63.4)+3.16cos(3 0t -71.6) (V)由本例也可看出, 激勵(lì)作用于電路時(shí), 其不同頻率分量的幅度和相位受到不同的影響, 而正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)恰反映了這一情況。 對(duì)于圖5.1- 1(b)的電路, 求式（5.1- 3）的模和相位, 可得其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線如圖5.1- 2所示。 由圖可見, 當(dāng)頻率很低時(shí), |H

8、(j)|1; 當(dāng)頻率很高時(shí), |H(j)|1。這表明, 對(duì)于圖5.1- 1的電路, 當(dāng)輸出取自電容電壓時(shí), 低頻信號(hào)較容易通過, 而高頻信號(hào)將受到抑制, 常稱這類電路為低通濾波電路或低通濾波器。 通常將|H(j)|/Hmax 的頻率范圍稱為該電路的通帶; 而將|H(j)|/Hmax 的頻率范圍稱為止帶或阻帶, 二者的邊界頻率稱為截止頻率, 用fC表示, 截止角頻率用C表示。 21212)(11)(wRcjwHjwRcwarctan)(第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象當(dāng) =C 時(shí), 電路的輸出功率是最大輸出功率的一半, 因此, C又稱為半功率點(diǎn)頻率。由式(5.1-

9、 8a)可知Hmax = 1 , 故由 得 C RC = 1, 故該低通濾波器的截止角頻率 C = (rad/s) 由圖5.1- 2可見, 相頻響應(yīng)隨的增高, 由零單調(diào)地減小到-/2。 在截止頻率處(C) =-/4。 21)(11)(2maxwRcHjwH)/(1sradRC第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 按通帶、 止帶來分類, 可分為低通、 高通、 帶通和帶阻濾波電路, 如圖5.1- 3所示。幅頻響應(yīng)|H(j)|為常數(shù)的電路稱為全通電路。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象5.2一階電路和二階電路的頻率響應(yīng)一階電路和二階電路的頻率響應(yīng) 一階電路和二階電路是常用

10、的兩類重要電路。 它通常是構(gòu)成高階電路的基本單元模塊。 一、一、 一階電路一階電路 一階電路通常有RC電路和有源RC電路等, 按其頻率響應(yīng)可分為低通、高通和全通三種類型, 其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的典型形式為ccwjwwHjwH0)(第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象cwjwjwHjwH)(ccwjwwjwHjwH0)( 式中, C為截止角頻率; H0、H為常數(shù)。 上節(jié)討論的圖5.1- 1就是一RC低通電路（請(qǐng)參看例5.1- 1）, 其網(wǎng)絡(luò)函數(shù) ccwjwwjwH)( 式中, C =1/RC。 上式與式（5.2- 1）相比較可知, H0=1。幅頻特性和相頻特性如圖5.1- 2 所示。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和

11、諧振現(xiàn)象cwjwjwjwH)( RC低通電路被廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的整流電路中, 以濾除整流后電源電壓中的交流分量; 或用于檢波電路中以濾除檢波后的高頻分量。 所以該電路又稱為RC低通濾波電路。 若將圖5.1- 1(b)RC電路的電阻電壓作為響應(yīng), 如圖5.2- 1(a)所示, 它就變成了一個(gè)高通電路, 不難求出其網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 式中, C = 1/RC。 上式與式（5.2- 2）相比較可知, H = 1。上式可進(jìn)一步寫為wwcjwjwjwjwHc11)(第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象該高通電路的幅頻和相頻特性分別為2)(11)(wwjwHcwwcwarctan)(

12、按上式畫出的幅頻和相頻特性曲線如圖5.2- 1(b)所示。 在截止頻率C處, |H(j C)|= ,(C ) = /4 。 C 的頻率范圍為通頻帶; 0 C的頻率范圍為阻帶。 這一電路常用作電子電路放大器級(jí)間的RC耦合電路。 二、二、 二階電路二階電路 二階電路有RLC電路、RC電路和RC有源電路等,按頻率21第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 響應(yīng)可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通等五種類型。這五種典型的二階網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 式中, 0、Q是與元件參數(shù)有關(guān)的常量, 對(duì)于不同形式的電路, 其表示式也不相同。 例 5.2- 1 圖5.2- 2(a)是雙RC電路, 如以為

