傅立葉變換-時域-頻域

1、傅立葉變換，時域，頻域一  (2012-08-28 15:50:39)轉(zhuǎn)載標(biāo)簽： 雜談參考文獻(xiàn)：信號完整性分析"信息傳輸調(diào)制和噪聲"P31，"傅立葉變換的數(shù)學(xué)再認(rèn)識"及若干網(wǎng)上博客。 目錄信號分析方法概述    時域    頻域    時域與頻域的互相轉(zhuǎn)換       傅立葉變換 原理    

2、60;傅立葉變換 分類     傅立葉級數(shù)的五個公式(周期性函數(shù))     傅立葉積分(非周期性函數(shù))     振幅譜和相位譜的關(guān)系     功率譜     傅立葉變換推導(dǎo)出：時移原理與頻移原理，對偶性質(zhì)     時間-頻率 間的對應(yīng)關(guān)系。     

3、       對應(yīng)關(guān)系1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜 呈正比關(guān)系             對應(yīng)關(guān)系2，時間周期T 與 頻譜 ：呈反比關(guān)系            對應(yīng)關(guān)系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關(guān)系     

4、;       用脈沖寬度 定義帶寬     頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜 與 周期性函數(shù)的頻譜     周期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對稱頻譜的意義     離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數(shù)與頻域點數(shù)的關(guān)系     傅立葉變換與正交性     傅立葉變換的 思想總結(jié)與優(yōu)

5、點時域 的物理意義頻域 的物理意義     1，頻域 的物理意義    2，傅立葉變換與諧波    3，傅立葉反變換與諧波疊加    4，帶寬與時鐘頻率、脈沖寬度關(guān)鍵技術(shù)點解釋    1，IFFT反變換后各諧波如何疊加在一起？    2，什么是正交?正交的條件是什么?傅立葉變換后的諧波為什么一定是正交的?傅立葉反變換之前的頻譜要滿足什么條件?

6、60;    3，為什么說時域上波形急劇變化，頻域上就有很高的頻率分量    4, 頻域中幅值 與時域中的幅值 有什么關(guān)系？    5，采樣傅立葉變換的缺點=  信號分析方法概述      通信的基礎(chǔ)理論是信號分析的兩種方法：1 是將信號描述成時間的函數(shù)，2是將信號描述成頻率的函數(shù)。      也有用時域和頻率聯(lián)合起來表示信號的方法。時域

7、、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣，只是在不同的時候分析起來哪個方便就用哪個。 思考：      原則上時域中只有一個信號波（時域的頻率實際上是開關(guān)器件轉(zhuǎn)動速度或時鐘循環(huán)次數(shù)，時域中只有周期的概念），而對應(yīng)頻域（純數(shù)學(xué)概念）則有多個頻率分量。      人們很容易認(rèn)識到自己生活在 時域與空間域 之中（加起來構(gòu)成了三維空間），所以比較好理解 時域的波形（其參數(shù)有：符號周期、時鐘頻率、幅值、相位 ）、空間域的多徑信號也比較好理解。 &#

8、160;   但數(shù)學(xué)告訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域就是其中一維。時域的信號在頻域中會被對應(yīng)到多個頻率中，頻域的每個信號有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們?nèi)≈挡煌梢员硎静煌姆枺灶l域中每個信號的頻率范圍就構(gòu)成了一個傳輸信道。    時域中波形變換速度越快（上升時間越短），對應(yīng)頻域的頻率點越豐富。    所以：OFDM中，IFFT把頻域轉(zhuǎn)時域的原因是：IFFT的輸入是多個頻率抽樣點（即 各子信道的符號），而IFFT之后只有一個波形，其中即OFDM符號，只有一個周期。&#

9、160;   時域     時域是真實世界，是惟一實際存在的域。因為我們的經(jīng)歷都是在時域中發(fā)展和驗證的，已經(jīng)習(xí)慣于事件按時間的先后順序地發(fā)生。而評估數(shù)字產(chǎn)品的性能時，通常在時域中進(jìn)行分析，因為產(chǎn)品的性能最終就是在時域中測量的。時鐘波形的兩個重要參數(shù)是時鐘周期和上升時間。        時鐘周期就是時鐘循環(huán)重復(fù)一次的時間間隔，通產(chǎn)用ns度量。時鐘頻率Fclock，即1秒鐘內(nèi)時鐘循環(huán)的次數(shù)，是時鐘周期Tclock的倒數(shù)。Fclock=1/T

