帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)及復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)題型及解題技巧

1、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)及復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)題型及解題技巧近年來在考題中多次出現(xiàn)求磁場(chǎng)的最小范圍問題；或帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)范圍問題，這類題對(duì)學(xué)生的平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高。其難點(diǎn)在于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不是完整的圓，其進(jìn)入邊界未知的磁場(chǎng)后一般只運(yùn)動(dòng)一段圓弧后就飛出磁場(chǎng)邊界，運(yùn)動(dòng)過程中的臨界點(diǎn)（如運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的切點(diǎn)、磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)等）難以確定。一、對(duì)稱法 帶電粒子如果從勻強(qiáng)磁場(chǎng)的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)線段的中垂線對(duì)稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則其射出磁場(chǎng)時(shí)速度延長線

2、必過圓心（如圖2）。利用這兩個(gè)結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。例1如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？解析：正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4），由對(duì)稱性知：射入、射出點(diǎn)和圓心恰好組成正三角形。所以兩個(gè)射出點(diǎn)相距s=2r=，由圖還看出經(jīng)歷時(shí)間相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對(duì)稱。 例2如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶

3、電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)，并由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為圓心。當(dāng)MON120°時(shí)，求：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場(chǎng)區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解析：分別過M、N點(diǎn)作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點(diǎn)O'即為帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)圓弧軌道的圓心，如圖6所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對(duì)的軌道圓心角為60°，O、O'的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=r/tan30°=又帶電粒子的軌道半徑可表示為：     故帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間二、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場(chǎng)中向

4、垂直于磁場(chǎng)的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。例3如圖8所示，S為電子源，它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為v0，質(zhì)量為m，電量為q的電子（q<0），MN是一塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為mv0/qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？解析：由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓，且動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖9所示，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN的相切時(shí)

5、的交點(diǎn)P，最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相割，且SQ為直徑時(shí)Q為最低點(diǎn)，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，由     得： SQ為直徑，則：SQ=2L，SO=L ，由幾何關(guān)系得：P為切點(diǎn)，所以O(shè)PL ，所以粒子能擊中的范圍為。例4（2010全國新課程卷）如圖10所示，在0xA0y范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于

6、到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的：（1）速度大??；（2）速度方向與y軸正方向夾角正弦。解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：，解得：。從O點(diǎn)以半徑R（Ra）作“動(dòng)態(tài)圓”，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，所以O(shè)CA。 設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系得： ，再加上， 解得：，三、縮放圓法

7、帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問題得到解決。例5如圖13所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與邊界的夾角為，已知電子的質(zhì)量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界射出，設(shè)此時(shí)的速率為v0，帶電粒子

8、在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得：r+rcos=d        電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：，所以：      聯(lián)立解得：，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于。例6（2010全國II卷）如圖15所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量

9、為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，且GI長為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：qvB0=qU/d，解得離子的速度為：v=U/B0d（為一定數(shù)值）。雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量m改變，

10、結(jié)合帶電離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖16中的動(dòng)態(tài)圓。（1）由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖17中的半圓，半圓與EG邊相切于A點(diǎn)，與EF邊垂直相交于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑：R甲=acos30°tan15°=（）a，從而求得離子甲的質(zhì)量m甲=。（2）離子乙的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖18所示，在EIO2中，由余弦定理得：，解得R乙=a/4，從而求得乙離子的質(zhì)量m乙=。關(guān)于帶電粒子在電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)問題，高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，下面我們先看一個(gè)例題：例：如圖所示，質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子以平行于極板的初速度v0射入長L板間距離

11、為d的平行板電容器間，兩板間電壓為U，求射出時(shí)的側(cè)移、偏轉(zhuǎn)角和動(dòng)能增量解：分解為兩個(gè)獨(dú)立的分運(yùn)動(dòng)：平行極板的勻速運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)時(shí)間由此分運(yùn)動(dòng)決定），垂直極板的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，偏角：，得：穿越電場(chǎng)過程的動(dòng)能增量是：EK=qEy （注意，一般來說不等于qU），從例題可以得出結(jié)論有三：結(jié)論一、不同帶電粒子從靜止進(jìn)入同一電場(chǎng)加速后再垂直進(jìn)入同一偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，射出時(shí)的偏轉(zhuǎn)角度總和位移偏轉(zhuǎn)量y是相同的，與粒子的q、m無關(guān)。例1如圖所示，電子在電勢(shì)差為U1的加速電場(chǎng)中由靜止開始運(yùn)動(dòng)，然后射入電勢(shì)差為U2的兩塊平行極板間的電場(chǎng)中，射入方向跟極板平行，整個(gè)裝置處在真空中，重力可忽略，在滿足電子能射出平行板區(qū)的條件下，下

12、述四種情況中，一定能使電子的偏轉(zhuǎn)角變大的是（    ）AU1變大、U2變大BU1變小、U2變大CU1變大、U2變小DU1變小、U2變小解析：電子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理得,電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中有： 由以上各式得：，可知要使增大必然U2變大，U1變小，故選B答案：B結(jié)論二、粒子垂直進(jìn)入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)射出后，速度的反向延長線與初速度延長線的交點(diǎn)為粒子水平位移中點(diǎn)。（粒子好像是從中點(diǎn)直線射出?。├?證明：在帶電的平行金屬板電容器中，只要帶電粒子垂直電場(chǎng)方向射入（不一定在正中間），且能從電場(chǎng)中射出如圖所示，則粒子射入速度v0的方向與射出速度vt的方向的交點(diǎn)O必定在板長L的中點(diǎn)證明：粒

13、子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)偏距，粒子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)的偏向角，作粒子速度的反向延長線，設(shè)交于O點(diǎn)，O點(diǎn)與電場(chǎng)邊緣的距離為x，則?？芍?，粒子從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出時(shí)，就好像是從極板間的處沿直線射出似的，即證。結(jié)論三、粒子垂直飛入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)射出時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角正切值（）等于位移偏轉(zhuǎn)角正切值（）的兩倍（）。例3（2009山東）如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸間右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子在03t時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）。已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t0時(shí)，刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)。上述m、q、l、l0、B為已知量。（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）（1）求電壓U的大小。（2）求時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。解析：（1）時(shí)刻