13、激勵(lì), 以為響應(yīng), 求電壓比函數(shù) H(j) = ， 并分析其特性。1U12/UU122121)(3)()(33111111UUURCjwRCjwjwRCjwcRjwcRjwcRjwcRjwcR第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象221221)(3)()(331RCjwRCjwjwRCUUU令0=1/RC, Q = 1/3, H0=1/3, 于是上式可寫為 200200)()()(12)(wjwQwjwjwQwHjwHUU與式(5.2- 10)相比較可知, 它是帶通函數(shù)。 將式(5.2- 13a)的分子、 分母同除以j0 / Q, 并稍加整理, 可得帶通函數(shù)的另一種典

14、型形式 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象2000)(112)(wwwwjQHjwHUU其幅頻和相頻特性分別為 20020)(1)(wwwwQHjwH)(arctan)(00wwwwQw 由上式可見, 當(dāng)=0時(shí), |H(j 0)| = H0。其幅頻、相頻特性曲線如圖5.2- 2(b)所示。 由幅頻特性曲線可知, 幅頻特性的極大值發(fā)生在=0處, 0稱為中心角頻率 。第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 在=0處, Hmax= |H(j 0)|= H0, (0) = 0; 當(dāng)=和=0處, |H(0)|=|H(j)|= 0, (0) =() = /2。 當(dāng)|H(j)|下降到其最大值的 倍時(shí), 其所對(duì)應(yīng)的頻

15、率稱為截止頻率, 用fC1、fC2表示, 其角頻率分別用C1、C2表示。 根據(jù)式(5.2- 14)，由第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象由上式可解得1)21(2120101QQffwwcc1)21(2120202QQffwwcc C1C2的頻率范圍(相應(yīng)地fC1ffC2)為通帶, C2 (相應(yīng)地f fC2 )均為阻帶。 通帶的寬度稱為帶通電路的帶寬或通頻帶。它可用角頻率表示, 也可用頻率表示(請(qǐng)注意, 二者單位不同, 且勿混淆), 都記為B, 即 B =C2-C1= B = fC2-fC1 =)/(0sradQw)(0ZHQf第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 對(duì)于本例, 將Q=1/3, 0=1/

16、(RC)代入式（5.2- 18）（5.2- 20a）, 得C1=0.3/(RC), C2 = 3.3/(RC), B = 3/(RC) （rad/s)或B = 3f0 (Hz) (式中f0 = 1/(2RC)。 例 5.2- 2圖5.2- 3(a)的雙T電路是一個(gè)帶阻電路。如以 為激勵(lì), 以 為響應(yīng), 求電壓比函數(shù) H(j) = , 并分析其頻率特性。 2U12/UU解 經(jīng)過運(yùn)算可求得其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)2002202)()(12)(wwQwjjwwjwHjwHUU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 式中, 0= 1/(RC), H= 1, Q = 1/4 。上式分子、 分

17、母同除以(j)2+20, 并稍加整理, 可得2002)(11)(wwwwQjHjwH其幅頻和相頻特性分別為2002)(11)(wwwwQHjwH第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象)(1arctan)(00wwwwQw 由上式可知, H是=（或= 0）時(shí)|H(j)|的值。 其幅頻和相頻特性曲線如圖5.2- 3(b)所示。由圖可見, 在中心角頻率 = 0處, |H(j0)| = 0, (0) = /2 。 0常稱為陷波角頻率。在=和= 0處, |H(j0)| = |H(j)| = j =1, (0) =() = 0。該電路常用作高頻陷波電路。 在|H(j)|/Hmax= 處所對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率,

18、 由式（5.2- 22）可求得截止角頻率為21第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象1)21(2120101QQffwwcc1)21(2120201QQffwwcc C1C2的頻率范圍(相應(yīng)地fC1ffC2)為阻帶, C2 (相應(yīng)地f fC2 )均為通帶。 阻帶的寬度稱為帶阻電路的帶寬或阻頻帶(可用角頻率或頻率表示), 都記為B, 即 B = C2 - C1 = (rad/s)或 B = fC2 - fC1= (Hz)Qw0Qf0第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 將式(5.2- 18)、 (5.2- 19)、 (5.2- 20)與式(5.2- 24)、 (5.2- 25)、 (5.2- 26)比較,

