2003考研數(shù)一真題及解析

1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題：本題共6小題,每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上1(1)lim/cosx)ln(1x)曲面zx2y2與平面2x4yz0平行的切平面的方程是2,設(shè)xancosnx(x211從R的基1,2,011到基11的過渡矩陣為(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)6x,00,xy其他,1,則PXY1(2)設(shè)an,bn,cn均為非負(fù)數(shù)列，且niman0,limbn1,limcnnn，則必有()(A)anbn對任意n成立.(C)極限limanR不存在.n(B)bncn對任意n成立.(D)極限limbnQ不存在.n(6)已知一

2、批零件的長度X(單位：cmcm)服從正態(tài)分布N(,1)，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)二、選擇題：本題共6小題,每小題4分，共24分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).設(shè)函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示則f(x)有()(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)

3、的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且limx0,yf(x,y)xy0/2220(xy)1,則(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).(4)設(shè)向量組I:,r可由向量組II:1,2,s線性表示，則()(A)當(dāng)rs時(shí),向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)rs時(shí),向量組I必線性相關(guān).(A)當(dāng)rs時(shí),向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)rs時(shí),向量組I必線性相關(guān).(B)當(dāng)rs時(shí),向量組II必線性相關(guān).(D)當(dāng)rs時(shí),向量組I必線性相關(guān).(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax0和

4、Bx0,其中A,B均為mn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題: 若Ax0的解均是Bx0的解，則秩(A)秩(B); 若秩(A)秩(B),則Ax0的解均是Bx0的解; 若Ax0與Bx0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B),則Ax0與Bx0同解.以上命題中正確的是()(A).(C).(A).(C).(B).(D).(6)設(shè)隨機(jī)變量Xt(n)(n(A)Y2(n).1 ,1),Y則()x2(B)Y2(n1).(C)YF(n,1).(D)YF(1,n).三、(本題滿分10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍成平面圖形D.求D的面積A；(2) 求

5、D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.、(本題滿分12分)12x將函數(shù)f(x)arctan展開成x的器級數(shù)，并求級數(shù)12x五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D(x,y)0x,0y,L為D的正向邊界.試證siny,(1)%xedysinxiyedxsinysinxLxedyyedx；LxesinydyyesinXdx22.六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k0).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功

6、之比為常數(shù)r(0r1).問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？(注：m表示長度單位米.)七、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)yy(x)在(，)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y0,xx(y)是yy(x)的反函數(shù).d2xdx3(1) 試將xx(y)所滿足的微分方程一(ysinx)()30變換為yy(x)滿足dydy的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0,y(0)-的解.2八、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零f(x2y2z2)dvF(t)M2f(x2yD(t)f(x2y2z2)dvF(t)M2f(x2yD(t)f(x2y2

7、z2)dvF(t)M2f(x2yD(t)，G(t)2)df(x2D(t)：f(x2)dxy2)d其中(t)(x,y,z)x2y2z2t2,D(t)(x,y)x2y2t2.討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性證明當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)(t)2G(t).九、(本題滿分10分)t.t*.-.322010設(shè)矩陣A232,P101,BP1A*P,求B2E的特征值與特征向量223001其中A為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為11:ax2by3c0,l2:bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.試證：這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為abc0.十一、(本題滿分1

8、0分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體X的概率密度為f(x)f(x)2e2(x)，x0,x其中0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機(jī)樣本X1,X2,Xn,記min(Xi,X2,Xn).求總體X的分布函數(shù)F(x);求統(tǒng)計(jì)量？的分布函數(shù)F?(x);如果用？作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題1(1)【答案】需【詳解】方法1：求limu(x)v(x)

9、型極限，一般先化為指數(shù)形式limu(x)v(x)limev(x)lnu(x)然后求limv(x)lnu(x)，再回到指數(shù)上去.1lncosxlncosx7-7：2lim礦ln(1x)ln(1x2)x0ln(1x2)lim(cosx)=limee,x0x0,moHxmoHxmoHxIncosx2ln(1x)ln(1cosxlim2X0ln(1x)1)Xim0cosx1、,一(等價(jià)無窮小替換ln(1x)x)xxm012x22x112E(等價(jià)無分小替換1cosx-x)1原式=e'1in<lncosx萬法2：令y(cosx)，有l(wèi)ny而，以下同萬法1.(2)【答案】2x4yz5【詳解】由

