多元函數(shù)微分學(xué)

1、第第7章章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)結(jié)束前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 空間空間一維一維:只有一個運(yùn)動方向或其反方向只有一個運(yùn)動方向或其反方向,稱為一個自由度稱為一個自由度.二維二維:有兩個獨(dú)立的、有兩個獨(dú)立的、相互垂直的運(yùn)動方向相互垂直的運(yùn)動方向,稱為兩個自由度稱為兩個自由度.7.1.1 7.1.1 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介第第7章章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)ABCDE坐標(biāo)系坐標(biāo)系前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系1.1.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 過空間定點(diǎn)過空間定點(diǎn) ，作三條互相垂，作三條互相垂直的數(shù)軸，他們都以直的數(shù)軸，他們都以 為原點(diǎn)為原點(diǎn)且一般

2、具有相同的長度單位。且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別稱為這三條軸分別稱為 軸軸, , 軸軸, , 軸，統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通軸，統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把常把 軸和軸和 軸配置在水平軸配置在水平面上，面上， 軸在鉛垂方向，他們軸在鉛垂方向，他們的指向符合右手法則的指向符合右手法則. . Oxyz zxyzOxyzo前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁37 864251 三條坐標(biāo)軸中任意兩條可以確定一個平面，這樣三條坐標(biāo)軸中任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)平面，定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)平面，分別是分別是三個坐標(biāo)平面三個坐標(biāo)平面把空間分成八把空間分成八個部分個部分,稱為八稱為八個卦限個卦限.xOy

3、面面yOz面面zOx面面xyz前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁空間任意一點(diǎn)空間任意一點(diǎn) ，過，過 點(diǎn)作三個平面分別垂直于點(diǎn)作三個平面分別垂直于 軸、軸、 軸、軸、 軸，它們與軸，它們與 軸、軸、 軸、軸、 軸的交點(diǎn)分別軸的交點(diǎn)分別為為 、 、（如圖），、（如圖），PQRMMxyzxyz設(shè)三點(diǎn)在三個坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)設(shè)三點(diǎn)在三個坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為依次為 ， ， ，于是空間一，于是空間一點(diǎn)點(diǎn) 就唯一地確定了一個有序就唯一地確定了一個有序數(shù)組數(shù)組 ，通過直角坐標(biāo)，通過直角坐標(biāo)系，就建立了空間點(diǎn)系，就建立了空間點(diǎn) 與有序與有序數(shù)組數(shù)組 之間的一一對應(yīng)之間的一一對應(yīng)關(guān)系關(guān)系 xyz( , , )x y zM),(

4、zyxMxyzpQ QRM取定空間直角坐標(biāo)系后就可以建立空間的點(diǎn)與數(shù)組取定空間直角坐標(biāo)系后就可以建立空間的點(diǎn)與數(shù)組(x, y, z) 之間的一一對應(yīng)關(guān)系。之間的一一對應(yīng)關(guān)系。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 1 1 空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)設(shè) ， 為空間兩點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)，),(2222zyxM),(1111zyxM21221221221)()()(zzyyxxMM特別地，點(diǎn)特別地，點(diǎn) 到坐標(biāo)原點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn) 的距離為的距離為 ：),(zyxM)0 , 0 , 0(O222zyxOM1Mxyz2MxyzM選取坐標(biāo)系如圖。選取坐標(biāo)系如圖。 則空間兩點(diǎn)間的距離公式為：則空間兩點(diǎn)間的距離公式為：1x2

5、xz1y2z2y1前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁7.1.1.2 7.1.1.2 空間的平面和直線的一般方程空間的平面和直線的一般方程 由于空間中任一平面都可以用一個三元一次方程由于空間中任一平面都可以用一個三元一次方程來表示，而任一三元一次方程的圖形都是一個平面，來表示，而任一三元一次方程的圖形都是一個平面，所以稱如下的三元一次方程為空間中平面的一般方所以稱如下的三元一次方程為空間中平面的一般方程。程。0DCzByAx 由于空間直線可以看作是兩由于空間直線可以看作是兩個平面的交線，因此空間中兩個個平面的交線，因此空間中兩個平面的方程聯(lián)立而成的方程平面的方程聯(lián)立而成的方程組：組： 1111222200

6、A xB yC zDA xB yC zD叫做空間直線的一般方程叫做空間直線的一般方程。 22220A xB yC zD0AxByCzD 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁7.1.1.3 7.1.1.3 空間曲面和空間曲線的一般方程空間曲面和空間曲線的一般方程 1 1曲面的方程曲面的方程 曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，不在曲面上的點(diǎn)足方程，不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程，則的坐標(biāo)都不滿足方程，則稱此方程為曲面的方程，稱此方程為曲面的方程，而曲面就叫做方程的圖形。而曲面就叫做方程的圖形。在空間解析幾何中，任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡在空間解析幾何中，任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡

7、(, )0Fx y z ( , )x yz( , , )0F x y z 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁空間曲線可看成是兩曲面的交線設(shè)空間曲線可看成是兩曲面的交線設(shè) 和和 是兩個曲面方程是兩個曲面方程 ( , , )0F x y z 2 2空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 ( , , )0( , , )0F x y zG x y z 稱為空間曲線的一般方程稱為空間曲線的一般方程即曲線上任何一點(diǎn)都要同即曲線上任何一點(diǎn)都要同時滿足兩個曲面方程。時滿足兩個曲面方程。 ( , , ) 0G x y z ( , , )0F x y z ( , , )0G x y z 則方程組則方程組前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后