19、 可見計(jì)算二階帶通電路和帶阻電路的截止頻率及帶寬的公式是相同的。 從上述討論可看出, 盡管我們是以具體電路為例進(jìn)行分析的, 但所得結(jié)果對(duì)具有相同網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的電路也適用。 例 5.2- 3圖5.2- 4是一種有源RC電路, 求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(j) = 。 解 由圖可列出節(jié)點(diǎn)a的節(jié)點(diǎn)方程為 1/2UU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 將以上二式代入式(5.2- 27)消去 , 就可得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 322543121)(12YAYYYYYYYAYUUaU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 通過適當(dāng)?shù)卮钆涓鲗?dǎo)納（選電阻或電容）, 就可得到不同類型的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。 也就是說, 圖5.2

20、- 4的電路可實(shí)現(xiàn)多種類型的濾波電路。 譬如, 當(dāng)Y1 =Y2 = 1/R , Y3 = Y5 = jC, Y4 = 0時(shí)所構(gòu)成的電路, 其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為式(5.2- 8), 是低通濾波電路; 當(dāng)Y1 =Y2 = jC, Y3 = Y5 = 1/R, Y4 = 0時(shí)所構(gòu)成的電路, 其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為式(5.2- 9), 是高通濾波電路; 當(dāng)Y1 = Y3 = Y5 = 1/R, Y2 = Y4 = jC時(shí)所構(gòu)成的電路, 其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為式(5.2- 10), 是帶通濾波電路。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象5.3串聯(lián)諧振電路串聯(lián)諧振電路 諧振現(xiàn)象是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種特定的工作狀態(tài)。 諧振電路由于其良好的選

21、頻特性, 在通信與電子技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。 通常的諧振電路由電感、電容和電阻組成。按照電路的組成形式可分為串聯(lián)諧振電路、并聯(lián)諧振電路和雙調(diào)諧回路。 本節(jié)和下節(jié)分別討論串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路發(fā)生諧振的條件、 諧振時(shí)的特點(diǎn)以及諧振電路的頻率響應(yīng)。 一、 RLC串聯(lián)諧振 圖5.3- 1是由r、L、C組成的串聯(lián)電路, 其電源是角頻率為(頻率為f)的正弦電壓源, 設(shè)電源電壓相量為 , 其初相為零。 SU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象圖5.3- 1串聯(lián)回路的總阻抗Z = r+jX = rXjareXrtan22式中電抗 X =L - wc1串聯(lián)電路中的電流相量 rxjarSeXrUZSUItan22第5章

22、電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象其模和相角分別為22XrUSIrwcwL1arctan 由以上關(guān)系可以看出, 在電路參數(shù)r、 L、 C一定的條件下, 當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的角頻率變化時(shí), 感抗L隨增高而增大, 容抗1/(C) 隨增高而減小。 所以總電抗 X =L-1/(C) 也隨頻率而變化, 圖5.3- 2畫出了感抗、 容抗、 總電抗X和阻抗的模值|Z|隨角頻率變化的情況。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 由圖可見, 當(dāng)頻率較低時(shí), L1/(C), 電抗為正值, 電路呈感性。因而電流 落后于電壓 , 其相量關(guān)系如圖5.3 - 3(c)所示。 SU

23、SUSUSU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 當(dāng)回路電抗等于零, 電流 與電源電壓 同相時(shí), 稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。 這時(shí)的頻率稱為串聯(lián)諧振頻率, 用f0表示, 相應(yīng)的角頻率用0表示。 由式(5.3- 2), 電路發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí), 有 X = 0 L- = 0故得諧振角頻率0及諧振頻率f0分別為 0 = f0 =LC1LC21第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 由上式可知, 電路的諧振頻率僅由回路元件參數(shù)L和C決定, 而與激勵(lì)無關(guān), 但僅當(dāng)激勵(lì)源的頻率等于電路的諧振頻率時(shí), 電路才發(fā)生諧振現(xiàn)象。諧振反映了電路的固有性質(zhì)。 除改變激勵(lì)頻率使電路發(fā)生諧振外, 實(shí)際中，

24、 經(jīng)常通過改變電容或電感參數(shù)使電路對(duì)某個(gè)所需頻率發(fā)生諧振, 這種操作稱為調(diào)諧。譬如,收音機(jī)選擇電臺(tái)就是一種常見的調(diào)諧操作。 當(dāng)rLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí), 電抗X = 0, 故阻抗為純阻性, 且等于r, 阻抗模最小。 若諧振時(shí)的阻抗用Z0表示, 則有 Z0 = r (5.3- 6)第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 諧振時(shí), 0=1/ , 此時(shí)的感抗與容抗數(shù)值相等, 其值稱為諧振電路的特性阻抗, 用表示, 即 =0L= (5.3- 7) 可見， 特性阻抗是一個(gè)僅由電路參數(shù)決定的量。 在工程中, 通常用電路的特性阻抗與回路的電阻r的比值來表征諧振電路的性質(zhì), 此比值稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù), 用品