10、題意，只要滿足所求切平面的法向量與已知平面的法向量平行即可.平面2x4yz0的法向量：n1(2,4,1；曲面zx2y2在點(diǎn)(x0,y0,z°)的法向量：瓦(冷*)4(冷心)，1(2冷,2)°,1由于n1/n2,因此有41可解得,x。1,y°2,相應(yīng)地有z°x2y25.所求切平面過點(diǎn)(1,2,5),法向量為：云(2,4,1,故所求的切平面方程為2(x1)4(y2)(z5)0,即2x4yz5【答案】1【詳解】將f(x)x(x)展開為余弦級數(shù)f(x)ancosnx(n0x)，其中anf(x)cosnxdx.所以a2x21cos2xdx-0x2dsin2x1x2

11、sin2x0sin2x2xdxxdcos2x1xcos2x00cos2xdx【答案】【詳解】n維向量空間中，從基【詳解】n維向量空間中，從基n到基n的過渡矩陣P滿足n=1,2,nP，因此過渡矩陣P為:p=n2,根據(jù)定義，從R2的基到基的過渡矩陣為P=1,2121【答案】-4【分析】本題為已知二維隨機(jī)變量4【分析】本題為已知二維隨機(jī)變量【分析】本題為已知二維隨機(jī)變量【分析】本題為已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足一定條件的概率Pg(X,Y)z。.連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)概率的求解方法yxF(x,y)f(u,v)dudv,此題可轉(zhuǎn)化為二重積分F(x,y)f(u,v)dud

12、v,此題可轉(zhuǎn)化為二重積分此題可轉(zhuǎn)化為二重積分此題可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X,Y)Zof(x,y)dxdy進(jìn)行計(jì)算.g(x,y)Z0【詳解】圖中陰影區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域.由題設(shè)，有PXY1f(x,y)dxdy11xx；dx6xdy0x1O21(2(6x12x)dx-【答案】(39.51,40.49).【分析】可以用兩種方法求解:已知方差21,對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計(jì).因?yàn)閄N(,1)，設(shè)有n個(gè)樣本，樣本均值X樣本，樣本均值X樣本，樣本均值X1n-Xi,則XN(ni1),將其標(biāo)準(zhǔn)化n，由公式XE(X)N(0,1)得:XN(0,1)1n由正態(tài)分布分為點(diǎn)的定義XPu1n可確定臨界值u，進(jìn)而確定相應(yīng)的2置信

13、區(qū)間(X置信區(qū)間(X置信區(qū)間(X(2)本題是在單個(gè)正態(tài)總體方差已知條件下(2)本題是在單個(gè)正態(tài)總體方差已知條件下(2)本題是在單個(gè)正態(tài)總體方差已知條件下，求期望值的置信區(qū)間問題.由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間求出的置信區(qū)間求出的置信區(qū)間(Xu2",xu；鼐),其中PU,UN(0,1)，可以直接得出答案.【詳解】方法1:由題設(shè),1u1.96.本題n16,x2得出答案.【詳解】方法1:由題設(shè),1u1.96.本題n16,x2得出答案.【詳解】方法1:由題設(shè),1u1.96.本題n16,x20.95,可見0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點(diǎn)40.即P39.51根據(jù)P1.960.95,有P40.490

14、.95，故401、'161.960.95,的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49).方法2:由題設(shè),1PU0.95,叩2PuU2u2(u)10.95,(u)0.975551查得u1.96.將21,n16,x40代入(xu了,x得置信區(qū)間(39.51,40.49)二、選擇題【答案】(C)【分析】函數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)為零）或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)（導(dǎo)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）；x0是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).對3個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號均不一致，故必為

