指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1根式（1）根式的概念根式的概念符號表示備注如果,那么叫做的次方根當(dāng)為奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)零的次方根是零當(dāng)為偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,它們互為相反數(shù)負(fù)數(shù)沒有偶次方根n為奇數(shù)n為偶數(shù)（2）兩個重要公式 ；（注意必須使有意義）。2有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:;正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪: 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.注：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進行根式的運算。（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras=ar+s(a>0,r、sQ);(ar)s=ars(a

2、>0,r、sQ);(ab)r=arbs(a>0,b>0,rQ);.3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y=axa>10<a<1圖象定義域R值域（0，+）性質(zhì)（1）過定點（0，1）（2）當(dāng)x>0時，y>1;x<0時,0<y<1(2) 當(dāng)x>0時，0<y<1;x<0時, y>1(3)在（-，+）上是增函數(shù)（3）在（-，+）上是減函數(shù)注：如圖所示，是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的圖象，如何確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系？提示：在圖中作直線x=1，與它們圖象交點的縱

3、坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1>1>a1>b1,c>d>1>a>b。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大。（二）對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)的定義如果，那么數(shù)叫做以為底，的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。（2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為常用對數(shù)底數(shù)為10自然對數(shù)底數(shù)為e 2、對數(shù)的性質(zhì)與運算法則（1）對數(shù)的性質(zhì)（）：，。（2）對數(shù)的重要公式：換底公式：；。（3）對數(shù)的運算法則：如果，那么；。3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)（1）定義域：（0,+）（2）值域：R（3）當(dāng)x=1時，y=0即過定點（

4、1，0）（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，（5）在（0,+）上為增函數(shù)（5）在（0,+）上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d與1的大小關(guān)系提示：作一直線y=1，該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。0<c<d<1<a<b.4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱。（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義形如y=x（aR）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)注：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、冪函數(shù)的圖象注：在上圖第一

5、象限中如何確定y=x3，y=x2，y=x，y=x-1方法：可畫出x=x0；當(dāng)x0>1時，按交點的高低，從高到低依次為y=x3，y=x2， y=x， y=x-1；當(dāng)0<x0<1時，按交點的高低，從高到低依次為y=x-1， ，y=x， y=x2，y=x3 。3、冪函數(shù)的性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR0，）值域R0，）R0，）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，）時，增；x時，減增增x(0,+)時，減；x(-,0)時，減定點（1，1）三：例題詮釋，舉一反三知識點1：指數(shù)冪的化簡與求值例1.(2007育才A) （1）計算：；（2）化簡：變式：（2007執(zhí)信A）化簡下

6、列各式（其中各字母均為正數(shù)）:（1）（2）(3) 知識點2：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2.(2009廣附A)已知實數(shù)a、b滿足等式，下列五個關(guān)系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有 （ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個變式：（2010華附A）若直線與函數(shù)且的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_. 知識點3：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例3.（2010省實B）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）判斷函數(shù)的單調(diào)性;（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍變式：（2010東莞B）設(shè)a0,f(x)=是R上的偶函數(shù).（1）求a的值；（2）求證：f(x)在（0，+）上是增函

7、數(shù).知識點4：對數(shù)式的化簡與求值例4.（2010云浮A）計算：（1）（2）2(lg)2+lg·lg5+;（3）lg-lg+lg.變式：（2010惠州A）化簡求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).知識點5：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例5.（2011深圳A）對于，給出下列四個不等式： ； 其中成立的是（ ）（A）與（B）與（C）與（D）與變式：（2011韶關(guān)A）已知0a1,b1,ab1，則loga的大小關(guān)系是 （ ）A.loga B.C. D.例6.（20

8、10廣州B）已知函數(shù)f(x)=logax(a0,a1)，如果對于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，試求a的取值范圍.變式：（2010廣雅B）已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-,1-上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.知識點6：冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例7.(2009佛山B)已知點在冪函數(shù)的圖象上，點，在冪函數(shù)的圖象上問當(dāng)x為何值時有：（）；（）；（）變式：（2009揭陽B）已知冪函數(shù)f(x)=x（mZ）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+）上是單調(diào)減函數(shù).（1）求函數(shù)f(x);（2）討論F（x）=a的奇偶性.四：方向預(yù)測、勝利在望1（A）函數(shù)的定義域為（ ）A(1，4) B1，4)

9、C(，1)(4，) D(，1(4，)2.（A）以下四個數(shù)中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln(D) ln23（B）設(shè)a>1，函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為則a=( )(A) （B）2 （C）2 （D）44.（A）已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，設(shè)則（ ）（A）（B）（C）（D）5.（B）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）6（A）設(shè)，則（）7(A)已知，則( )AB C D8（B）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是區(qū)間上單調(diào)遞

10、減的是（ ）（A） (B) (C) (D) 9.（A）函數(shù)的定義域是：（ ）A B C D 10.(A)已知函數(shù)的圖象有公共點A，且點A的橫坐標(biāo)為2，則（ ）A B C D11（B）若函數(shù)、三、四象限，則一定有（ ）A B C D12(B)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=（ ） A. B. C. D. 13.(A)已知0xya1，則有（ ）（A） （B） （C） （D）14.（A）已知，那么等于（ ）（A）（B）8（C）18（D）15（B）函數(shù)ylg|x| （ ）A是偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增B是偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減C是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增D是奇函數(shù)，

11、在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減 16.（A）函數(shù)的定義域是 _.17（B）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為 18（A）設(shè) 則_19（B）若函數(shù)f(x) = 的定義域為R，則a的取值范圍為_.20(B)若函數(shù)是奇函數(shù)，則a= 21.(B)已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.參考答案：三：例題詮釋，舉一反三例1. 解：（1），（2）變式：解：（1）1, （2） (3)110例2. 解：B變式：解：； 例3. 解：（） （）減函數(shù)。 （） 變式：解：（1）a=1.（2）略例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）.變式：解：(1)（2）2.（3）例5. 解：選D。變式：解： C例6. 解：(1，3，1）變式：解：a|2-2a2例7. 解：（1）當(dāng)或時，；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)且時，變式：解：（1）f(x)=x-4.（2）F（x）=， F（-x）=+bx3. 當(dāng)a0，且b0時，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)a=0,b0時，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a0,b=0時，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；當(dāng)a=0,b=0時，F(xiàn)（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù). 四：方向預(yù)測、勝利在望15 ADDDC； 610 AADDA； 1115 CADDB.16. (-&#