25、質(zhì)因數(shù)和無功功率符號(hào)相同， 注意不要混淆。 Q表示, 即 它是一個(gè)無量綱的量。 其含義稍后說明。 CLrcrwrLwrQ1100LC第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象rZSSUUI00 此時(shí), 電流 與 同相, 并且I0達(dá)到最大值。 諧振時(shí), 各元件電壓分別為 0ISU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 可見, 諧振時(shí), 電感電壓和電容電壓的模值相等, 均為激勵(lì)電壓的Q倍, 即UL0 = UC0 = QUS, 但相位相反，故相互抵消(參看圖5.3- 3(b)。 這時(shí), 激勵(lì)電壓US全部加到電阻r上, 電阻電壓Ur達(dá)到最大值。實(shí)際中的串聯(lián)諧振電路, 通常r, Q值可達(dá)幾十到幾百。 因此諧振時(shí)電感和電

26、容上的電壓值可達(dá)激勵(lì)電壓的幾十到幾百倍, 所以, 串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。在通信和電子技術(shù)中, 傳輸?shù)碾妷盒盘?hào)很弱, 利用電壓諧振現(xiàn)象可獲得較高的電壓, 但在電力工程中, 這種高壓有時(shí)會(huì)使電容器或電感線圈的絕緣被擊穿而造成損害, 因此常常要避免諧振情況或接近諧振情況的發(fā)生。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 二、二、 品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù) 品質(zhì)因數(shù)Q通?？啥x為, 在正弦穩(wěn)態(tài)條件下, 元件或諧振電路儲(chǔ)能的最大值與其在一個(gè)周期內(nèi)所消耗能量之比的2倍, 即 Q =2 首先討論電感線圈和電容器的品質(zhì)因數(shù)。 當(dāng)考慮電感線圈的能量損耗時(shí), 其電路模型如圖5.3- 4(a)所示。如果通過它的電流 i = I c

27、ost電感的儲(chǔ)能為周期內(nèi)消耗的能量儲(chǔ)能的最大值2第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 其最大儲(chǔ)能為LI2。 一周期內(nèi)線圈電阻r所消耗的能量為I2rT = I2r/f(式中T為周期, f 為頻率)。 根據(jù)定義式(5.3- 11), 電感線圈的品質(zhì)因數(shù) Q = 2 當(dāng)考慮電容器的能量損耗時(shí), 其電路模型如圖5.3- 4(b)所示。 如果電容的端電壓 u = U cos trwLrflrTILI2222第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 當(dāng)用電感線圈與電容器組成串聯(lián)諧振電路時(shí), 通常, 電容器的損耗較電感線圈的損耗小得很多, 可以忽略不計(jì), 這時(shí)的串聯(lián)諧振電路如圖5.3-

28、4(c)所示。 下面討論該諧振電路的能量關(guān)系。 設(shè)諧振時(shí)電路中的電流為 i0 =twIrswUruSs000cos2cos2則電感的瞬時(shí)儲(chǔ)能為 wL0 = twLILI022020cos21 諧振時(shí)電容電壓的振幅為 , 其相位落后于電流/2, 于是電容電壓為 )/(200cwI第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象twtwcwtwcwuc000000sin2sin2)2cos(2電容瞬時(shí)儲(chǔ)能為 wC0= 式(5.3- 15)、 (5.3- 16)表明, 電感與電容元件儲(chǔ)能的最大值相等。 串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)總的瞬時(shí)儲(chǔ)能w0等于兩個(gè)儲(chǔ)能元件的瞬時(shí)儲(chǔ)能之和, 即 諧振電路中任意時(shí)刻t的電磁能量恒為常數(shù)，說