8、頁7.1.2 7.1.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念例例1 矩形面積矩形面積S與長與長x，寬，寬y有下列依賴關(guān)系有下列依賴關(guān)系 S=xy (x0,y0)，1.引例引例其中長其中長x 和寬和寬y 是兩個獨(dú)立的變量，在它們變化范圍內(nèi)，是兩個獨(dú)立的變量，在它們變化范圍內(nèi)，當(dāng)當(dāng)x，y 的值取定后，矩形面積的值取定后，矩形面積S有一個確定值之對應(yīng)有一個確定值之對應(yīng). 為某商品的銷售量，為某商品的銷售量， 為商品的銷售價格，為商品的銷售價格， 為為購買商品的人數(shù)為設(shè)此種商品的銷售量購買商品的人數(shù)為設(shè)此種商品的銷售量 與與 ，Q)0,0(bacNbPaQNPQ QPN有關(guān)系：有關(guān)系：其中，其中， ， ，

9、均為正常數(shù)均為正常數(shù) abc例例2前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2.二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義定義定義1 設(shè)有三個變量設(shè)有三個變量x，y，z，如果對于變量，如果對于變量x，y的的變化范圍內(nèi)所取的每一對值，變量變化范圍內(nèi)所取的每一對值，變量z都按照一定的規(guī)則，都按照一定的規(guī)則，有一個確定的值與之對應(yīng)，則稱有一個確定的值與之對應(yīng)，則稱z 為為x，y的二元函數(shù)，的二元函數(shù)，記作記作 z=f(x,y) 或或 z=z(x,y)，其中其中x，y稱為自變量，稱為自變量，z稱為函數(shù)稱為函數(shù)(或因變量或因變量).自變量自變量x，y的變化范圍稱為函數(shù)的定義域的變化范圍稱為函數(shù)的定義域.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁類似地，

10、可以定義三元函數(shù)類似地，可以定義三元函數(shù)u u= =f f( (x x, ,y y, ,z z) )以及三元以以及三元以上的函數(shù)上的函數(shù). .二元以及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)二元以及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). . 與一元函數(shù)一樣，定義域和對應(yīng)法則是二元函數(shù)的與一元函數(shù)一樣，定義域和對應(yīng)法則是二元函數(shù)的兩個要素。兩個要素。函數(shù)的定義域是函數(shù)概念的一個重要組成部分函數(shù)的定義域是函數(shù)概念的一個重要組成部分.求求函數(shù)的定義域，就是求出使函數(shù)有定義的所有自變量函數(shù)的定義域，就是求出使函數(shù)有定義的所有自變量的取值范圍的取值范圍.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 求出二元函數(shù)求出二元函數(shù) 的定義域的定

11、義域.221yxz解解 自變量自變量x，y必須滿足不等式必須滿足不等式, 122 yx此即函數(shù)定義域此即函數(shù)定義域.例例4 求函數(shù)求函數(shù)z=ln(x+y)的定義域的定義域.解解 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?x+y0.即即xy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例5 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域(a0,b0).byaxzarcsinarcsin其圖形是矩形內(nèi)部其圖形是矩形內(nèi)部(包括邊界包括邊界).解解 函數(shù)的定義域由不等式組函數(shù)的定義域由不等式組byax|，bybaxa ，即例例6 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域.2211yxz解解 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)? 0)(122yx. 1 22 yx即

12、它的圖形是單位圓內(nèi)部它的圖形是單位圓內(nèi)部(不包括邊界不包括邊界).前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁二元函數(shù)定義域的圖形可以是全平面，也可以是二元函數(shù)定義域的圖形可以是全平面，也可以是一條或幾條曲線圍成的平面的一部分，或者是零星的一條或幾條曲線圍成的平面的一部分，或者是零星的一些點(diǎn)一些點(diǎn).全平面，或者滿足下述三個條件的平面點(diǎn)集稱為全平面，或者滿足下述三個條件的平面點(diǎn)集稱為平面開區(qū)域，簡稱平面區(qū)域平面開區(qū)域，簡稱平面區(qū)域.這三個條件是：這三個條件是：(1) 其邊界是由一條或幾條曲線所組成其邊界是由一條或幾條曲線所組成,(2) 點(diǎn)集內(nèi)不包含邊界上的點(diǎn)點(diǎn)集內(nèi)不包含邊界上的點(diǎn),(3) 點(diǎn)集內(nèi)任意兩點(diǎn)，存在一條全

13、部含于該點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)集內(nèi)任意兩點(diǎn)，存在一條全部含于該點(diǎn)集內(nèi)的折線，將該兩點(diǎn)連接起來的折線，將該兩點(diǎn)連接起來.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)2( 點(diǎn)集內(nèi)包含邊界上所有的點(diǎn)點(diǎn)集內(nèi)包含邊界上所有的點(diǎn).這種平面點(diǎn)集稱為平面閉區(qū)域這種平面點(diǎn)集稱為平面閉區(qū)域.如果一個區(qū)域可以被包圍在一個以原點(diǎn)為圓心的某如果一個區(qū)域可以被包圍在一個以原點(diǎn)為圓心的某個圓內(nèi)，則稱此區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱其為無界區(qū)域個圓內(nèi)，則稱此區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱其為無界區(qū)域.例例3，例，例5的定義域?yàn)橛械亩x域?yàn)橛薪玳]區(qū)域界閉區(qū)域.例例4的定義域?yàn)闊o的定義域?yàn)闊o界區(qū)域界區(qū)域.例例6的定義域?yàn)橛薪绲亩x域?yàn)橛薪鐓^(qū)域區(qū)域.如果上述條件如果上述條件(1