15、極值點(diǎn)，其中第一個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由正變?yōu)樨?fù)，是極大值點(diǎn)；第二個(gè)交點(diǎn)和第三個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由負(fù)變?yōu)檎菢O小值點(diǎn)，則三個(gè)駐點(diǎn)中有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；對導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x0.左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x0為極大值點(diǎn).故f（x）共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選（C）.【答案】（D）【詳解】方法1:推理法由題設(shè)limbn1，假設(shè)|imbnCn存在并記為A，則lim&lim，A，這與limCn矛盾，故假設(shè)不成立，limbncn不存在.所以選項(xiàng)（D）正確.nn方法2:排除法取an1，如n1、,+，滿足liman0，limbn1，而a1，b10，a1b1，（A）/

16、、止確;nnnn取bnn1,Cnn2，滿足limbn1，limCn，而b(01G，（B）/、止確；nnn取an1，cnnn2,滿足niman0，imCn，而limancn1，（C）不止確.【答案】(A)【詳解】由limf(x，y)xy1c,22、2f(x，y)xy(1)(x2y2)2，其中l(wèi)im0.x0,y0(xy)x0y0由f（x，y）在點(diǎn)（0，0）連續(xù)知，f（0，0）0.取yx，x充分小，x0，有f（x，y)x2(1)(2x2)20;取yx，x充分小，x0，有f（x，y）x2（1）（2x2）20故點(diǎn)（0，0）不是f（x，y）的極值點(diǎn)，應(yīng)選（A）.（極值的定義）【分析】本題為一般教材上均有的

17、比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組I:1,2,r可由向量組II：1,2,s線性表示，則當(dāng)rs時(shí),向量組I必線性相關(guān).或其逆否命題：若向量組1:1,2,可由向量組II:1,2,s線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有rs.可見正確選項(xiàng)為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】用排除法：01010,10,2，則10102，但1,2線性無關(guān)，排除(A)；0111,2,1，則1,2可由1線性表示，但1線性無關(guān)，排除(B)；0001101,1,2,1可由1,2線性表示，但1線性無關(guān)，排除(C).001【答案】(B)【分析】本題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但、兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住、

18、，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】若AX0與BX0同解,則它們的解空間中的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相同，即n-秩(A)=n-秩(B),得秩(A)=秩(B),命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)，則不能推出AX0與BX0同解，通過舉一反例證明，若1000A,B，則秩(A)=秩(B)=1,但AX0與BX0不同解，可見命題不0001成立，排除(D).故正確選項(xiàng)為(B).【答案】(C).【分析】求解這類問題關(guān)鍵在于了解產(chǎn)生2變量、t變量、F變量的典型模式.n(1) 2分布：設(shè)X，X2，Xn相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量ZXi2i1服從自由度為n的2分布.記做Z-2(n).

19、(2) t分布：設(shè)X<'N(0,1),X22(n),且X，X2相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量Zr.X2/n服從自由度為n的t分布.記做Zt(n)F分布：設(shè)X-2(幾),丫2(n2),且X,Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量ZXn1-1服從丫n2Xn1-1服從丫n2Xn1-1服從丫n2F分布，其第一、二自由度分別為n1,n2.記做ZF(n，n2).【詳解】其實(shí)，由F分布的性質(zhì)以及t分布和F分布的關(guān)系得，(1) 如果統(tǒng)計(jì)量Tt(n),則有T2-F(1,n)；1一，(2) 如果統(tǒng)計(jì)量FF(ni,rt),則有后-F(n2,nj)-由以上兩條性質(zhì)可以直接得出本題的答案為(C).先由t分布的定義知X-t(n),其

