單輝祖材料力學(xué)

1、第第十十章章 彎曲變形彎曲變形 10-1 梁變形的基本概念梁變形的基本概念 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角10-2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程10-3 積分法計(jì)算梁的變形積分法計(jì)算梁的變形10-4 疊加法計(jì)算梁的變形疊加法計(jì)算梁的變形1-05 簡單超靜定梁簡單超靜定梁-彎曲剛度的計(jì)算彎曲剛度的計(jì)算 梁彎曲變形的計(jì)算梁彎曲變形的計(jì)算目的目的：要控制梁的最大變形：要控制梁的最大變形在一定的限度內(nèi)。在一定的限度內(nèi)。 工程中對梁的設(shè)計(jì)，除了必須滿足強(qiáng)度條件外，還必工程中對梁的設(shè)計(jì)，除了必須滿足強(qiáng)度條件外，還必須限制梁的變形，使其變形在容許的范圍之內(nèi)。須限制梁的變形，使其變形在容許的范圍之內(nèi)。 梁的撓度

2、，橫截面的轉(zhuǎn)角。梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)度量梁變形的參數(shù)-二、撓度：二、撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移。軸線方向的位移。 一、撓曲線：梁變形后的軸線。一、撓曲線：梁變形后的軸線。 性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、 極其平坦的平面曲線。三、轉(zhuǎn)角：三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用的角度。用“ ” ” 表示。表示。 用用“y” 表示表示。FCy 1010-1-1 梁變形的基本概念梁變形的基本概念 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角xxy = = y（x） 撓曲線方程。撓曲線方程。 撓度向下為正；向上為負(fù)。撓度向下為正；向上為負(fù)。= =( (x) ) 轉(zhuǎn)角

3、方程。轉(zhuǎn)角方程。 由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后， 順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。 四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移。軸線方向的位移。 轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。的角度。用用“ ” ” 表示。表示。用用“y” 表示表示。yxydxdytg)(ytg FCyxx ( (撓曲線為一條平坦的曲線撓曲線為一條平坦的曲線) )x一、曲率與彎矩的關(guān)系：一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIMr1二、曲率與撓曲線的關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式二、曲率與撓曲線的關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式) )232)

4、(1)(1yyx ryx )(1r（2）三、撓曲線與彎矩的關(guān)系三、撓曲線與彎矩的關(guān)系： 聯(lián)立（1）、（2）兩式得yx EIM)()(xyMEI （1）zEIxMx)()(1r, 1y1010-2 -2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 Cyx yM 00)( xy撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了忽略了“Fs”以及以及 對變形的影對變形的影響響 2)(y使用條件：使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。M xy)(xMy EI結(jié)論：撓曲線近似微分方程結(jié)論：撓曲線近似微分方程xyxy)(22xMdxydEI)(xyMEI )()(xMxyEI 1)()()(Cdxx

5、MxEIxyEI21)()(CxCdxdxxMxEIy 1010-3-3 積分法計(jì)算梁的變形積分法計(jì)算梁的變形步驟步驟：（：（EI為常量）為常量）1 1、根據(jù)載荷分段列出彎矩方程、根據(jù)載荷分段列出彎矩方程 M（x）。）。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分3 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。0Ay0By0Dy0 D 右右左左CC 連續(xù)條件：連續(xù)條件：右右左左CCyy 邊界條件：邊界條件：DPPABCF（1 1）、固定端處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。）、固定端處：

6、撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2 2）、固定鉸支座處；可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。）、固定鉸支座處；可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。（3 3）、在彎矩方程分段處：）、在彎矩方程分段處： 一般情況下左、右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。一般情況下左、右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4 4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程5 5、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。1 1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程 M（x）。）。2 2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似

7、微分方程并進(jìn)行積分3 3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。積分法計(jì)算梁變形的步驟積分法計(jì)算梁變形的步驟21)()(CxCdxdxxMxEIy 邊界條件：邊界條件：連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：)()(xMxyEI 1)()()(CdxxMxEIxyEI解：a) 建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程EIFLLy3)(3例：例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角( ( EI= =常數(shù)）常數(shù)）。)()(xLFxMb) 寫出微分方程并積分c) 應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù))()(xLFxMyEI 12)(21CxLFyEI213)

8、(61CxCxLFEIyFx322161 ; 21FLCFLCd) 確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程3236)(xLxEIFxyLxxEIFy222EIFLL2)(2e) 自由端的撓度及轉(zhuǎn)角 x=0處處 : y(0) = 0 ; ( (0)=0yLqlABxC解：解：a) 建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出撓曲線近似寫出撓曲線近似微分方程并積分微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM)(22xlxqyEI x = 0

9、 ： y = 0 ; x = l ： y = 0 . )46(24)2(24323323xlxlEIqyxlxlEIqxy0,24231CqlCEIqlEIqlyBALx2438453max42max例：例：求圖示簡支梁的最大撓度 和最大轉(zhuǎn)角 ( EI = 常數(shù) ）132)32(2CxlxqyEI2143)126(2CxCxlxqEIy222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI 11)(xLFbxMFC解：解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)b)寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分例：例：求

10、圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角 （EI=常數(shù)）左側(cè)段（左側(cè)段（0 x1 a）：）：右側(cè)段（右側(cè)段（a x2 L）：）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xLba)()(222axFxLFbxMlFblFaAC段段CB段段222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI FC左側(cè)段（左側(cè)段（0 x1a）：）： 右側(cè)段（右側(cè)段（ax2L）：）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xlFblFac) 應(yīng)用位移邊界條件