14、)，(3)不變，將不變，將(2)改為改為 ：)2( 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁3.二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義在一定條件下，函數(shù)在一定條件下，函數(shù)z=f(x,y)的幾何圖形是一張曲的幾何圖形是一張曲面面. 而定義域而定義域D正是這曲面正是這曲面在在 平面上的投影平面上的投影.xoyD( , )zf x y 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 7.1.3 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限與連續(xù)與連續(xù)定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域有定義的某鄰域有定義(點(diǎn)點(diǎn)(x0,y0) 可以除外可以除外),如果動點(diǎn)如果動點(diǎn)P(x,y) 以任意方式趨于定點(diǎn)以任意方式趨于定點(diǎn)(x0,y

15、0)時，時，函數(shù)的對應(yīng)值函數(shù)的對應(yīng)值f (x,y)趨于一個確定數(shù)趨于一個確定數(shù)A，則稱，則稱A為函數(shù)為函數(shù)z=f(x,y),當(dāng)當(dāng) 時的極限，記作時的極限，記作00,xxyy00lim( , ),xxyyf x yA 00( , )(,)lim( , ),x yxyf x yA 或或?qū)τ诙瘮?shù)的極限存在，是指當(dāng)對于二元函數(shù)的極限存在，是指當(dāng)P(x,y)以任意方以任意方式趨于定點(diǎn)式趨于定點(diǎn)P0(x0, y0)，函數(shù)都無限接近于，函數(shù)都無限接近于A.值，則可以斷定函數(shù)在該點(diǎn)的極限不存在值，則可以斷定函數(shù)在該點(diǎn)的極限不存在.當(dāng)當(dāng)P(x,y)以不同路徑趨于點(diǎn)以不同路徑趨于點(diǎn) 時，函數(shù)趨于不同的時，函數(shù)

16、趨于不同的00(,)P xy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例7 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù) 0 , 00 ,),(222222yxyxyxxyyxf，當(dāng)當(dāng)P(x,y)O(0,0)時，極限是否存在時，極限是否存在.解解 當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿x軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn)O(0,0)即即y=0時，時，f(x,y)=f(x,0)=0 (x0)，. 0)0 ,(lim 0 xfx當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿y軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn)O(0,0)即即x=0時時,f(x,y)=f(0,y)=0(y0),. 0), 0(lim0yfy當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿直線沿直線y=k x軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn)O(0,0)時，時，前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁，2200

17、11lim),(limkkkkyxfxxkxy即f(x,y)=f(x,kx)= (x0)，21kk其極限值隨直線斜率其極限值隨直線斜率k的不同而不同的不同而不同.因此因此 不存在不存在.),(lim00yxfyx 一元函數(shù)極限的有些運(yùn)算法則一元函數(shù)極限的有些運(yùn)算法則(如四則運(yùn)算法則，如四則運(yùn)算法則，夾逼定理等夾逼定理等) 可以相應(yīng)地推廣到二元函數(shù)可以相應(yīng)地推廣到二元函數(shù).當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿直線沿直線y=k x軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn)O(0,0)時，時，前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定義定義3 如果當(dāng)如果當(dāng) 時，函數(shù)時，函數(shù)z=f (x,y)的極限的極限存在，且等于它在點(diǎn)存在，且等于它在點(diǎn)P0(x0,y0)處

18、的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x0,y0)， 即即),(),(lim0000yxfyxfyyxx則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù).00,xxyy 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f (x,y)在開區(qū)域在開區(qū)域D上各點(diǎn)都連續(xù)，則稱函上各點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)數(shù)z=f (x,y)在開區(qū)域在開區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù).連續(xù)的二元函數(shù)連續(xù)的二元函數(shù)z=f (x,y)在在幾何上表示一張無孔無隙的曲面幾何上表示一張無孔無隙的曲面.000(,)P xy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱點(diǎn)不連續(xù)，則稱點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)是函數(shù)f(x,y)的不連續(xù)點(diǎn)，或稱間

19、斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)，或稱間斷點(diǎn).如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)有下列情形之一：有下列情形之一：(1)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)沒有定義，沒有定義，(2) 在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0) 有定義，有定義， 不存在，不存在，),(lim00yxfyyxx(3) 在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0) 有定義，且有定義，且 存在，但存在，但00lim()xxyyf x, y則點(diǎn)則點(diǎn)P0(x0,y0)為函數(shù)的為函數(shù)的z=f(x,y)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).00lim()()xxyyff00 x, yx , y ，前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除了二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除了有間