20、中UN(0,1),V2(n),于是VnYA=VnInX2U2u2,1分母中只含有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方，所以U22(1).由F分布的定義知YF(n,1).故應(yīng)選(C).1C二【分析】圓錐體體積公式：V1r2h；旋轉(zhuǎn)體的體積:3連續(xù)曲線y連續(xù)曲線y連續(xù)曲線yf(x),直線xa、xb所圍成的圖形繞直線xx0旋轉(zhuǎn)一周而成的b2立體的體積V1af(x)x0dx連續(xù)曲線xg(x)，直線y立體的體積V1af(x)x0dx連續(xù)曲線xg(x)，直線y連續(xù)曲線xg(x)，直線y連續(xù)曲線xg(x)，直線y立體的體積V22g(y)y°dyc、yd所圍成的圖形繞直線yy°旋轉(zhuǎn)一周而成的【詳解】為了

21、求D的面積，首先要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,則曲線yInx在點(diǎn)(x0,lnx0)處的切線方程是:1ylnx°(xx°).x。，一、，1.切線的斜率為yx，由于該切線過原點(diǎn)，將(0,0)點(diǎn)代入切線方程，得Inx。10,從而x。e.所以該切線的方程為1yx.e利用平面圖形D的面積公式S(y)(y)dy,得1、，1A0(eey)dy-e1.，為了幫助理解，可(2)旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體(圓錐)體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算畫一草圖.12(2e因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為12-e3VV1V210(eey)2dy一(5e212e3).6切線y1x與x軸及直線xe所圍成的三角形繞直

22、線xe旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為:e1O1OV10(eey)dy3e.曲線yInx與x軸及直線xe所圍成的圖形繞直線xe旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為:1y2(e2y2eey-e2y)o、，。、，V20(ee)dy0(e2eeey)dy四【分析】藉級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、求?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知藉級數(shù)展開的情形.另外，由于函數(shù)展開成的藉級數(shù)，經(jīng)兩邊求導(dǎo)或積分(其中一邊是逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分)后,其新的展開式收斂區(qū)間不變，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處，求導(dǎo)(積分)后的展開式成立與否，要另行單獨(dú)處理，設(shè)已有f(x)an(xx°)nn0收斂區(qū)間為(x0R，x

23、6;R).如果在xx0R處級數(shù)收斂，并且f(x)(左)連續(xù)，則展開式成立的范圍可擴(kuò)大到xx0R處，在xx0R處亦有類似的結(jié)論，不過此時(shí)f(x)(左)連續(xù)應(yīng)改稱(右)連續(xù).【詳解】本題可先求導(dǎo)12x12xf(x),12x112x所以對于函數(shù)-11rx114x2f(x)2(12x)2(12x)12x212x212x基本求導(dǎo)公式422(14x2)14x2對上式兩邊求積分21得，可以利用我們所熟悉的函數(shù)-的藉級數(shù)展開:xx1)(4x2)n01_4x2nn2n1)4x4x212(把x換成4x)f(x)f(0)nnn2n4x,(t)dtnnx2n1)4tdt(1)n4n0xct2ndt002n2n,x11

24、(2,2)又因?yàn)閒(0)，所以4f(x)f(0)(t)dt=24n(2nnn1)42nx1,x12xarctan12x(1)n4nx2n12n1,x1，2)(*),1在x-處,右邊級數(shù)成為2(1)n°2n1，收斂(利用萊布尼茨定理)，左邊函數(shù)f(x)連續(xù),所以成立范圍可擴(kuò)大到處.而在x1-處，右邊級數(shù)雖然收斂2，但左邊函數(shù)f(x)不連續(xù),所以成立范圍只能是1-；-2為了求皿一n02n11Q-代入(*)得2(1)4n102n122n1(1)nn02n11、再由f()2。，得(1)n°2n1五【詳解】五【詳解】(1)方法1:用格林公式證明.由曲線為正向封閉曲線啟然想到用格林公式

25、RPdxQdyDxdxdy.y所以sinysinLxedyyexdx(esinyDsinx、e)dxdy所以sinysinLxedyyexdx(esinysinx、e)dxdyD因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于yx對稱，所以siny(eeDsiny(eeDsiny(eeDx與y互換sinx、)dxdy(esinyDsinx、!)dxdysinyI-xedyLsinx|yedxxeLsinyIdyyesinx|dx方法2:化為定積分證明左邊OLxesinydy左邊OLxesinydy左邊OLxesinydysinx.yedx=L0sinyedysinxIedx=0(esinxesin、)dx右邊.口xesin