10、clock上升時間與信號從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時間有關(guān)，通常有兩種定義。一種是10-90上升時間，指信號從終值的10%跳變到90%所經(jīng)歷的時間。這通常是一種默認(rèn)的表達(dá)方式，可以從波形的時域圖上直接讀出。第二種定義方式是20-80上升時間，這是指從終值的20%跳變到80%所經(jīng)歷的時間。時域波形的下降時間也有一個相應(yīng)的值。根據(jù)邏輯系列可知，下降時間通常要比上升時間短一些，這是由典型CMOS輸出驅(qū)動器的設(shè)計造成的。在典型的輸出驅(qū)動器中，p管和n管在電源軌道Vcc和Vss間是串聯(lián)的，輸出連在這個兩個管子的中間。在任一時間，只有一個晶體管導(dǎo)通，至于是哪一個管子導(dǎo)通取決于輸出的高或低狀態(tài)。 

11、;   假設(shè)周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為，脈沖幅度為E,重復(fù)周期為T，      頻域      頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。時域是惟一客觀存在的域，而頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。     正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個非常重要的性質(zhì)。然而，它并不是正弦波的獨

12、有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質(zhì)。正弦波有四個性質(zhì)使它可以有效地描述其他任一波形：（1）時域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。（2）任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘并在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。（3）正弦波有精確的數(shù)學(xué)定義。（4）正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。使用正弦波作為頻域中的函數(shù)形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應(yīng)相關(guān)的一些問題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域并使用正弦波描述，有時會比僅僅在時域中能更快地得到答案。而在實際中，首先建立包含電阻，電感和電容的電路，

13、并輸入任意波形。一般情況下，就會得到一個類似正弦波的波形。而且，用幾個正弦波的組合就能很容易地描述這些波形，如下圖2.2所示：   圖2.2 理想RLC電路相互作用的時域行為      頻域的圖如下?          時域與頻域的互相轉(zhuǎn)換  時域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標(biāo)表示動態(tài)信號的關(guān)系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來。一般來說，時域

14、的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。      時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系是：時域里一條正弦波曲線的簡諧信號，在頻域中對應(yīng)一條譜線，即正弦信號的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應(yīng)f0頻點上的一個尖峰信號。     按照傅里葉變換理論：任何時域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。          1、正弦波時域信號是單一頻率信號；  

15、;      2、正弦波以外的任何波型的時域信號都不是單一頻率信號；        3、任何波型都可以通過不同頻率正弦波疊加得到；解釋1：        初學(xué)者一個經(jīng)常的困惑是：無法理解信號為何會有多個頻率，加上許多書中的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，比如：語音信號的頻率是在4k以下，是34千赫正弦波。       

16、0;正確的解釋是：一個信號有兩種表示方法，時域和頻域。在時域，信號只有周期，正是因為有了 傅立葉變換 ，人們才能理解到信號頻域的概念。（先有傅立葉變換的結(jié)果才讓你認(rèn)識到聲音信號里包含了某種頻域的正弦波,它僅僅是聲音信號里的一個分量.用你的眼睛你可能永遠(yuǎn)看不出這些幅度變動里包含了你所熟悉的34KHZ的正弦波!）    注：大家應(yīng)牢記：頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域?qū)嶋H上是時域信號進(jìn)行傅立葉變換的數(shù)學(xué)結(jié)果。通過數(shù)學(xué)方法，可以更方便的觀察到信號內(nèi)含的信息、可以分解合成信號。    &#

17、160;    無線通信中傳輸資源包括了時間、頻域、空間等。        時間比較好理解，就是：時間周期1發(fā)送符號1，時間周期2發(fā)送符號2.。，時域的波形可以用三角函數(shù)多項式表示，函數(shù)參數(shù)有：時間、幅度、相位。在載波傳輸中，載波信號由振蕩器產(chǎn)生，它的時鐘頻率是固定的，倒數(shù)就是 時間周期。      頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時域信號都對應(yīng)了頻域的若干頻率分量（稱為諧波）的疊加，頻域的頻率與時域的時鐘頻率

18、不同?？梢哉J(rèn)為：時域不存在頻率，只存在時間周期。信號處理與通信中所指的頻率一般都是指 頻域的頻率分量。而每個頻率分量都可從數(shù)學(xué)意義上對應(yīng)時域的一個波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時域波形的時鐘頻率相同）  。            因為載波一般都是正弦波，所以定義 信號在1秒內(nèi)完成一個完整正弦波的次數(shù)就是信號的頻率（以Hz為單位)，即1Hz。  時間周期T=1/f。    