20、斷點(diǎn)外，還可能有間斷線有間斷點(diǎn)外，還可能有間斷線.在圓周在圓周 上的每一上的每一點(diǎn)都是間斷點(diǎn)，因?yàn)樵趫A周點(diǎn)都是間斷點(diǎn)，因?yàn)樵趫A周上的點(diǎn)，函數(shù)無定義上的點(diǎn)，函數(shù)無定義.圓周圓周 是該函數(shù)的一是該函數(shù)的一條間斷線條間斷線.2211zxy122x + y221xy例例8 函數(shù)函數(shù)2211zxy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相似，在有界閉與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)：區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元上的多元連續(xù)函數(shù)在連續(xù)函數(shù)在D上一定有最大值和最小值上

21、一定有最大值和最小值.性質(zhì)性質(zhì)2 (介值定理介值定理) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)上的多元連續(xù)函數(shù),如果在如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次介于這兩個值之間的任何值至少一次.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁7.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念7.2 7.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏增量偏增量定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)當(dāng)y固定在固定在y0，而，而x在在x0處有增量處有增量x時，相應(yīng)函數(shù)有增量時，相應(yīng)函數(shù)有增量0000(,)(,).f xx yf

22、 xy 稱為關(guān)于稱為關(guān)于 x 的偏增量記為的偏增量記為xz0000(,)(,).xzf xx yf xy 相應(yīng)的相應(yīng)的0000(,)(,).yzf xyyf xy 即即前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁1.偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義如果極限如果極限00000(,)(,)limxf xx yf x yx 存在，則稱此極限值為函數(shù)存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處對處對x的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).記作記作00000000(,)(,),(,)(,),xxxyxyzffxyzxyxx或或即即0000000(,)(,)(,)limxxyf xx yf xyzxx 類似地，函數(shù)類似地，函數(shù)z=f

23、(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為00000(,)(,)limyf xyyf xyy 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁00(,),xyfy 00(,)xyzy 記為記為0000(,)(,)yyfxyzxy 或或前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)都存在對都存在對x的偏導(dǎo)數(shù)，即的偏導(dǎo)數(shù)，即0(, )( , )lim, ( , )xf xx yf x yx yDx 存在，顯然這個偏導(dǎo)數(shù)仍是存在，顯然這個偏導(dǎo)數(shù)仍是x，y的函數(shù)，稱它為函數(shù)的函數(shù)，稱它為函數(shù)z=f(x,y)對對x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作的偏導(dǎo)函數(shù)，記作,( , )

24、( , )xxzffx yzx yxx或或偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù):前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁類似地，可以定義函數(shù)類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)對自變內(nèi)對自變量量y的偏導(dǎo)函數(shù)為的偏導(dǎo)函數(shù)為0( ,)( , )limyf x yyf x yy 記作記作,( , )( , )yyzffx yzx yyy 或或二元以上多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似地定義二元以上多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似地定義.例如三例如三元函數(shù)元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y,z)處對處對x的偏導(dǎo)函數(shù)定義為的偏導(dǎo)函數(shù)定義為0(, , )( , , )limxuf xx y zf x y zxx 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 可類似的定義

25、可類似的定義,uuyz前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2、偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對求多元函數(shù)的偏導(dǎo)一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然適用數(shù)仍然適用. 例如，給定一個二元函數(shù)例如，給定一個二元函數(shù)z=f(x,y)，求，求 時，可將時，可將自變量自變量y 看成常數(shù)看成常數(shù)(即將即將z看成看成x的一元函數(shù)的一元函數(shù))，只需，只需z對對x求導(dǎo)求導(dǎo).xz前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 若求函數(shù)若求函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y

26、0)處對處對x的偏導(dǎo)數(shù)，只需的偏導(dǎo)數(shù)，只需先求偏導(dǎo)函數(shù)先求偏導(dǎo)函數(shù)fx(x,y)，然后再求，然后再求fx(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處的函處的函數(shù)值，即數(shù)值，即 ，這樣就得到了函數(shù)，這樣就得到了函數(shù)z =f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處對處對x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).也可以先將也可以先將y=y0代入代入z=f(x,y)中，得中，得z=f(x,y0)，然后對，然后對x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)fx(x,y0)，再以，再以x=x0代入代入.兩種做法是一致的兩種做法是一致的.因?yàn)樵谶@個過程中，因?yàn)樵谶@個過程中，y為為常數(shù)常數(shù)y0.),(| ),(00),(00yxfyxfxyxx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例1

27、求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,3)處對處對x 和和y 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).222),(yxyxyxf解解yxyxfx22),(.22),(yxyxfy將點(diǎn)將點(diǎn)(1,3)代入上兩式，得代入上兩式，得. 43212) 3,1 (, 83212) 3,1 (yxff例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).yxz .lnxxyzy, 1yyxxz解解前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).22eyxz222222e()2 exyxyyzxyyy 222222e()2 exyxyxzxyxx ，解解例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).222rxyz. ryyr222 .rxxxr

28、xyz解解.rzzr前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 偏導(dǎo)數(shù)的記號是個整體記號，不能看作分子與分偏導(dǎo)數(shù)的記號是個整體記號，不能看作分子與分母之商，否則這三個偏導(dǎo)數(shù)的積將是母之商，否則這三個偏導(dǎo)數(shù)的積將是1.這一點(diǎn)與一元這一點(diǎn)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)記號函數(shù)導(dǎo)數(shù)記號 是不同的，是不同的， 可看成函數(shù)的微分可看成函數(shù)的微分dy與自變量微分與自變量微分dx之商之商.xyddxydd前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例6 設(shè)設(shè)222222, 0,( , )0, 0 xyxyxyf x yxy ，求求f(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù).解解 原點(diǎn)原點(diǎn)(0,0)處對處對x的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為0(0,0)(0,0