26、yLsinxdy；.”lyedx=esinydy0sinxedx=sinx0(eesinx)dx所以：xesinydyyeLsinxdxsinydyyesinxdx.(2)方法1:用格林公式證明sinyLxedyyesinx-dx(esinyDsinx、e)dxdysinxeDesinydxdyDsinxsinx、(ee)dxdyDdxdy=D2dxdysinexdxdyDsinxdxdy利用輪換對稱性(因?yàn)閍b;ab，a0，b0)方法2：由知，qxesinydyyesinxdx方法2：由知，qxesinydyyesinxdx方法2：由知，qxesinydyyesinxdx,sinx0(esi

27、nx、.e)dx一一22dx20六【詳解】(1)建立坐標(biāo)系，地面作為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向，設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為Wn(n1,2,3，).由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí),土層對樁的阻力的大小為kx，汽錘所作的功等于克服阻力所做的功.xlkxdx02x12,W2x2k2kxdx(x2*22X12),W4從而四W2w3k22X3又W2rW1,W3rW2r2W1,從而k2X32WW2W3(12rr2)W(12krr)2于是X3a1rr.第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下Xn,第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為2aX3kxdxX2k、,2、,2、，-(X3X2),X1a

28、Wn(n1,2,3,).則汽錘前n次所功的和等于克服樁被打進(jìn)地下Xnm所做的功.所以從而由于xn0kxdxWW1；kxdxXn七【詳解】W2k2-a2Wn(1牛-萊公式n2(1rn1、k2r)a21,所以limxn示（即通常所說的反函婁dy代入原方程，得a；1rn等比數(shù)列求和公式1.1rdx-馬d2xJdydy2:變換），有d2xd(dy2dyfsinx.,r.>.mfa將題中的ydyy'dxdx11dxd1dxyd?年版)礦f變換成以x為自變量y為因變量的導(dǎo)數(shù)也與宜dX解為YC1exC2ex.由于i不是特征方程得根，所以設(shè)方程（*）的特解為*yAcosxBsinx則*yAsin

29、x*Bcosx,yAcosxBsinx方程（*2r0,根r1,2yy0，特征方程為來表dX21,因此通代入方程(*)，得：AcosxBsinxAcosxBsinx2Acosx2Bsinxsinx解得A0,B1.sin2x.從而yysinx的通解為y(0)*xyC1eC2e3-y(0)0，y(0)2,得C0,y(0)-的解為21sinx.21,C21.故變換后的微分方程滿足初始條件Jsinx.2且y(x)的導(dǎo)函數(shù)y(x)cosx0，滿足題設(shè)y0條件.八【詳解】(1)首先對F(t)進(jìn)行化簡，三重積分轉(zhuǎn)化為在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算；二重積分轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)系中的計(jì)算.f(x2(t)22y2z2)dvt-2

30、20f(r)rsindrt-220sind0f(r)rdr所以為了討論由于f(t)f(x)f(x2D(t)F(t)t220f(r)rdry2)dF(t)在區(qū)間(0,F(t)0,rcost20f(r)rdr-22of(r)rsindr-20f(r)rdrt22f(r)rdrt20f(r)rdrt220f(r)rdr-22of(r2)rdr(球面坐標(biāo))(極坐標(biāo))*,220f(r)rdrt20f(r)rdr)內(nèi)的單調(diào)性，對F(t)求導(dǎo):22t2f(t2)20,trb0,則af(x)dxt2t2220f(r)rdr0f(r)rdrf(t)tt220f(r2)rdr2-2七-2tf(t)f(r)r(tr

31、)dr20t220f(r2)rdr20,所以f(r2)r(tr)0.再利用定積分的性質(zhì)：若在區(qū)間a,b上0.所以F(t)0,所以F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.因?yàn)椋籪(x2)dx2：f(x2)dx2：f(r2)dr,所以f(x2y2)dG(t)frt20f(r2)rdrt22f(r2)dr0t20f(r2)rdrt2f(r2)dr0要證明t0時(shí)2、一F(t)G(t),只需證明t0時(shí),F(t)2-G(t)0,即F(t)_t-2222f(r)rdr-G(t)Yf(r2)rdrt,20f(r)rdr"20f(r

