1第1講平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算

1、知識(shí)點(diǎn)考綱卜載平面向量的實(shí)際背景及基本概念10了解向量的實(shí)際背景.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義理解向量的幾何表示.向量的線(xiàn)性運(yùn)算10掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義初掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義.了解向量線(xiàn)性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示m了解平面向量的基本定理及其意義.10掌握平面向重的正交分解及其坐標(biāo)表示.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件.平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用n理解平面向量數(shù)刖的含義及其物理意義.了解平面向量的數(shù)卸與向量投影的關(guān)系.掌握數(shù)刖的坐標(biāo)表皿，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)

2、量積的運(yùn)算能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.IS會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面兒何問(wèn)題.O會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題第1講平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算1. 向量的有關(guān)概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2) 零向量：長(zhǎng)度為Q的向量，其方向是任意的.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線(xiàn)向量，規(guī)定：0與任一向量共線(xiàn).(5) 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相回的向量.(6) 相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2. 向量的線(xiàn)性運(yùn)算3.兩個(gè)向量共線(xiàn)定理向量運(yùn)算定義法則

3、(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算a三州形法知平行pq邊增糧交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量一b的和的運(yùn)算A工的形法婚ab=a+（b）續(xù)表向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘求實(shí)數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算|入a|=|2|a|,當(dāng)»0時(shí)，入a與a的方向相同；當(dāng)足0時(shí)，入a與a的方向相反;當(dāng)出0時(shí)，入a=0Xia）=（入）a；（沛Oa=2a+；i_a;入（a+b）=2a+?b向量b與非零向量a共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入使得b=浴.說(shuō)明三點(diǎn)共線(xiàn)的等價(jià)關(guān)系一r一rrr_一_.，一A, P,B二點(diǎn)共線(xiàn)？AP=?AB(片0)?O

4、P=(1t)OA+tOB(O為平面內(nèi)異于A,P,B的任十一二一一，一，一一一點(diǎn)，tR)?OP=xOA+yOB(O為平面內(nèi)異于A,P,B的任一點(diǎn)，xR,y£R,x+y=1).O判斷正誤(正確的打,錯(cuò)誤的打“X”)(1) 向量與有向線(xiàn)段是一樣的，因此可以用有向線(xiàn)段表示向量.()r(2) AB+BC+CD=AD.()(3) 若兩個(gè)向量共線(xiàn)，則其方向必定相同或相反.()(4) 若向量扁與向量CD是共線(xiàn)向量，貝UA,B,C,D四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.()(5) 若a/b,b/c,貝Ua/c.()(6) 當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線(xiàn)時(shí)，一定有b=對(duì)，反之成立.()答案：(1)X(2)V(3)X(4)X(5

5、)X(6)V給出下列命題： 零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的； 若a,b都是單位向量，貝Ua=b; 向量扇與BA相等.則所有正確命題的序號(hào)是()ASB.C.D.解析：選A.根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；向量AB與BA互為相反向量，故錯(cuò)誤.(教材習(xí)題改編)如圖，？ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于M，若AB=a,AD=b,用a,b表示MD為()11羿2b11羿2b11羿2bA,尹+2bCD.一«a+b解析：選D.MD=IBD=(ba)=-1a+：b,故選D.|Q已知平面內(nèi)四點(diǎn)A,B,C,D,若品=2DB,CD=1

6、CA+藻，則入的值為3解析：依題意知點(diǎn)A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn)，于是有+入=1,/,33,2答案：3平面向量的有關(guān)概念典例引領(lǐng)例工I給出下列命題：若兩個(gè)向量相等，貝U它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若|a|=|b|,則a=b或a=b;若A,B,C,D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，且AB=DC,貝UABCD為平行四邊形；a=b的充要條件是|a|=|b|且a/b;其中真命題的序號(hào)是.【解析】是錯(cuò)誤的，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 是錯(cuò)誤的，|a|=|b|,但a,b方向不確定，所以a,b不一定相等或相反.一-一-r一、crr一是正確的，因?yàn)锳B=DC,所以|AB|=|