29、)(0,0)limxxfxffx 200() 00()0limlim 00.xxxxx 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為yfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0. 00lim0)(0)(0lim020yyyyy222222, 0,( , )0, 0 xyxyxyf x yxy ，前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 對于多元函數(shù)對于多元函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證函數(shù)在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，這與一元函數(shù)不同連續(xù)，這與一元函數(shù)不同.一元函數(shù)在其可導(dǎo)點(diǎn)處，一一元函數(shù)在其可導(dǎo)點(diǎn)處，一定連續(xù)的結(jié)論，對多元函數(shù)是不成立的定連續(xù)的結(jié)

30、論，對多元函數(shù)是不成立的.這是因?yàn)槠珜?dǎo)這是因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在，只能保證當(dāng)點(diǎn)數(shù)存在，只能保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿著平行坐標(biāo)軸的方向趨沿著平行坐標(biāo)軸的方向趨于于(x0,y0)點(diǎn)時，函數(shù)數(shù)值點(diǎn)時，函數(shù)數(shù)值f(x,y)趨于趨于f(x0,y0)，但不能保證，但不能保證當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨于點(diǎn)以任意方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時，函數(shù)時，函數(shù)f(x,y)趨于趨于f(x0,y0).在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處二元函數(shù)連續(xù)，推不出偏導(dǎo)數(shù)存在，處二元函數(shù)連續(xù)，推不出偏導(dǎo)數(shù)存在，而偏導(dǎo)數(shù)存在也推不出函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，所以二元而偏導(dǎo)數(shù)存在也推不出函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)，所以二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在這二者之間沒有因果關(guān)系函數(shù)連續(xù)

31、與偏導(dǎo)數(shù)存在這二者之間沒有因果關(guān)系.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)(), ().xyffzzx, yx, yxy二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為：二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為：22( , )( , )xxxxzzzx yfx yxxx 2( , )( , ) xyxyzzzx yfx yyxx y 2( , )( , ) yxyxzzzx yfx yxyy x 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁22( , )( , )yyyyzzzx yfx yyyy 同樣可得三階、四階以至同樣可得三階、四階以至n階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)(如果存在的如果存在的

32、話話).一個多元函數(shù)的一個多元函數(shù)的n1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，稱為原來階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，稱為原來函數(shù)的函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例7 求求 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).3233yxyxz,66322yxyxz,9223yxxyz,63 32xyyxxz解解,18 222yxyz,183222xyxyxz.183222xyxxyz前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁).1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 1 (,),(222xyzxxffzxyzxyzyxf求設(shè)例例8,2),( 2xzyzyxfx解解,2),

33、(zzyxfxx,2),(yzyxfxy, 0),(zyxfxyz. 0) 1 , 1 , 1 (xyzf, 4)2 , 1 , 1 (xxf前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例9 設(shè)設(shè) ，求，求., sine222yxzxzyxzx.sin) 1(esinesine yxyxyxzxxx解解.sin)2(esinesin) 1(e22yxyyxxzxxx.cos) 1(e2yxyxzx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁7.3.1 全微分的概念全微分的概念 全增量全增量設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)y = = f( (x,y) )在點(diǎn)在點(diǎn)( (x0 ,y0) )的某鄰域的某鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .當(dāng)自變量當(dāng)自變量x，y

34、在點(diǎn)在點(diǎn)( (x0 0, ,y0 0) )的該鄰域內(nèi)分別的該鄰域內(nèi)分別取得增量取得增量 和和 時，函數(shù)的全增量為時，函數(shù)的全增量為x0000(,)(,)zf xx yyf xy y 7.3 7.3 全微分全微分一、全微分的定義全微分的定義前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例1 設(shè)矩形金屬薄板長為設(shè)矩形金屬薄板長為x，寬為，寬為y，則面積則面積S=xy.薄板薄板受熱膨脹，長自受熱膨脹，長自x0增加增加 ，寬自，寬自y0增加增加 ，其面積相，其面積相應(yīng)增加應(yīng)增加 000000()() .Sxxyyx yyxxyxy xy全增量全增量 由由 三項(xiàng)組成三項(xiàng)組成. 比其余兩項(xiàng)小得多比其余兩項(xiàng)小得多.Syxyxx

35、y，00yx ，令22)()(yx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定義定義2 2 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義，如果義，如果z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量的全增量),(),(0000yxfyyxxfz可表示為可表示為),(oyBxAz其中其中A，B與與 無關(guān)，無關(guān)， 是比是比 高階的無窮小，則稱高階的無窮小，則稱 為函數(shù)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記作處的全微分，記作dz，即，即yx ,)(,)()(22oyxyBxAdyzA xB 也稱函數(shù)也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處可微處可微

36、.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 與一元函數(shù)類似，全微分與一元函數(shù)類似，全微分dz是是 的線性函數(shù)，的線性函數(shù)， 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小.當(dāng)當(dāng) 充分小時，可用充分小時，可用全微分全微分dz作為函數(shù)的全增量作為函數(shù)的全增量 的近似值的近似值.dzz z二、全微分存在的必要條件二、全微分存在的必要條件定理定理1 (全微分存在的必要條件全微分存在的必要條件) 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則處可微，則f(x,y)在該點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，并且在該點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，并且 A=fx(x0,y0), B=fy(x0,y0).由定理由定理1可得到全微分的計(jì)算公式：可得到