19、0; 載波的功能參見  調(diào)制解調(diào) 部分內(nèi)容。這里可以先不理解何為載波，關(guān)鍵是時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系。      以這個時域波形為例          設(shè)時域波形（圖中的 合成波）的時間周期=T（如2秒），其時鐘頻率則為f0=1/2 Hz。那么基波的頻率、周期與合成波一樣。每個諧波之間頻率間隔=基波頻率。         

20、而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。         諧波2的頻率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。         諧波8的頻率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期T8=0.2222          在頻域中，每個頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位

21、信息可以得到諧波所對應(yīng)時域的波形。         將各諧波的時域波形疊加起來，即得到 時域中 合成波。 解釋2： 時域信號的數(shù)據(jù)傳輸速率，常用 bps，如100Kbps，指1s內(nèi)傳輸了100K bits的二進(jìn)制數(shù)據(jù)。即：時域的傳輸效率。             引入頻域后，帶來一個新的數(shù)據(jù)：頻譜效率，作為 頻域的傳輸效率。如 80bps/Hz 指1Hz頻率上能傳輸8

22、0bps數(shù)據(jù)。             按信息論，帶寬越大，數(shù)據(jù)速率越高。 解釋3：         為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍

23、是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。            注：此處仍要牢記：頻域是數(shù)學(xué)構(gòu)造，只要有助于我們分析信號，對應(yīng)的數(shù)學(xué)方法 就是有用的。-傅立葉變換 原理傅立葉變換 分類根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：          周期性連續(xù)信號

24、60; 傅立葉級數(shù)(Fourier Series)           非周期性連續(xù)信號  傅立葉變換（Fourier Transform）            非周期性離散信號  離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）    &#

25、160;     周期性離散信號  離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)  -DFT下圖是四種原信號圖例：                這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義

26、成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。            面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。            還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，

27、這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機(jī)來處理信號的。        但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機(jī)來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機(jī)來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理

28、解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。        每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉

29、變換。        還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。             &

30、#160;   傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。         和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信

31、號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。     傅立葉級數(shù)的五個公式(周期性函數(shù))  傅立葉（19世紀(jì)的法國人)認(rèn)為：任何周期函數(shù)f(t)總是可以變成下面的傅立葉級數(shù)（傅立葉公式1）    它等價于下面的公式 （傅立葉公式2）       兩個公式的關(guān)系是：    公式中a0,an、bn都是常數(shù)。AkCosWkt+BkSinWkt即

32、時域信號的第k個頻率分量對應(yīng)的正弦波（即諧波）表示。an,bn也稱為傅立葉系數(shù)。時域的信號用f(t)表示，下面介紹這個信號如何轉(zhuǎn)換到頻域的表示方法。    因為三角函數(shù)間有正交關(guān)系，如下1，兩個不同三角函數(shù)的乘積在-pi,+pi上的定積分為0。即正交。2，兩個相同函數(shù)的乘積在-pi,+pi上的定積分為2Pi或pi.    解釋：上圖中的x對應(yīng)傅立葉公式中的時間參數(shù)t。pi可對應(yīng)時間周期T。 首先：我們考慮如何對于 時域信號f(t) 分解出其中的各個子信號(子諧波)：AkCosWkt+BkSinW

33、kt。   然后可以得到各個諧波在頻域的表示方法:頻率W，幅度Cn、相位。這三項就是傅立葉變換的結(jié)果：頻域信號表示  按上述的三角函數(shù)關(guān)系，要得到ak，就把f(t)乘以coswkt，并在整個周期內(nèi)取積分。得圖中的an就是ak.    得到（下圖中的an就是ak.）        根據(jù)AkCosWkt+BkSinWkt這個波形的表示方法可以推導(dǎo)出：   1, 就是這個正弦波的最大幅值（最大

34、振幅）(也即幅值頻譜圖的y軸)。2, 就是這個正弦波的相位。      經(jīng)過簡單的三角函數(shù)運算，可以得到傅立葉級數(shù)f(t)的另一個表達(dá)方式：（傅立葉公式3）     它可以更方便的計算出振幅  和相位 （分別對應(yīng) 幅度譜與相位譜） 傅立葉級數(shù)f(t)的另一種表示方式是 復(fù)指數(shù)形式,它也是最簡捷的表達(dá)方式。    （傅立葉公式4） Cn是復(fù)數(shù)，定義為從上面的f(t)推導(dǎo)出 復(fù)指數(shù)

