1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

1、1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項(xiàng)式的公因式的確定方法是：(1) 當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次藉。(2) 系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。下面我們通過例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】1.把卜列各式因式分解2m2m1mm3(1)axabxacxax(2)a(ab)32a2(ba)22ab(ba)分析：(1)若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般

2、要提出號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，在提出”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。2m2m1mm3m.23.解：axabxacxaxax(axbxcx)(2)有時(shí)將因式經(jīng)過符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，(ab)2n(ba)2n;(ab)2n1(ba)2n1,是在因式分解過程中常用的因式變換。解：a(ab)32a2(ba)22ab(ba)322a(ab)2a(ab)2ab(ab)2.-a(ab)(ab)2a(ab)2b22a(ab)(3a24abb22b)利用提公因式法簡化計(jì)算過程987987例：計(jì)算12326813681368987456-13685219871368分析

3、：算式中每一項(xiàng)都含有9871368,可以把它看成公因式提取出來，再算出結(jié)果。解：原式9871368(123268456521)98713681368987在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用例：不解方程組2xy5x3y求代數(shù)式(2xy)(2x3y)3x(2xy)的值。分析：不要求解方程組，我們可以把2xy和5x3y看成整體，它們的值分別是和2,觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有2xy,利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有2xy和5x3y的式子，即可求出結(jié)果。解：(2xy)(2x3y)3x(2xy)(2xy)(2x3y3x)(2xy)(5x3y)把2xy和5x3y分別為3和2帶入上式，求得代數(shù)式的值是6。2.

4、 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對于任意自然數(shù)n,3n22n23n2n一定是10的倍數(shù)。分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形,3n22n23n2n3n23n2n2接著只需證明每一項(xiàng)都是2n10的倍數(shù)即可。撲2i)2n(221)103n52n對任意自然數(shù)n,103“和52n都是10的倍數(shù)。3n22n23n2n一定是10的倍數(shù)5、中考點(diǎn)撥：例1。因式分解3x(x2)(2x)解：3x(x2)(2x)3x(x2)(x2)(x2)(3x1)說明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉(zhuǎn)換得到。32例2.分解因式：4q(1p)2(p1)32解：4q(1p)2(p1)324q(1p)2

5、(1p)_2-2(1p)2q(1p)122(1p)(2q2pq1)說明：在用提公因式法分解因式前，必須對原式進(jìn)行變形得到公因式，同時(shí)一定要注意符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡。題型展示：例1.計(jì)算：200020012001200120002000精析與解答：設(shè)2000a,則2001a1200020012001200120002000a10000(a1)(a1)(a1)(10000aa)a(a1)10001a(a1)10001a(a1)(1000110001)0說明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算，若直接計(jì)算，運(yùn)算量必然很大。其中2000、2001重復(fù)出現(xiàn)，又有200120001的特點(diǎn)，

6、可通過設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡求值，從而簡化計(jì)算。例2.已知：x2bxc(b、c為整數(shù))是x46x225及3x44x228x5的公因式，求b、c的值。分析：常規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比較麻煩。注意到x2bxc是3(x46x225)及3x44x228x5的因式。因而也是(3x44x228x5)的因式，所求問題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式。.2.一4解：xbxc是3(x6x225)及3x44x228x5的公因式也是多項(xiàng)式3(x46x225)(3x44x228x5)的二次因式一一4.2_4而3(x46x225)(3x

7、44x228x5)14(x22x5)b、c為整數(shù)22得：xbxcx2x5b2,c5說明：這是對原命題進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式14x228x70,從而簡便求得x2bxc。例3.設(shè)x為整數(shù)，試判斷105xx(x2)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請說明理由。解：105xx(x2)5(2x)x(x2)(x2)(5x)x2,5x都是大于1的自然數(shù)(x2)(5x)是合數(shù)說明：在大于1的正數(shù)中，除了1和這個(gè)數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1. 分解因式：4m2n312m3n22mn2n2n1nn1,4,axabxacxadx(n為正整數(shù))3222(1) a(ab)2

8、a(ba)2ab(ba)2. 計(jì)算：(2)11(2)10的結(jié)果是()A.2100B.210C.2D.13. 已知x、y都是正整數(shù)，且x(xy)y(yx)12,求x、y。4. 證明：817279913能被45整除。5. 化簡：1xx(1x)x(1x)2x(1x)1995,且當(dāng)x0時(shí)，求原式的值?！驹囶}答案】1.分析與解答:(1)4m2n312m3n22mnc222mn(2mn6mn2nax2n1abx1acxn.n1adxnax132(axbxcxd)原式a(ab)32a2(ab)22ab(aa(ab)2(ab)2a2ba(ab)2(3a3b)1)2)(3)b)223a(ab)注意：結(jié)果多項(xiàng)因式要化簡，同時(shí)要分解徹底。2.3.(xy)(xy)12x、y是正整數(shù)12分解成112,26,34又xy與xy奇偶性相同，且xyxyxy2xy6x4y2說明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運(yùn)用因式分解來解決。證明：8172799134.Bx(xy)y(yx)123283273