37、全微分的計(jì)算公式：0000d(,)(,)xyzfxyxfxyy ,xy|,|xy 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁與一元函數(shù)微分類似，規(guī)定自變量與一元函數(shù)微分類似，規(guī)定自變量x，y的增量等于自的增量等于自變量的微分變量的微分dx，dy，即，即 .于是全微分于是全微分又可寫成又可寫成yyxxdd，0000d(,)d(,)dxyzfxyxfxyy 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域在開區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，則稱內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，則稱f(x,y)在域在域D內(nèi)是可微的內(nèi)是可微的.這樣，域這樣，域D內(nèi)任一點(diǎn)處的全微分內(nèi)任一點(diǎn)處的全微分為為d( , )d( , )dxyzfx yxfx yy定理定理2 (全微

38、分存在的必要條件全微分存在的必要條件) 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在在 (x0,y0)點(diǎn)可微，則函數(shù)點(diǎn)可微，則函數(shù) z =f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)處連續(xù).前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁三、全微分存在的充分條件三、全微分存在的充分條件例例0 , 00 ,),(222222yxyxyxxyyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)，故由定理處不連續(xù)，故由定理2可知，在可知，在(0,0)點(diǎn)是不可點(diǎn)是不可微的微的.但這個函數(shù)在但這個函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)是存在的且點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)是存在的且. 0)0 , 0( , 0)0 , 0(yxff該例說明，盡管函數(shù)在該例說明，盡管函數(shù)在(0,0)

39、點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，但函點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)在數(shù)在(0,0)點(diǎn)仍是不可微的，即定理點(diǎn)仍是不可微的，即定理1的逆定理是不成立的的逆定理是不成立的.下面的定理給出了函數(shù)下面的定理給出了函數(shù)z=f(x,y)可微的充分條件可微的充分條件.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理3(全微分存在的充分條件全微分存在的充分條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ，則函數(shù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)可微可微.（充分而不必要）（充分而不必要）),(),(yxfyxfyx例如例如222222221()sin, 0( , )0, 0 xyxyxyf x y

40、xy 在在O(0,0)處可微，但偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處可微，但偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)O(0,0)不連續(xù)不連續(xù).上面三個定理可以完全推廣到三元和三元以上的上面三個定理可以完全推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)多元函數(shù).如三元函數(shù)如三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分存在，則有的全微分存在，則有dddduuuuxyzxyz前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例2 求求 的全微分的全微分.3233yxyxz解解,6332xyyxxzyyzxxzzddd而且它在而且它在Oxy平面上處處連續(xù)，所以在點(diǎn)平面上處處連續(xù)，所以在點(diǎn)(x,y)處的全微處的全微分為分為，2239yxxyz.d)9(d)63(22332yyxxxxyyx前頁前頁結(jié)

41、束結(jié)束后頁后頁例例3 求求 在點(diǎn)在點(diǎn)(2,1)處的全微分處的全微分.xyz = e解解 由于由于 與與 是連續(xù)函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，且exyzyx ,e212yxxz22212.xyxyzde de d所以在點(diǎn)所以在點(diǎn)(2,1)處的全微分為處的全微分為,e2 212yxyzxyzxye前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例4 求求z=xy在點(diǎn)在點(diǎn)(2,3)處，關(guān)于處，關(guān)于 的全增的全增量與全微分量與全微分.2 . 0, 1 . 0yxxyyyxxz)(解解yyzxxzzddd將各值代入上式，得到將各值代入上式，得到. 7 . 0d ,72. 0zz，yxyxxy.ddyxxyyxxy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后

42、頁例例5 求求 的全微分的全微分.sin2yuxyze解解, 1xu.dede2cos21ddzyyzyxuyzyz,e2cos21yzzyyu,eyzyzu前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁7.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用0000zd(,)(,)xyzfxyxfxyy z(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )( , )( , )xyf xx yyf x yfx yxfx yy 從二元函數(shù)全微分定義可知，全增量與全微分之差從二元函數(shù)全微分定義可知，全增量與全微分之差是是 的高階無窮小，所以當(dāng)?shù)母唠A無窮小，所以當(dāng) 很小時有很小時有| |,|yx又又從而從而前

43、頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例6 求求 的近似值的近似值.4.01(1.98)解解計(jì)算計(jì)算yxyxf),(4.01(1.98)47.151601. 09 .11)02. 0(32)4 , 2()4 , 2()4 , 2(1.98)4.01fyfxfyx(,)f xx yy 32) 4 , 2(421yxyxyxf09.11ln) 4 , 2(42yxyyxxf的值可以近似看作的值可以近似看作時時當(dāng)當(dāng)?shù)闹档闹等∪?.98,4.01xxyy 2,-0.02,4,0.01xxyy 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁7.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微分法 設(shè)設(shè)z=f(u,v)是變量是變量u，v的函數(shù)，

44、而的函數(shù)，而u，v又是又是x，y的的函數(shù)，即函數(shù)，即 ，如果能構(gòu)成，如果能構(gòu)成 z 是是x ,y 的的二元復(fù)合函數(shù)二元復(fù)合函數(shù)( , ),( , )ux y vx y ( , ),( , ),zfx yx y 如何求出函數(shù)如何求出函數(shù)z對自變量對自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？的偏導(dǎo)數(shù)呢？7.4 7.4 多元復(fù)合函數(shù)與隱含數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)與隱含數(shù)的微分法前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處有偏處有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù) 存在，且存在