29、明電路諧振時(shí)與激勵(lì)源之間確實(shí)無能量交換。只是電容與電感之間存在電磁能量的相互交換。 twCWIctwCUcucc02200022020sin)(sin212020000cCLCULIwww第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 諧振時(shí), 電路中只有電阻r消耗能量, 一周期內(nèi)電阻r所消耗的能量為I20rT0=I20r/f0。 根據(jù)定義式(5.3- 11), 諧振電路諧振時(shí)的品質(zhì)因數(shù) Q = 2 比較式(5.3- 18)和式(5.3- 8), 可看出二者相同。 由此可見, 諧振電路的Q值實(shí)質(zhì)上描述了諧振時(shí)電路的儲(chǔ)能和耗能之比。必須指出, 諧振電路的品質(zhì)因數(shù)僅在諧振時(shí)才有意義, 在失諧情況下, 式(5.3

30、- 18)不再適用。 這就是說, 計(jì)算電路Q值時(shí)應(yīng)該用諧振角頻率0。 rcwrLwrLfrTILI0000202012第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 三、三、 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 前面討論了串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)的特點(diǎn), 這里進(jìn)一步研究串聯(lián)諧振電路電流的頻率特性。 圖5.3- 1電路中的電流為 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象式中H0 = 1/r。 因此, 電路電流的頻率響應(yīng)為 200200)()()()(wjwQwjwjwQwHSjwHUI 與式(5.2- 10)或(5.2- 13)比較可見, 它是一個(gè)帶通函數(shù)。 其幅頻和相頻特性分別如式(5.2- 14)和(5.2- 15)所示； 截止頻率如式

31、(5.2- 18)和(5.2- 19)所示; 通頻帶寬B如式(5.2- 20)所示。把Q = 0L/r 代入式(5.2- 20a), 可得串聯(lián)諧振電路的帶寬(用角頻率表示)/(0sradLrQwB第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 為了討論方便, 不失一般性, 我們以為橫坐標(biāo), |H(j)|/H0 和()為縱坐標(biāo)畫出Q取不同值時(shí)的幅頻和相頻特性曲線, 常稱為諧振電路的諧振曲線, 如圖5.3- 5(a)和(b)所示。 由圖(5.3- 5a)可見, 諧振電路對(duì)頻率具有選擇性, 其Q值越高, 幅頻曲線越尖銳, 電路對(duì)偏離諧振頻率的信號(hào)的抑制能力越強(qiáng), 電路的選擇性越好。所以在電子線路中常用諧振電路從許

32、多不同頻率的各種信號(hào)中選擇所需要的信號(hào)?？墒? 實(shí)際信號(hào)都占有一定的頻帶寬度, 由于通頻帶寬度與Q成反比, 所以Q過高, 電路帶寬則過窄, 這樣將會(huì)過多地削弱所需信號(hào)中的主要頻率分量, 從而引起嚴(yán)重失真。 譬如廣播電臺(tái)的信號(hào)占有一定的頻帶寬度, 收音機(jī)中為選擇某個(gè)電臺(tái)信號(hào)所用的諧振電路應(yīng)同時(shí)具備兩方面功能: 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 一方面從減小信號(hào)失真的角度出發(fā), 要求電路通頻帶范圍內(nèi)的特性曲線盡可能平坦些, 以使信號(hào)通過回路后各頻率分量的幅度相對(duì)值變化不大, 為此希望電路的Q值低些較好; 另一方面從抑制臨近電臺(tái)信號(hào)的角度出發(fā), 要求電路對(duì)不需要的信號(hào)

33、各頻率成分能提供足夠大的衰減, 為此又希望電路的Q值越高越好。因此, 實(shí)際設(shè)計(jì)中, 必須根據(jù)需要來選擇適當(dāng)?shù)腝值以兼顧這兩方面的要求。 例 5.3- 1一串聯(lián)諧振電路, L = 50 H, C = 200pF, 回路品質(zhì)因數(shù)Q = 50, 電源電壓 US= 1 mV。求電路的諧振頻率、諧振時(shí)回路中的電流I0和電容上的電壓UC0以及帶寬B。 解 由式(5.3- 5)可求得電路的諧振頻率第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象ZMHLCf59. 11059. 1102001050212161260 為求出諧振時(shí)的電流, 可先求出回路的損耗電阻r。 由式( 5.3- 8)可得 101020010505011