35、形式 的過程略，基本思想是利用了歐拉公式ejx = cos(x) + jsin(x) 及解釋：頻域分量轉(zhuǎn)成的時域信號都是復(fù)信號（含實部與虛部），雖然實際信號都是實的。實際上信號的傳輸都用實信號，而接收信號的處理中則使用復(fù)信號。 三角函數(shù) 運算法則是： ， 從上面的 復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)公式 中，可以直接得到各子頻率分量對應(yīng)正弦波（諧波）的振幅 和相位。    復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)公式（傅立葉公式4 ） 可以推導(dǎo)出三角函數(shù)形式  傅立葉公式5     &#

36、160;  另外，在 傅立葉公式4 中看起來出現(xiàn)了“負(fù)頻率”，但實際上它們是不存在，只是數(shù)學(xué)的一種表示方法。        所以在 傅立葉公式5 中就消除了“負(fù)頻率”這里給出了五種 傅立葉級數(shù)f(t)的表示方式，它們都是等價的，并可互相推導(dǎo)出來。  傅立葉積分(非周期性函數(shù))    非周期性函數(shù)使用傅立葉積分來得出頻譜。因為這個函數(shù)總可以在時間間隔之外按其本身形狀來重復(fù)，這里可使用傅立葉級數(shù)來計算頻譜。而當(dāng)時間間隔不斷增大，在極限情況下

37、就變?yōu)楦盗⑷~積分。    考慮一個周期函數(shù)f(t)，用傅立葉級數(shù)表示。    其頻譜圖如下，    其相鄰各諧波頻率之間間隔為     所以這個f(t)可以寫為，將W代入原f(t)公式而得。     當(dāng)T->無窮大時，而Wn也->0，所以 頻譜會由 離散頻率點 變?yōu)檫B續(xù)頻譜。則Cn作為諧波Wk的幅值也會變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w)   

38、;               則我們得到 非周期函數(shù)f(t) 的傅立葉積分表示方法f(t)。       非周期函數(shù)f(t)的時域、頻域圖 舉例如下：      把F(w)的計算公式稱為 傅立葉積分 公式。F(w)稱為 f(t)的傅立葉變換。f(t)公式即傅立葉反變換公式。   

39、;F(w)與f(t)的計算公式 看起來很像，甚至可以互相調(diào)換f(t)與F(w).   由F(w)公式得出時域信號f(t)的頻率分量。頻率、頻譜 從本質(zhì)上說是某種數(shù)學(xué)抽象。 振幅譜和相位譜的關(guān)系    上面的頻譜圖實際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關(guān)系。      F(w)是頻率的復(fù)函數(shù)。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。    ,它隨頻率變化。    它們有奇怪的對稱性。振幅

40、譜是頻率的偶對稱函數(shù)。相位譜是頻率的奇對稱函數(shù)。    可以推導(dǎo)出：        即相位就是          解釋：時域中的相位，與頻域中的相位完全不同。        頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時間變化。      所以：

41、1，頻域中完全看不出時間，只有諧波的各 頻率、幅值、相位 。這些諧波在 非穩(wěn)定信號中 可能并不會在所有時間中存在，這是另一個信號處理領(lǐng)域的問題。2，時域信號中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號。     時域信號的周期=各諧波信號中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當(dāng)于基波的頻率。相位則是各諧波疊加后形成（相位在時域與頻域 沒有固定的、可按公式計算出的關(guān)系）。     時域信號的一個周期中的 符號 包括了以下信號的疊加（且可通過正交分解出來）：    &#

42、160;         一個基波在一個周期內(nèi)的符號，一次諧波在2個周期內(nèi)的符號，二次諧波在3個周期內(nèi)的符號，三次諧波在4個周期內(nèi)的符號。    在快速傅立葉變換中，因為時域抽樣點必須是2的K次方，所以偶次諧波的幅值總為0，即不攜帶信息或空符號 功率譜    從電路分析可知，如     代表1歐電阻上的電壓，則在此電阻內(nèi)損耗的平均功率為（An2+Bn2)/2 

43、;  瓦。   所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2.)1歐電阻內(nèi)所損耗功率的測量。  各個頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的平均損耗功率。  任意電壓f(t)加到1歐電阻上的瞬時功率就是f(t)2  傅立葉變換推導(dǎo)出：時移原理與頻移原理，對偶性質(zhì)   傅立葉變換有兩個重要的原理：1，時間移位原理    將時域時間原點從t=0處移到t=t0處，則相當(dāng)于頻域F(w)的相移 ，即2，頻譜

44、搬移原理    如果F(w)的角頻率移動了W0弧度/秒，則f(t)要乘上 ，即：    推導(dǎo)公式是：   在調(diào)制技術(shù)中，信號f(t)要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動，即通過上述關(guān)系確立。    基帶信號(帶有信息)f(t)對載波信號CosW0t的調(diào)幅結(jié)果（即已調(diào)制信號），可表示為      f0=W0/2pi，為時域載波信號的頻率    已調(diào)