32、2)drt2、20f(r)rdrt20f(r2)dr2_20f(r)rdrt20f(r)rdrt20f(r2)drg(t)20f(r2)rdrt一。t_o0f(r)rdrof(r)drg(t)99ttf2222(t)t0f(r)drf(t)0tf(t2)0f(r2)(tr)2dr0f(r2)r2dr故g(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加，又因?yàn)間(0)0,所以當(dāng)2f(t2)t:f(r2)rdr0時(shí)，有g(shù)(t)g(0)0,一2，、從而t0時(shí),F(t)-G(t).九【分析】法1：可先求出A*,P29時(shí)，解(9EA)x0,得線性無關(guān)的特征向量為,進(jìn)而確定BP1A*P及B2E,再按通常方法確定其一，.，一一，

33、.一，-.，一*特征值和特征向量；法2：先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A的特征值與特征向量，最終根據(jù)B2E與A*2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】方法1:經(jīng)計(jì)算可得522011A*25-_12,P100,225001700900所以BP1A*P=254,B2E274.223225900令E(B2E)274_2-(9)(3)0,225故B2E的特征值為129,33.I23所以屬于特征值9的所有特征向量為112k11k22k11k20012，其中k，k2是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)33時(shí)，解(3EA)x0,得線性無關(guān)的特征向量為所以屬于特征值33的所有特征向量為k33k31，其中k30

34、為任意常數(shù).1方法2：設(shè)A的特征值為，對應(yīng)的特征向量為.由于A70,所以0.所以*AAAEAE*A(AA(E)于是1B(P)P1AP(P1A1)(P)，1(B2E)P2)P1A因此，2為B2E的特征值，對應(yīng)的特征向量為由于EA322232223(1)2(7),故A的特征值為21,37當(dāng)121時(shí)，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為kiP1k2P12k17時(shí)，對應(yīng)的一個(gè)特征向量為因此，B2E的三個(gè)特征值分別為9,9,3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為011110由P110一10,得P11，P121，P131001011k21,其中k，k2是不全為零的任意常數(shù);1對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為01k3P3

35、k31，其中k3是不為零的任意常數(shù).1十【分析】三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法1:“必要性”設(shè)三條直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，則線性方程組ax2by3c，成2cy3a，(*)cx2ay3b，a2ba2bb2c與增廣矩陣Ab2cc2ac2a有唯一解，故系數(shù)矩陣A3c3a的秩均為2,于是3bA0.a2b3cabc2(bca)3(cab)b2c3ab2c3ac2a3bc2a3bAc123111(abc)b2c3a6(abc)bcac2a3bcab1006(abc)bcbab6(abc)cacbc6(abc)(cb)(bc)(a

36、b)(ac)c,、八2.2.2,6(abc)(bccbbcaacabaacabbc)bc)2cbacb226(abc)(a2b2cb226(abc)(a2b2226(abc)(a2b2226(abc)(a2b223(abc)(ab)2(bc)2(ca)2,由于三條直線互不相同，所以(ab)2(bc)2(ca)20,故“充分性”由于2b2c0.2(ac故秩(A)0,則從必要性的證明可知，A0，故秩(A)3.2_2Ib2)2a(ab)b2=2(a-b)2.于是，秩(A)=秩(A)=2.因此方程組(*)有唯一解，即三直線11,12,13交"點(diǎn).方法2:“必要性”X0a2b3c點(diǎn)(x0,y0),則y0為BX0的非零解，其中Bb2c3a1c2a3b設(shè)三直線交"所以|B|0.而a2b3ca2b3cb2c3ab2c3aAc2a3bc2a3bB3(abc)(a(cb)2(bc)2a)2,(解法同方法1)但根據(jù)題設(shè)(ab)2(bc)2(c