34、126CLQr所以諧振時(shí)的電流 I0 = mArUS1 . 010103諧振時(shí)電容電壓 UC0 = QUS = 5010-3 = 50mV為電源電壓US的50倍。 電路的帶寬 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象5.4 并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路 串聯(lián)諧振電路僅適用于信號(hào)源內(nèi)阻較小的情況, 如果信號(hào)源內(nèi)阻較大, 將使電路Q值過低, 以至電路的選擇性變差。這時(shí), 為了獲得較好的選頻特性, 常采用并聯(lián)諧振電路。 一、一、 GCL并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振 圖5.4- 1是GCL并聯(lián)諧振電路, 它是圖5.3- 1 rLC串聯(lián)諧振電路的對(duì)偶電路, 因此它的一些結(jié)果都可由串聯(lián)諧振電路對(duì)偶地得出。 對(duì)此, 下面將作簡略的

35、討論。 圖5.4- 1并聯(lián)諧振電路的總導(dǎo)納為 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 Y= G+jB=G+j 式中電導(dǎo) G = 1/R。 當(dāng)電納 B = 0 時(shí), 電路的端電壓 與激勵(lì) 同相, 稱為并聯(lián)諧振。 這時(shí)的頻率稱為并聯(lián)諧振頻率, 用f0表示, 角頻率用0表示。于是在并聯(lián)諧振時(shí)有可得諧振角頻率0和頻率f0 分別為 0 = f0 = 在并聯(lián)諧振時(shí), 由于B = 0, 故諧振導(dǎo)納 Y0 = G =UsILCcwB10LC1LC21R1第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象這時(shí)導(dǎo)納為最小值, 且為電阻性, 而諧振阻抗 Z0 = 為最大值, 且為電阻性。 諧振時(shí), 感納 1

36、/0 L與容納0 C相等, 因而感抗0 L和容抗1/ 0 C也相等, 稱為諧振電路的特性阻抗, 即 =0L= 并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)(見式5.3- 13)為 Q = 諧振時(shí), 回路的端電壓RGY1110CLcw01LwRCRwGcw000第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象為最大值。 這時(shí)各支路電流分別為 可見, 并聯(lián)諧振時(shí), 電容電流 和電感電流的模值都等于QIS, 但相位相反, 故相互抵消（參見圖5.4- 2(b)）。 根據(jù)這一特點(diǎn), 并聯(lián)諧振也稱為電流諧振。這時(shí)電源電流 全部通過電導(dǎo)G, 電導(dǎo)電流IG達(dá)最大值。 0CISIQ第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 在不同頻率時(shí), 各支路電流與電壓的

37、相量關(guān)系如圖5.4- 2所示。由圖可見, 當(dāng)0時(shí), C0時(shí), C1/(L) , 電納B為正值, 電路呈電容性, 電壓 落后于電流 , 如圖5.4- 2(c)所示。 對(duì)并聯(lián)諧振電路, 我們常研究以端電壓 為輸出的頻率響應(yīng)。 對(duì)圖5.4- 1的諧振電路, 其端電壓為USIUSIUSIU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象)1(11)1(000LCwwwwGcwjsGwLwcjGsYsIIIU20020000)()()()(1wjwQwjwSjwQwHwwwwjQSRII式中H0 = R = 1 / G 。因此, 其電壓的頻率響應(yīng)為H(j) = 200200)()()(w

38、jwQwjwjwQwHSIU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 可見， 式 (5.4- 10) 與式 (5.3- 20)形式相同, 也是帶通函數(shù)。 其幅頻和相頻特性曲線與圖5.3- 5(a)(b)的曲線完全相同。 截止頻率的表示式仍為式 (5.2- 18) 和 (5.2- 19); 通頻帶寬B的表示式為式(5.2- 20)。 把Q = 0C/G 代入式(5.2- 20a), 可得并聯(lián)諧振電路的帶寬(用角頻率表示) )/(10sradRCCGQwB 二、二、 實(shí)用的簡單并聯(lián)諧振電路實(shí)用的簡單并聯(lián)諧振電路 電子技術(shù)中實(shí)用的并聯(lián)諧振電路常具有圖5.4- 3的形式, 其中r是電感線圈的損耗電阻, 一般電

39、容的損耗很小, 這里忽略不計(jì)。 通常, 諧振電路的Q值較高(Q1), 并且工作于諧振頻率附近, 這時(shí)圖5.4- 3的電路可等效為圖5.4- 1的簡單并聯(lián)諧振電路。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象)(12222wLrwLwcjwLrrjwcjwLrY當(dāng)回路的品質(zhì)因數(shù)Q較高, 即r2(L)2 時(shí), 上式的分母中r2可以略去, 于是得電路的導(dǎo)納為)1()1()(2wLwcjGwLwcjwLrY在諧振頻率附近, 即0, 上式中電導(dǎo) LCrLwrwLrRG202)()(1第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 式(5.4- 12)正是圖5.4- 1電路的總導(dǎo)納(見式5.4- 1)。 這表明, 圖5.4- 1