45、制信號的傅立葉變換結(jié)果為：    即：調(diào)制之后，f(t)的頻譜被移動了，        比如：先將一段音樂的離散時間信號做傅里葉變換(FFT)，再將得到的頻譜向高處搬移，最后做傅里葉反變換(IFFT)，恢復(fù)到時域，聽到的聲音會比原來的聲調(diào)高。  時間-頻率 間的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜 呈正比關(guān)系    時域信號波形中，振幅的變化構(gòu)成整個信號的包絡(luò)。  &

46、#160; 下面是一個調(diào)幅信號在一個周期內(nèi)波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。，2A是最大振幅    上式經(jīng)簡單的三角運算后，得到     其頻譜如下：           當(dāng)原信息信號變化更快時（Wm增大），使得振幅調(diào)制后的信號也變化更快，邊帶頻率(W0-Wm,W0+Wm)也更遠(yuǎn)的離開載波。 所以：較快速的變化相當(dāng)于較高頻率的變動。即：時間變化速率增加，頻率也增高了(這點

47、在 上升時間與帶寬 關(guān)系中也可見)    對應(yīng)關(guān)系2，時間周期T  與  頻譜 呈反比關(guān)系下面用 矩形脈沖序列 來深入討論 時間-頻率之間的關(guān)系。            它的頻譜可以表示成   再寫成    給出一個歸一化的無量綱變數(shù) ，則      

48、0;     函數(shù) sinx/x 在x=0處有最大值，此處sinx->x, (sinx/x)->1，而當(dāng)x->無窮大時，它->0   函數(shù) sinx/x 的形狀如下                 因為n是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以 歸一化參數(shù)x也是離散點，但Cn的包絡(luò)無疑與上圖一致。

49、60;            雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡(luò)減小。并且基本周期T越小（即每秒的脈沖數(shù)增多），頻率譜線越移越開。        時間函數(shù)比較快速的變化則相當(dāng)于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因為 f=2pi/T 變大）        由于集

50、中在低頻區(qū)的譜線有較高的幅度，所以這個周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。當(dāng)函數(shù)變化增快（T減?。r，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。      對應(yīng)關(guān)系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關(guān)系從上圖可見，隨著脈沖寬度 的減少，信號的頻率分量分布的更寬思考：因為   那么因為sinxx的圖形不變，當(dāng)sinxx=0時的x不會變，則此時 減少，表示W(wǎng)n會變大。       同時在 

51、0;  處的第一個零交點在頻率軸上移遠(yuǎn)。   因此，在 脈沖寬度或持續(xù)時間 與脈沖的頻率展布 之間，有反比關(guān)系存在。用脈沖寬度 定義帶寬   如  （即很窄的脈沖），則大部分信號能量將落在下式的范圍內(nèi):       這個點也當(dāng)作信號的帶寬。解釋：上面三點其實與 上升時間越小，對應(yīng)帶寬越大 的關(guān)系是一致的。 頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜 與 周期性函數(shù)的頻譜    &#

52、160;  頻譜就是時域信號經(jīng)過傅立葉變換后的復(fù)信號；因為Cn是復(fù)數(shù)。       幅度譜就是復(fù)頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關(guān)系曲線；       相位譜就是復(fù)頻譜取出相位后得到的相位與頻率之間的關(guān)系曲線；       功率譜就是功率與頻率之間的關(guān)系曲線。 周期性函數(shù)按上面傅立葉級數(shù)的推導(dǎo)方法來得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸） &

53、#160;  按 傅立葉公式1中定義，可知每個頻率點間的間隔是2Pi/T,那么第0個頻率點即基波，它的頻率=2Pi/T。T是時域信號的周期，所以基波頻率=時域信號的時鐘頻率，基波表示時域信號的直流分量。    從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為 ,它就是基波角頻率。（角頻率與頻率之間就是多了個2pi的關(guān)系，那么 基波頻率就是時域信號的頻率  ）    W0在傅立葉級級數(shù)中用常數(shù)a0表示。周期=2pi/W0.    一次

54、諧波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，頻率是基波頻率的2倍。    二次諧波分量W2：周期是基波分量周期的1/3，頻率是基波頻率的3倍。    。   所以：頻域各諧波頻率一定是時域信號時鐘頻率的倍數(shù)。    基波的定義是：將非正弦周期信號按傅里葉級數(shù)展開，頻率與原信號頻率相同的量。        在復(fù)雜的周期性振蕩中,包含基波和諧波。和該振蕩最長周期相等的正弦波