11、和連續(xù)條件應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)求積分常數(shù)連續(xù)條件：連續(xù)條件：y1(a) = y2(a), y1(a) = y2(a); 邊界條件：邊界條件：y1(0) = 0 , y2(L) =00);(6212221DDbLLFbCCb)寫出寫出微分方程并積分微分方程并積分222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbyEIaxFxLFbyEI FC左側(cè)段（左側(cè)段（0 x1a）：）： 右側(cè)段（右側(cè)段（ax2L）：）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI 1xABab2xlFblFa0);(621222

12、1DDbLLFbCCd) d) 確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFbye) e) 跨中點(diǎn)跨中點(diǎn)撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d) d) 確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFby);43(482212bLEIFbyyLxC

13、;6)()0(1LEIbLFabA兩端支座處的轉(zhuǎn)角兩端支座處的轉(zhuǎn)角FC1xABab2xlFalFbLEIaLFabLB6)()(2跨中點(diǎn)跨中點(diǎn)撓度撓度討論：討論：1 1、此梁的最大轉(zhuǎn)角。、此梁的最大轉(zhuǎn)角。 LEIaLFabB6)(maxFC1xABab2xlFblFa當(dāng)當(dāng) a b 時(shí)時(shí)LEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(討論：討論：2 2、此梁的最大撓度、此梁的最大撓度FC1xABab2xlFblFa當(dāng)當(dāng) a b 時(shí)時(shí)最大撓度發(fā)生在最大撓度發(fā)生在AC段段2122112122113)(66xbLLEIFbyxbLLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322

14、bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFby221max3)2(30baabLxy1y3221max)(391bLLEIFbyyxxFC1xABab2xlFblFa當(dāng)載荷接近于右支座，即b很小時(shí)，由上式可得：EIFbLEIFbLy22max0642. 039而此時(shí)梁跨中截面處的撓度為：EIFbLEIFbLy220625. 016跨中兩者相差也不超過中點(diǎn)撓度的3%。 因此，在簡支梁中，只要撓曲線無拐點(diǎn)，即可用中點(diǎn)撓度來代替最大撓度。221max3)2(30baabLxy1y3221max)(391bLLEIFbyyxx 3、a = b 時(shí)時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。此梁的最大撓度和最大

15、轉(zhuǎn)角。EIFLyyEIFLLxCBA48;163max2max2FCABab寫出下列各梁變形的寫出下列各梁變形的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件和連續(xù)條件.,; 02121CCCCBEBAyyLyy1C截面左側(cè)截面左側(cè)2C截面右側(cè)截面右側(cè)ABFCL/2L/2EABC.; 0; 0, 021CCBAAyyyy1 1、梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；、梁在簡單載荷作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；2 2、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。)()()(),(221121nBnBBnBFFFFFF )()()(),(221121nBn

16、BBnBFyFyFyFFFy 一、一、前提條件：前提條件：彈性、小變形。彈性、小變形。二、二、疊加原理：疊加原理：各載荷同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等各載荷同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各載荷分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于各載荷分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。三、三、疊加法的特征：疊加法的特征：1010-4 -4 疊加法疊加法計(jì)算梁的變形計(jì)算梁的變形aaF=+例例：疊加法求疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C截面截面 的撓度的撓度.解解: a): a)載荷分解如圖載荷分解如圖b)b)由梁的簡單載荷變形表，由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引

17、起的變形。查簡單載荷引起的變形。EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622EIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433aaqFA AC CAaaqaaF=+例例：疊加法求疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C截面截面 的撓度的撓度.EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622EIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433aaqFA AC CAaaqEIFaEIqayyyCqCFC624534AqAFAc)c)疊加疊加)43(122qaFEIa=+L/2qFL/2ABC例例：確定圖示梁確定圖示梁C截面的撓度和轉(zhuǎn)

18、角截面的撓度和轉(zhuǎn)角。解解：1 1、載荷分解如圖、載荷分解如圖2 2、查梁的簡單載荷變形表、查梁的簡單載荷變形表EIqLEIqLyCqCq6;834L/2qL/2;243)2(33EIFLEILFyBFEIFLLEIFLEIFLLyyBFBFCF48528242323EIFLBFCF82EIFLEILFBF82)2(22)(a)(a)(bL/2FL/2)(bB由由F引起的引起的C點(diǎn)位移：點(diǎn)位移：3 3、疊加、疊加,485834EIFLEIqLyyyCFCqCEIFLEIqLCFCqC8623L/2L/2qA AC CA=+例例：求圖示梁：求圖示梁C截面的撓度。截面的撓度。解：解：1 1、載荷分解

19、如圖、載荷分解如圖2 2、查梁的簡單載荷變形表、查梁的簡單載荷變形表EIqLEILqyyyyCaCbCaC7685384)2(50443 3、疊加、疊加0;384)2(54CbCayEILqyL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)=+ABLa aCqqaABL CM=qa2/2（b）例例：求圖示梁：求圖示梁B截面的撓度（截面的撓度（EI 已知）。已知）。解：解：1) 1) 結(jié)構(gòu)分解如圖結(jié)構(gòu)分解如圖2) 2) 查梁的簡單載荷變形表查梁的簡單載荷變形表3) 3) 疊加疊加B Cq（a）EILqaaEILqaayEIqayCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqayyyBbBaB24)43(68334例例：求圖示梁：求圖示梁C截面的撓度。截面的撓度。解：解：1 1、結(jié)構(gòu)分解如圖、結(jié)構(gòu)分解如圖2 2、查梁的簡單載荷變形表、查梁的簡單載荷變形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/2EIFLEILFyCa243)2(333 3、疊加、疊加EIFLEIFLEIFLyyyCbCaC163487243332LyyBbBbCbEIFLLEILFLEILFEILFLEILF48722)2(2)2(2)2()2(22)2(