7、DC|且ABIIDC;又A,B,C,D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形. 是錯(cuò)誤的，當(dāng)a/b且方向相反時(shí)，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a/b不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.【答案】平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)第3頁(yè)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線(xiàn)向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆.(4)非零向量a與有的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.聯(lián)蹤調(diào)帙給出下列命題： 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線(xiàn)向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模

8、能比較大小；若泊=0(入為實(shí)數(shù))，則入必為零；已知為實(shí)數(shù)，若冷=嵌，貝Ua與b共線(xiàn).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3正確.因?yàn)橄蛄考扔写驝.3正確.因?yàn)橄蛄考扔写笳_.因?yàn)橄蛄考扔写笳_.因?yàn)橄蛄考扔写蠼馕觯哼xA.錯(cuò)誤.兩向量共線(xiàn)要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.錯(cuò)誤.當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)論入為何值，入a=0.錯(cuò)誤.當(dāng)入=(1=0時(shí)，入a=b此時(shí)，a與b可以是任意向量.平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算(高頻考點(diǎn))平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算，是高考考查向量的熱點(diǎn).常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).高考對(duì)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算的考查主

9、要有以下兩個(gè)命題角度：用已知向量表示未知向量；(2)求參數(shù)的值.典例引領(lǐng)席度一用已知向量表示未知向量例2-1如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么岸等于()1 C1rA"AB-"AD2 31 1B、AB+2AD1->1->CAB+DA3 21 2cD.AB三AD2 3【解析】在CEF中，有吊=EC+CF.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以EC=捉.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，,r2r所以CF=-CB.321r2所以EF=-DC+oCB=-AB+-DA323=1AB您，故選D.23【答案】D5度二求參數(shù)的值例如圖.在

10、ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,AH±BC于點(diǎn)H,M為AH的中點(diǎn).若AM=2AB+lBC,貝U沛四=.【解析】因?yàn)锳B=2,ZABC=60°,AH±BC,所以BH=1.因?yàn)辄c(diǎn)M為AH的中點(diǎn)，11rr所以AM=2AH='(AB+BH)1r1r=2AB+3BC11=2ab+6bc,TTT又AM=?AB+歸C,，11所以岸廣"26所以沛；.3,2【答案】23E3I皿函向量線(xiàn)性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法

11、則.(2)找出圖形中的相等向量、共線(xiàn)向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解.通關(guān)練習(xí)1. 化簡(jiǎn)ACBD+CD一屈得()ABB.DABCD.0解析：選D.因?yàn)锳C-BD+CDAB=AC+CD+DB+BA=0.2. 已知O,A,B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足2AC+CB=0,則6C=()A.2OAOBB.-OA+2OBC.2OA-1OBD.-10A+|Ob1 333解析：選A.因?yàn)?AC+CB=0,所以A為BC的中點(diǎn)，所以2OA=OC+OB,所以O(shè)C=2O)A一(OB.3. 已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足PA+昴+CP=0,AP=用，貝U實(shí)數(shù)入的

12、值為.解析：因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以鬲+PC=2pD,TTT又PA+BP+CP=0,rrrr所以PA=PB+PC=2PD,rr所以AP=-2PD,一與AP=?PD比較，得出一2.答案：一2平面向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用典例引領(lǐng)例設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn).若扁=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證：A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn)；試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線(xiàn).【解】(1)證明：因?yàn)锳B=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),rrrr所以BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共線(xiàn)，又它們有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).因?yàn)閗a+b與a+k

13、b共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)入，使ka+b=?(a+kb),即(k-?)a=(入卜1)b.又a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，所以k出入卜1=0.所以k21=0.所以k=±1.若將本例(2)中的“共線(xiàn)”改為“反向共線(xiàn)”，貝Uk為何值？解：因?yàn)閗a+b與a+kb反向共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)入，使ka+b=?(a+kb)(/0),k=入所以所以k=±1.k入=1,又0,k=入所以k=一1.故當(dāng)k=1時(shí)，兩向量反向共線(xiàn).通關(guān)練習(xí)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，貝U向量a=2e1e2與向量b=e+電(浪R)共線(xiàn)的充要條件是()A.入=0B.入=一11C.入=一2D.入=一2解析：選D.因?yàn)閍=2ee