55、分量稱為基波。相應(yīng)于這個最長周期的頻率稱為基本頻率。頻率等于基本頻率的整倍數(shù)的正弦波分量稱為諧波。        周期為T 的信號中有大量正弦波，其頻率分別為1/T Hz、2/T Hz、 n/THz，稱頻率為 1/THz的正弦波為“基波”，頻率為等 n/THz（n1）的正弦波為n次“諧波”。解釋：  基波諧波 來自于 原時域信號的頻譜中各頻率點的頻率、相位 在時域中體現(xiàn)為各正弦波，它們疊加在一起形成了原時域信號。      在簡諧振動中

56、，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用f表示。頻率也表示單位時間波動傳播的波長數(shù)。頻率的2倍叫角頻率，即 =2f。在國際單位制中，角頻率的單位也是弧度/秒。頻率是描述物體振動快慢的物理量，所以角頻率也是描述物體振動快慢的物理量。頻率、角頻率和周期的關(guān)系為 = 2f = 2/t。            在簡諧振動中，角頻率與振動物體間的速度 v 的關(guān)系為v =asin( t + )。       

57、60;圓周運動中的角速度與簡諧振動中的角頻率，雖然單位相同且都有 = 2/T的相同形式，但它們并不是同一個物理量。      角頻率對時間的積分等于相位的改變量。  周期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對稱頻譜的意義    動態(tài)信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數(shù)和傅立葉變換實現(xiàn)。周期信號靠傅立葉級數(shù)，非周期信號靠傅立葉變換。兩個域都有自己的測量工具：時間是示波器，頻域是頻譜分析儀。而在一個域進(jìn)行測量，通過換算可求得另一個域的結(jié)果。   &#

58、160;傅立葉級數(shù)公式中，Cn表示了各次諧波的振幅隨頻率變化的情況，一般所指的頻譜是幅度譜，指頻率和振幅的關(guān)系，表示每個頻率分量及其所占的比重大小，如振幅大小或功率大小。    周期函數(shù)的頻譜是離散的。它的頻率是一個不連續(xù)的離散值。因為頻譜函數(shù)Cn的公式由傅立葉級數(shù)公式（實際上是一個三角函數(shù)級數(shù)）推導(dǎo)出，其中的n=0,1,2.，n是整數(shù)，那么Wn=W1,W2,W3.Wn也是離散值。    非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)的。由于頻譜函數(shù)F(W)的公式由傅立葉積分推導(dǎo)出，根據(jù)積分的定義，所以：其中的W是連續(xù)變化的。 

59、   這說明 非周期函數(shù) 的頻率成分比 周期函數(shù) 的頻率成分豐富。傅立葉級數(shù)、傅立葉積分 可以取出兩種函數(shù)的不同頻率成分及其幅值。         上圖是 共軛復(fù)數(shù) 的出發(fā)點，它說明了頻譜圖中出現(xiàn)的 負(fù)頻率 只是數(shù)學(xué)上的方便寫法。(注：必須記住頻域只有數(shù)學(xué)意義，在現(xiàn)實中是不存在的)    頻譜圖中會得到一個關(guān)于y軸對應(yīng)的頻譜圖?，F(xiàn)實中負(fù)頻域是不存在的。這是因為在由傅立葉級數(shù)到指數(shù)形式的轉(zhuǎn)化過程中，歐拉公式對傅立葉級數(shù)

60、系數(shù)重新分析，即Cn對an和bn進(jìn)行了共軛對稱調(diào)整，使得各頻率分量的幅度折半按y軸分配，使之出現(xiàn)了對稱的頻譜和負(fù)頻域形式。 離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數(shù)與頻域點數(shù)的關(guān)系    所謂信息，是指信號隨時間的變化。   奈奎斯特定理已經(jīng)證明。 為了從抽樣信號中無失真的再現(xiàn)原信號，當(dāng)原信號(為頻帶有限的模擬信號)帶寬為BHz時，最小抽樣速率，應(yīng)該為每秒2B個樣值。即抽樣時間間隔=1/2B秒。這些樣值包含了原信號的全部信息。具體證明過程如下：      以下

61、的信號以頻帶有限的信號。設(shè)其帶寬為BHz。即理想情況下，頻域中，超過f=B就絕對沒有任何頻率分量（實際波形中，超過BHz后，頻率分量幅度迅速下降，也可視為信號帶寬=B）。1，原信號轉(zhuǎn)換成抽樣點時，即抽樣速率為多少   對周期信號f(t)抽樣時，只要抽樣速率f0>=2B，則抽樣不會損害其信息含量。1/2B為抽樣間隔。   設(shè)周期脈沖信號為S(t)，脈沖幅度為1，寬度為，周期T=1/f0    則抽樣后信號為fs(t)=f(t)S(t)。   f(t),S(t)都