45、，且,zzxy),(),(yxvyxu),(),(yxyxfz, .zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy 復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是zuvxy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁公式公式(1)給出給出z對對x的偏導(dǎo)數(shù)是的偏導(dǎo)數(shù)是(*) xvvzxuuzxz 公式公式(*)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù) 是由兩項(xiàng)組成的，每項(xiàng)又是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公是由兩項(xiàng)組成的，每項(xiàng)又是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到，即的這兩條規(guī)律，可以通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到，即xz (1)公式公式(*)的項(xiàng)數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量的項(xiàng)數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖

46、中自變量x到達(dá)到達(dá)z路徑的個數(shù)路徑的個數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量x到達(dá)到達(dá)z的路徑有兩條的路徑有兩條.第一條是第一條是 ，第二條是，第二條是 ，所以公，所以公式式(*)由兩項(xiàng)組成由兩項(xiàng)組成.zvxzux 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 (2)公式公式(*)每項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)乘積因子的個數(shù)每項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)乘積因子的個數(shù),等于該條路等于該條路徑中函數(shù)及中間變量的個數(shù)徑中函數(shù)及中間變量的個數(shù).如第一條路徑如第一條路徑 ,有一個函數(shù)有一個函數(shù)z和一個中間變量和一個中間變量u，因此，第一項(xiàng)就是兩，因此，第一項(xiàng)就是兩個偏導(dǎo)數(shù)個偏導(dǎo)數(shù) 與與 的乘積的乘積.zuxxuuz 復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

47、復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用上面的法公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用上面的法則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.這一這一法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w =f (u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)只是自變量只是自變量x的函數(shù)，的函數(shù)，求求z 對對x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) .( ),ut ( )vt ( ), ( )zftt tzdd 可得可得ddddtddzzuzvutvt 下面

48、借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出全下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出全導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式.zuvt前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 在這里，函數(shù)z是通過二元函數(shù)z=f(u,v)而成為t的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對t的導(dǎo)數(shù) 又稱為z對t的全導(dǎo)數(shù).對公式(2)應(yīng)注意，由于z，u，v這三個函數(shù)都是t的一元函數(shù)，故對t的導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫成 ，而不能寫成 .tvtutz, tvtutzdd,dd,dd tzdd 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁., yzxz例例1 設(shè)設(shè) 求求,sineyxvxyuvzu解法解法1 得得xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 1cosesinevyvuu，)cos()sin(eyxyx

49、yxy).cos()sin(eyxyxxxy1cosesine vxvuu前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁解法解法2 對于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量對于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量u，v，用用x，y代入，則得到代入，則得到 ，z 是是x，y二元復(fù)合函數(shù)，根二元復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(e yxyxyxzxyxy)cos(e)sin(e yxyxxyzxyxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例2 設(shè)設(shè) ,其中其中f(u,v)為可微函數(shù)，求為可微函數(shù)

50、，求),(22xyyxfz ,.zzxy 解解 令令 ，可得，可得22,uxy vxy xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中其中 不能再具體計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)不能再具體計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)f 僅是抽象的函數(shù)記號，沒有具體給出函數(shù)表達(dá)式僅是抽象的函數(shù)記號，沒有具體給出函數(shù)表達(dá)式.vzuz,，vzyuzx 2，vzxuzy 2前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 設(shè)設(shè) 求求,e2sin),(222yxvxvxvxfzv.xz解解 xvvfxfxz 在該例中，我們清楚看出在該例中，我們清楚看出 與與 含意是不同的含意是不同的.xfxz .4)sin(4sin 22xyxxvxf顯然不

51、等于顯然不等于 .xz xvxxvv2)ecos()4(sin.2e)cos(4)sin(222222xyxxxyxyx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例4 設(shè)設(shè) 求求.dd ,ln,e,2tztyxxztytyyztxxztzdddddd解解 得得txxyxyty1lne221) 1(222yxxyxyyy).1(ln22ttt前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁一 、由方程由方程F F( (x,y)=0)=0所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)y=y(x)的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式 若函數(shù)若函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù) ，則方程則方程F(x,y)=0在點(diǎn)在點(diǎn)P0的一個鄰域內(nèi)，確定了一個

52、隱的一個鄰域內(nèi)，確定了一個隱函數(shù)函數(shù)y=y(x)，并假定，并假定y(x)可導(dǎo)，可導(dǎo)，F(xiàn)(x,y)可微，那么如何可微，那么如何求求 呢？利用二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)出隱函數(shù)呢？利用二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)出隱函數(shù)求導(dǎo)的一般公式求導(dǎo)的一般公式.00PyFxydd7.4.2 隱含數(shù)的微分法隱含數(shù)的微分法前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁首先將首先將y = y(x)代入方程代入方程F(x,y)=0，得恒等式，得恒等式 , ( )0,F x y x 將左端看成將左端看成x的復(fù)合函數(shù)，兩端對的復(fù)合函數(shù)，兩端對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得d0dxyyFFx 由于假定由于假定 ，故有，故有ddxyFyxF 0yF 公式公式(3)