14、2,b=e+危，e，e2不共線(xiàn)，111因?yàn)閍,b共線(xiàn)？b=)？b=e一涉2?入=一務(wù)一，一、，一、一r。>經(jīng)過(guò)OAB重心G的直線(xiàn)與OA,OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)OP=mOA,OQ=nOB,m,11泌R，則n+m的值為-F二1"工二二工1解析：設(shè)OA=a,OB=b,則OG=§(a+b),PQ=OQOP=nbma,PG=OGOP=-(a,、1.1+b)ma=3ma+3b.由P,G,Q共線(xiàn)得，存在實(shí)數(shù)入使得pQ=澆,即nbma=入1m3即nbma=入1m3即nbma=入1m3.1a+=入b,3、1-m=入3m,從而-11消去入得L+鬲=3.答案：3G求解向量共線(xiàn)問(wèn)題的五個(gè)策

15、略向量共線(xiàn)的充要條件中，當(dāng)兩向量共線(xiàn)時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線(xiàn)的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(1) 證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線(xiàn).若a與b不共線(xiàn)且洎=肉，貝U出0.r-=二±.(4) 直線(xiàn)的向量式參數(shù)萬(wàn)程：A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn)？OP=(1t)OA+tOB(O為平面內(nèi)任一點(diǎn),tR).r一OA=QB+QC(入?yún)n為實(shí)數(shù))，若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，貝U入+四=1.易錯(cuò)防范作兩個(gè)向量的差時(shí)，首先將兩向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，要注意差向量的方向是由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).(1)

16、在向量共線(xiàn)的重要條件中易忽視“a乒0”，否則入可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè).D. 1.下列各式中不能化簡(jiǎn)為PQ的是()A.AB+(PA+BQ)B.(AB+PC)+(BAQC)C.QCQP+CQPA+ABBQ解析：選D.AB+(PA+BQ)=AB+BQ+PA=PA+AQ=PQ;(AB+PC)+(BAQC)=(AB+BA)+(PCQC)=PC+CQ=PQ;.QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ;TTTTTPA+ABBQ=PBBQ,顯然由PBBQ得不出PQ,->.所以不能化簡(jiǎn)為PQ的式子是D.A. 設(shè)a是非零向量，入是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.a與？a的方向相反a與？2a的方向相同|2a

17、|a|a|間習(xí)洞解析：選B.對(duì)于A,當(dāng)0時(shí)，a與泊的方向相同，當(dāng)床0時(shí)，a與冶的方向相反；B正確；對(duì)于C,|一洎|=|一洲a|,由于|-4的大小不確定，故|一間與|a|的大小關(guān)系不確定；對(duì)于D,|涌是向量，而|一涸表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小.2. (2019廣東省五校協(xié)作體第一次診斷考試)設(shè)。是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AB=2DC,則()"rlL3r3r>A.BD=ACABB.BD="AC-ABr1r土dWC.BD=§ACABD.BD=AC§AB"Ju-E“rrrrrr1rr3,解析：選A.BD=BC+CD=BCDC=ACABAB=AC一嚴(yán)

18、，選A.3. (2019山東臨沂模擬)已知a,b是不共線(xiàn)的向量，AB=浴+b,AC=a+心,入，CR,入尹1,故選D.則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件為（）A.入+嚀2B.入一四=1C.入(!=一1D.入！1=1解析：選D.因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以r"m,AB/AC.設(shè)AB=mAC(m乒0),所以所以1=已知向量a,b,c中任意兩個(gè)都不共線(xiàn)，但a+b與c共線(xiàn)，且b+c與a共線(xiàn)，則向量a+b+c=()A.aB.bC.cD.0解析：選D.依題意，設(shè)a+b=mc,b+c=na,則有(a+b)(b+c)=mcna,即ac=mcna.又a與c不共線(xiàn)，于是有m=1,n=1,a+b=c,a+b+