62、可以展開成傅立葉級數(shù)(公式1），根據(jù)傅立葉頻譜搬移原理， 可以得到fs(t)的傅立葉變換為   每一項的中心位于抽樣頻率的倍數(shù)點上。所以：對f(t)抽樣的效果是使其頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。頻譜沿原先的頻率線對稱的分布。   而對于非周期函數(shù)f(t)抽樣，也有類似效果。   頻譜如下：            當(dāng)抽樣速率下降時，f0及所有諧波都會互相靠攏，則上圖中各頻譜分量會重疊在一

63、起，比如中心位于f0的分量F(W+W0) 會同中心位于原點的 未偏移項F(W)相混，這樣就不能從Fs(W)中分出F(W)，也就不可能從fs(t)中恢復(fù)f(t)。       這種因抽樣間隔太寬而引起頻譜重疊并導(dǎo)致失真的現(xiàn)象稱為混淆。      而開始相混的極限頻率，可從上圖中看出f0-B=B，即f0=2B。      這就是 奈奎斯特抽樣速率。解釋：上面說明了，抽樣的過程即 周期脈沖信號（抽樣信號）與原信號

64、（信息信號） 相乘，產(chǎn)生的結(jié)果信號:            在頻域上，會保留原信號的所有信息（即其頻域分量會全部保留），但頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。即：以 抽樣信號的頻譜各頻率點為中心，每個頻率點的上下邊帶都會保留全部的 原信號頻譜 信息。     因為上下邊帶的存在，所以從數(shù)學(xué)上看，要避免頻譜分量重疊的辦法只有讓 抽樣信號的頻譜間隔為2B，即f=2B，它也是抽樣信號的基波頻率（見 基波的定義 部分）

65、，即時域信號的速率.     如果抽樣速率較小，則抽樣信號的帶寬變小，諧波的頻率分量會更緊密的靠在一起。則很容易發(fā)生， 原信號抽樣后，頻譜分量容易重疊在一起。如抽樣速率較大，則抽樣信號諧波的頻率分量間隔會增大，如上圖中的間隔。原信號抽樣后，不易發(fā)生重疊。抽樣速率不需要越大越好。因為那樣帶寬太大。并且只需要 一個頻率分量的上下邊帶 就可完全恢復(fù)原信號，            比如上圖中fc、2fc左右邊帶就是無用的，在反傅立葉變

66、換時只需要 0點左右的頻譜分量作為輸入數(shù)據(jù)即可。 2，從抽樣點可以得到周期信號 的證明過程如下：注：抽樣點可以是 非周期性 的取得，比如每隔幾秒開始抽樣也可以。    已證明：每秒任何2B個獨立樣值就可完全表示一個頻帶有限的信號。或：完全規(guī)定一個T秒長間隔上的信號，只需要任何2BT個單獨的（獨立的）信息樣值。    證明過程如下：    設(shè)T秒時間上頻帶有限信號為f(t)，（即非周期信號），它可以展開成以T為周期的傅立葉級數(shù)，由于頻帶有限，則傅立葉級數(shù)中的項數(shù)是有限

67、的，即諧波是有限的，也即頻譜中頻率點是有限的。   由于 ，因為B是f(t)的最高頻率分量，則Wn=2piB（當(dāng)n最大時），此時2piB=2pi*n/T，得出n=BT   所以：n的最大值是BT。   基波C0是直流項，僅改變f(t)的平均電平，不提供任何信息（因為信息表示信號隨時間的變化）。   由于頻譜的對稱性，所以傅立葉系數(shù)共有2BT個，即頻譜上的頻率分量共有2BT個。解釋：1，抽樣點的個數(shù)*2 =頻域中 頻率點 的個數(shù)(含正頻率與負(fù)頻率)2，當(dāng)T=1s時，只

68、需要2B個頻譜分量即可恢復(fù)原信號，即：抽樣后信號，從頻域變換到時域后的信息 與 抽樣前信號一樣。 3，抽樣信號的解調(diào)    即：如何從2BT個樣值中恢復(fù)原信號f(t)。     通過傅立葉變換可以證明，在各個抽樣點(時間點分別為：1/2B，2/2B.n/2B）給定信號f(t)時，對它們分別FFT之后可以得到相應(yīng)的傅立葉系數(shù)Cn或F(w)。如下：     而對Cn或F(w)進(jìn)行傅立葉反變換，可以得到所有可能時間上的f(t)解釋：反變換之前是頻域，沒