40、的電路與圖5.4- 3的電路, 在諧振頻率附近, 且Q值較高時(shí)是相互等效的。 在相互變換時(shí), L和C不變, 串聯(lián)于回路中的電阻r(如圖5.4- 4(a), 可以變換為并聯(lián)于回路兩端的電阻R(電導(dǎo)G), 如圖5.4- 4(b)所示; 同樣地, 并聯(lián)于回路兩端的電阻R, 也可變換為串聯(lián)于回路中的電阻r。 由式(5.4 - 13), 它們的相互變換的關(guān)系為CrLR CRLr 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象圖5.4- 4(a)和(b)電路的品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算公式分別為 crwrLWCLrrQ0011LwRCRWLCRRQ00 由式(5.4- 14)和式(5.4- 15)還

41、可以看出, 并聯(lián)于回路兩端的電阻R越大, 相當(dāng)于串聯(lián)于回路中的電阻r越小, 從而Q值越高; 反之, R越小, 相當(dāng)于r越大, 從而Q值越低。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 例 5.4- 1圖5.4- 5是某放大器的簡化電路, 其中電源電壓US = 12 V, 內(nèi)阻RS = 60k; 并聯(lián)諧振電路的L = 54H, C = 90 pF, r = 9; 電路的負(fù)載是阻容并聯(lián)電路, 其中RL= 60k, CL = 10pF。 如整個(gè)電路已對(duì)電源頻率諧振, 求諧振頻率f0、RL兩端的電壓和整個(gè)電路的有載品質(zhì)因數(shù)QL。 解 將電壓源 與RS相串聯(lián)的支路變換為電流源與電

42、阻并聯(lián)的電路, 將諧振電路變換為GCL并聯(lián)電路, 于是得出圖5.4- 5電路的等效電路， 如圖5.4- 6(a)所示。然后，將有關(guān)元件并聯(lián), 得圖5.4- 6(b)的電路。 圖中GS= 1/RS, GL = 1/RL。 由于 C = C+CL = 90+10 = 100pF 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象故并聯(lián)電路的諧振阻抗 41260010691010010541rCLGRmARSSSUI2 . 01060123圖 5.4- 6(b)中, 總電導(dǎo) G=GS+G0+GL = SRRRLS50105111電阻KGR201根據(jù)圖5.

43、4- 6(b)， 可求得電路的諧振頻率第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象MHZCLf17. 210100105421211260R的端電壓也就是RL兩端的電壓 U = ISR= 0.210-320103 = 4V 由式(5.4- 15), 可得整個(gè)電路的有載品質(zhì)因數(shù)2 .2710541010010206123LCRQL 三、三、 復(fù)雜并聯(lián)諧振電路復(fù)雜并聯(lián)諧振電路 在電子技術(shù)中, 除使用簡單的串聯(lián)或并聯(lián)諧振電路外, 還常采用雙電感或雙電容的并聯(lián)諧振電路, 如圖5.4- 7(a)和(b)所示(圖中損耗電阻未畫出)。第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 考慮損耗電阻的雙電感

44、和雙電容電路可歸納為圖5.4- 7(c)所示的一般形式。 統(tǒng)稱為復(fù)雜并聯(lián)諧振電路。 圖5.4- 7(c)電路的總導(dǎo)納 221111jXrjXrY1111222221212222211XrXrjXrXr 如果回路的Q值較高, 即有r21X21, r22X22, 則上式分母中的r21和r22均可以略去, 得總導(dǎo)納為第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象jBGXXjXrXrY121222211電路發(fā)生諧振時(shí), 電納等于零, 即011201020102010XXXXXXB 式中X10、X20分別為諧振時(shí)支路1和支路2的電抗, 由上式有 X10+X20 = 0 (5.4- 17

45、) 即電路發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí), 總電抗近似等于零。 對(duì)于圖5.4- 7(a)的雙電感電路, 如果L1與L2間的互感M = 0, 則第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 0L1+0L2 -010cw 可解得并聯(lián)諧振頻率f0和角頻率0分別為LCw10LCf210 式中L = L1+L2 是回路的總電感。 如果L1與L2之間的互感為M, 則總電感 L = L1 + L2 +2M。 對(duì)于圖5.4- 8(b)的雙電容電路, 可求得其諧振頻率的表達(dá)式與式(5.4- 18)相同, 只是式中C(C = C1C2/(C1+C2)是回路中C1與C2串聯(lián)后的總電容。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 順便指出, 對(duì)于圖5.