53、就是由方程就是由方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)y = y(x)的的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.dd0esinxyyyxx，求解解 令令 ，則有，則有xyyxyxFesin),( ,esinxxyyF代入公式代入公式(3)，得，得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy.ecos xyyxF例例5 設(shè)設(shè)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例6 設(shè)設(shè).ddsin21xyyyx，求解法解法1 將方程寫成將方程寫成 . 兩端對兩端對x求導(dǎo)求導(dǎo)(y是是x的函數(shù)的函數(shù))，得，得0sin21yyx，0ddcos21dd1xyyxy.cos22dd 02cosyxyy，所以得到由于前

54、頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁解法解法2 用公式用公式(3)求求 .xydd，令yyxyxFsin21),(,cos211 , 1 yFFyx則代入公式代入公式(3)，得，得.cos22cos2111ddyyFFxyyx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁二、由方程二、由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)公式的偏導(dǎo)數(shù)公式將將z=z(x,y)代入方程代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式，得恒等式 , , ( , )0F x y z x y 前面已假定前面已假定 ，由上式解出，由上式解出 ，得，得yzxzFz, 0, yxzzFFzzxFyF 將上式左端看成將上式左端看成x

55、，y的復(fù)合函數(shù)，兩端對的復(fù)合函數(shù)，兩端對x和和y求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得, 010 , 001yzFFFxzFFFzyxzyx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例7 設(shè)設(shè)).(,2222為常數(shù)，求RyzxzRxzyx解解 將方程定成將方程定成 ，令，令02222Rxzyx.2 ,2 ,22 zFyFRxFzyx得若若 ，方程，方程F(x,y,z)=0確定了函數(shù)確定了函數(shù)z=z(x,y)，由公式由公式(4)，得，得02 zFz,zxRFFxzzx.zyFFyzzyRxzyxzyxF2),(222前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x0,y0) 的某一鄰域內(nèi)有定義，

56、的某一鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任何點(diǎn)如果在該鄰域內(nèi)任何點(diǎn) (x,y) 的函數(shù)值恒有的函數(shù)值恒有f (x,y)f (x0,y0) (或或f (x,y)f (x0,y0)，則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)(x0,y0)為函數(shù)的極大值點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)或極小值點(diǎn)). f (x0,y0)為為極大值極大值(或極小值或極小值)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值. 極大值極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).7.5.1 7.5.1 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值7.5 7.5 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 注注（1）極值點(diǎn)一定是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)）極

57、值點(diǎn)一定是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（2）不等式）不等式f(x,y)f(x0,y0 )(或或f(x,y)f(x0,y0) 也只在某個也只在某個鄰域的局部范圍內(nèi)成立，不要求在函數(shù)整個定義域上成鄰域的局部范圍內(nèi)成立，不要求在函數(shù)整個定義域上成立立前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例1 函數(shù)函數(shù) ，在原點(diǎn)，在原點(diǎn)(0,0)處取得極處取得極小值小值1.因?yàn)?，對于任何點(diǎn)因?yàn)椋瑢τ谌魏吸c(diǎn)(x,y)(0,0)，都有，都有2221),(yxyxff(x,y)f(0,0)=1,這個極小值也是最小值這個極小值也是最小值. .該函數(shù)的圖形是橢圓拋物面該函數(shù)的圖形是橢圓拋物面. .在曲面上點(diǎn)在曲面上點(diǎn)(0,0,1)(0,0,1)的的z坐標(biāo)小

58、于曲面上其他點(diǎn)的坐標(biāo)小于曲面上其他點(diǎn)的z坐標(biāo)坐標(biāo). .例例2 函數(shù)函數(shù) ，在原點(diǎn)，在原點(diǎn)(0,0)處取得極處取得極大值大值1.因?yàn)閷τ谌魏我驗(yàn)閷τ谌魏?x,y)(0,0)，都有，都有f(x,y)f(0,0)=1這個函數(shù)的圖形是橢圓拋物面這個函數(shù)的圖形是橢圓拋物面.在曲面上點(diǎn)在曲面上點(diǎn)(0,0,1)的的z坐坐標(biāo)大于曲面上其他點(diǎn)的標(biāo)大于曲面上其他點(diǎn)的z坐標(biāo)坐標(biāo).2221),(yxyxf前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理1 (極值存在的必要條件極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有取得極值，且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有0000(,

59、)0, (,)0 xyfxyfxy 注注（1）駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn). .例如，函數(shù)例如，函數(shù)z=x2y2，在點(diǎn)，在點(diǎn)(0,0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)同時為零，即處的兩個偏導(dǎo)數(shù)同時為零，即容易看出駐點(diǎn)容易看出駐點(diǎn)(0,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn). (0,0)0, (0,0)0.xyzz （2）極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)）極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面 的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)(0,0,1)，偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn).221yxz前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理定理2(極值的充分

60、條件極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且(x0,y0)是函是函數(shù)的一個駐點(diǎn)，即數(shù)的一個駐點(diǎn)，即 ,記記 ，則，則0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy 當(dāng)當(dāng)B2AC0時時, 是函數(shù)的極值點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn), A0時，時， 為極小值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，f(x0,y0)為極小值為極小值.(2) 當(dāng)當(dāng)B2AC0時，時，f(x0,y0)不是極值不是極值.(3) 當(dāng)當(dāng)B2AC=0時，時，f(x0,y0)可能為極值，也可能不