69、有時間參數(shù)。反變換之后則是時域的連續(xù)信號。     這里的方法是：從 頻域的離散頻譜 反變換后生成  時域的連續(xù)信號。而頻域信號來自于時域的抽樣值。    所以，連續(xù)信號f(t)先抽樣，再FFT，然后再IFFT可以得到原時域信號f(t)。    上述過程已經(jīng)證明：用 時間相隔1/2B 的各個抽樣點上的f(t)信號 就足以確定所有時間的f(t)。   上述過程已經(jīng)證明，讓信號樣值通過一個帶寬為B hz的理想低通濾波器，

70、可以再現(xiàn)原信號f(t)。這就是解調(diào)。   即：N個采樣點，經(jīng)過FFT之后，頻譜上得到N個頻率點的幅值，反變換到時域得到連續(xù)函數(shù)f(t)。采樣速率越高或采樣點數(shù)越多，相當(dāng)于從頻域反變換到時域時得到的諧波越多，疊加后得到的f(t)更像原信號。   比如：原信號帶寬500Hz，時域的采樣頻率則應(yīng)為1024Hz（則1秒內(nèi)得到的采樣點為1024個），那么根據(jù)采樣點變換到頻域后最大帶寬應(yīng)該為1024（解釋：因為發(fā)生了頻譜搬移。）   1秒時間的采樣，得到1024個采樣點，F(xiàn)FT變換到頻域后得到1024個頻率點，橫坐標(biāo)

71、的頻率的最大值是采樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，1Hz，2Hz.1024Hz。   而2秒時間的采樣，得到2048個采樣點，F(xiàn)FT變換到頻域后得到2048個采樣點，橫坐標(biāo)的頻率的最大值仍是采樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，0.5Hz，1Hz，1.5Hz，2Hz.1024Hz。頻率點之間的間隔是0.5hz。因為，最大帶寬W與采樣時間無關(guān)，總是恒定值，當(dāng)頻譜上頻率點n的次數(shù)增加時，頻率點之間間隔只能縮短。   所以：在采樣率確定的情況下：采樣時間越長，頻域的頻率點越多，即頻率分辨率（即：兩個頻率點之間的間隔）越高

72、?；謴?fù)到時域后諧波更多。    結(jié)論：頻域頻率分辨率要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，再做FFT變換到頻域。   實際應(yīng)用中，對實時處理的要求較高，可采用：采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定量的0作為采樣點，使其長度達(dá)到需要的點數(shù)。這也可以提高頻率分辨率。   如果想用時分復(fù)用的方式來同時傳送多路信號，在每路信號的抽樣間隔中，可以用來傳送其它信號的抽樣點。 傅立葉變換與正交性     在第一個傅立葉級數(shù)公式中，通過時

73、域f(t)信號求頻譜Cn（先求an,bn）的過程中利用了三角函數(shù)的正交性。    cos(nx),sin(nx)就像一個智能過濾裝置，只允許和自己完全同頻率的函數(shù)通過（ 可以得到這個頻率的頻域信號 ），將其余的頻率完全正交化為0。這是傅立葉變換的原理與正交化的重要意義所在。傅立葉變換的 思想總結(jié)與優(yōu)點         傅立葉認(rèn)為：任何周期信號都可用成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級數(shù)來表示。而非周期信號是不全成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)積分。   &

74、#160;    傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。        傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。       疊加 是指原始信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位 在時域的累加。  

75、     解釋：時域上原信號波形，看起來頻率是固定的，但實際上信號波形只表達(dá)了二維空間，而在 三維空間 中，還有一個軸是頻率軸，所以 在頻率軸上每個點都有一個對應(yīng)的時域諧波信號)。       解釋：一般可以這樣看：時域沒有頻率，只有周期與時鐘頻率。頻域沒有周期，只有頻率。        傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號分別

76、進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。          傅立葉的優(yōu)點是：            * 傅里葉變換屬于諧波分析。             * 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

77、60;            * 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;             * 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算

78、卷積的一種簡單手段;             * 線性性質(zhì)：兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和            * 頻移性質(zhì)(見下）            * 微分關(guān)系：原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的傅立葉變換間的關(guān)系。 

79、           * 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT).  解釋：                傅立葉給出的定理大致是,任意一個周期函數(shù)都可以表示為sin與cos的無窮級數(shù)。  前者（周期函數(shù)）是時域的表示方法。后者（sin與cos的無窮級數(shù)）是頻域的表示方法。                 時域，有周期T(時間),就有頻率f = 1/T的概念.