46、4- 8(a)的雙電感電路, 支路2中L2與C也能發(fā)生串聯(lián)諧振。 若M = 0, 其諧振角頻率令為03, 則 03 = 由于L20（0為并聯(lián)諧振角頻率）; 對(duì)于圖5.4 - 8(b)的雙電容電路, 支路2中C2和L也能發(fā)生串聯(lián)諧振, 其諧振角頻率 01 = 由于C2C(C=C1 C2 /(C1 + C2), 所以010。 由式(5.4- 17)可知, 當(dāng)諧振時(shí)X10 = - X20, 即支路1的電抗與支路2的電抗大小相等,符號(hào)相反。CL2121LC第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 雙電感或雙電容并聯(lián)諧振電路, 實(shí)際是將電感或電容一分為二, 將信號(hào)源或/和負(fù)載接在一部分電感或電容上, 以便使電路

47、匹配。 當(dāng)回路Q值較高, 計(jì)算諧振頻率附近的各量值時(shí), 在工程上常使用功率平衡的觀點(diǎn)進(jìn)行近似計(jì)算, 實(shí)踐表明用這種方法在Q較高時(shí)是足夠準(zhǔn)確的。 設(shè)回路總電感或總電容的端電壓為 , 支路1的端電壓為 , 如圖5.4 - 8(a)和(b)所示。 在LC回路中， 由于回路電流 , 因而可以近似地認(rèn)為：對(duì)于圖(a), L1的端電壓與L2的端電壓同相, 從而 與 也同相; 對(duì)于圖(b), C1的端電壓與C2的端電壓同相, 從而 與 也同相。我們將有效值U1與U之比定義為變換系數(shù), 或接入系數(shù), 用m表示, 即0I10I20I1UU1UU1UU第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象UUm1 由于流過L1和L2(

48、或C1和C2)的是同一電流 , 因而上式也可寫為0I同性質(zhì)的總阻抗回路中與1010XXm 對(duì)于圖5.4- 8(a)的雙電感電路, 如L1與L2之間的互感M = 0, 則根據(jù)上式有LLLLwwLm1211)(第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 式中L = L1+L2+2M(一般L1和L2的繞向相同, 其同名端如圖5.4- 8(a)所示)。如L1與L2為全耦合, L2為N1匝, L2為N2匝, 線圈總匝數(shù)N = N1+ N2, 則 m = NN1對(duì)于圖5.4- 8(b)的雙電容電路, 其變換系數(shù) 1111ccwcwcm2121ccccc第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象若LC回路兩端的諧振阻抗（見式5

49、.4- 13）為 CrLz 0 式中r為LC回路的總電阻(如支路1的電阻為r1, 支路2的電阻為r2, 則 r = r1+r2); 并設(shè)從支路1的端口向內(nèi)視入的諧振阻抗為Z0m, 如圖5.4- 8所示, 則二者吸收的功率應(yīng)該相等, 即0221ZUZUOm于是得CrLmZUUZom2021第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 實(shí)際上, 將諧振條件B = 0, X10 = -X20代入式(5.4- 16)也可得到以上相同的結(jié)果。 式(5.4- 28)給我們以啟示, 為了使回路諧振阻抗與信號(hào)源內(nèi)阻（或負(fù)載）相匹配, 我們可以不改變諧振回路的元件參數(shù)值, 而通過變換系數(shù)m來實(shí)現(xiàn)。 如圖5.4- 9(a)和(b)的電路, 電阻r（它可能是電源內(nèi)阻或負(fù)載電阻）接在電感L的抽頭或電容C1上, 設(shè)其接入系數(shù)（變換系數(shù)）為m。我們?cè)噲D將圖(a)或圖(b)的電阻r變換到LC回路的兩端, 如圖5.4- 9(c)所示。 第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象第5章 電路的頻率響應(yīng)和諧振現(xiàn)象 圖5.4- 9(a)或(b)中, 在諧振時(shí), 電阻r吸收的功率為U21/r, 圖(c)中電阻r吸收的功率為U2/r, 二者應(yīng)該相等, 于是有由此可得 顯然, 如果想