19、c=0.4. 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是解析：BC=ACAB,當(dāng)AB,AC同向時(shí)，|BC|=8-5=3;當(dāng)AB,AC反向時(shí)，|BC|=8+5=13;當(dāng)AB,AC不共線(xiàn)時(shí)，3v|BC|v13.綜上可知3<|BC|<13.答案：3,13已知?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于O,且0A=a,(OB=b,則DC=,BC=(用a,b表示).ELL工-E二>>解析：如圖，DC=AB=OBOA=b-a,BC=OCOB=-OAOB=ab.答案：baab（2019豫西五校聯(lián)考）若M是ABC的邊BC上的一點(diǎn)，且CM=3MB,設(shè)AM=冶B+pAC,則入的值為.解析：

20、由題設(shè)知籍=3，過(guò)M作MN/AC交AB于N，則膘=骰=器=1從而若3,一r七rr313又AM=?AB+pAC=AN+NM=4AB+AC,所以入=*.3答案：34在ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且木GB=2GE,設(shè)AB=a,AC=b,試用a,b表示Ad,AG.iCi解：AD=2（扁+AC）=1a+1b.乞rr2rr1r2r1r1r111AG=AB+BG=AB+3BE=AB+j(BA+BC)=3AB+；(ACAB)=&AB+"AC=a+gb.5. 設(shè)a,b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量.若OA=2ab,Ob=3a+b,OC=a-3b,求證：A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)

21、；若aB=a+b,BC=2a3b,CD=2akb,且A,C,D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值.第10頁(yè)解：（1）證明：由已知得,AB=OB-OA=3a+b-2a+b=a+2b,BC=OC-OB=a3b3ab=-2a4b,故BC=2AB,又BC與AB有公共點(diǎn)B,所以A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn).(2)AC=AB+BC=3a2b,CD=2akb.因?yàn)锳、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以AC=?CD，即3a2b=2?a-kb,3=2入所以所以2=k入入=I,綜上，k的值為4.31.（2019廣州市綜合測(cè)試（一）設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且CP=2FA,則PAB與PBC的面積的比值是（iA"32C.33D.4解析：選B.

22、因?yàn)镃P=2FA,一一ICPI2.所以七*=1,又AFAB在邊PA上的局與PBC在邊PC上的局相|PA|SmB|FA|1等，所以=LA1=2.&PBC|Cp|22.（2019福建省普通高中質(zhì)量檢查）已知D,E是ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段DE上，若AF=xAB+yAC,貝Uxy的取值范圍是（）1A.9,1B.9,C2C.9,2D3解析:選D.由題意，知P,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)入使PB=最一1一2x+y=1x<-,33一1一2x+y=1x<-,33一1一2x+y=1x<-,33AbAp=屁Ab),所以AP=一法+(入+1)Ab,則一一121.,1一，一1i1

23、.、2_,于是xy=x（1x）=x-云+4，所以當(dāng)x=2時(shí)，xy取礙取大值切；當(dāng)x=-或x=耳時(shí)，xy取得最小值9，所以xy的取值范圍為9,4,故選D.994給出下列四個(gè)命題： 若a+b與a-b是共線(xiàn)向量，則a與b也是共線(xiàn)向量；若|a|-|b|=|a-b|,貝Ua與b是共線(xiàn)向量；若|a-b|=|a|+|b|,則a與b是共線(xiàn)向量;若|a|b|=|a|+|b|,貝Ub與任何向量都共線(xiàn).其中為真命題的有（填上序號(hào)）.解析：由向量的平行四邊形法則知道，若a+b與a-b是共線(xiàn)向量，則必有a與b也是共線(xiàn)向量.所以是真命題；若|a|一|b|=|a-b|,貝Ua與b同向，或b是零向量或a,b均為零向量，所以a與b是共線(xiàn)向量，所以是真命題；若|ab|=|a|+|b|,貝Ua與b方向相反，或a,b中至少有一個(gè)零向量，所以a與b是共線(xiàn)向量，所以是真命題；當(dāng)a是零向量，b是非零向量時(shí)，舊|一|b|=|a|+|b成立，而b不能與任何向量都共線(xiàn)，所以是假命題.答案：在直角梯形ABCD中，ZA=90°,ZB=30°,AB=對(duì)3,BC=2,點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，若AE=AD+屈，貝U的取值范圍是.解析：由題意可求得AD=1,CD=<3，rr所以AB=2DC.因?yàn)辄c(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，所以DE=QC（