2012年自動(dòng)控制原理課件理論第8章

1、第第 8 章章 非線(xiàn)性控制系統(tǒng)非線(xiàn)性控制系統(tǒng) Chapter 8 Nonlinear Control Systems機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社自動(dòng)控制原理2第第 8 章章 非線(xiàn)性控制系統(tǒng)非線(xiàn)性控制系統(tǒng)8.1概述introduction8.2非線(xiàn)性系統(tǒng)的特點(diǎn)非線(xiàn)性系統(tǒng)的特點(diǎn)Characteristics of nonlinear system8.3相平面分析法相平面分析法Phase-plane analysis method 8.4描述函數(shù)分析法描述函數(shù)分析法Describing function analysis method 自動(dòng)控制原理3Nonlinear system: A nonli

2、near system is a system that is not linear;that is ,a nonlinear system is a system to which superposition does not apply. 非線(xiàn)性系統(tǒng)與線(xiàn)性系統(tǒng)有著很大的差別，如非線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng)取決于輸入信號(hào)的幅值和形式，不能應(yīng)用疊加原理，目前還沒(méi)有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。1.相平面法:圖解分析方法，適用于具有嚴(yán)重非線(xiàn)性特性的一、二階系統(tǒng)，該方法通過(guò)在相平面Phase plane繪制相軌跡plane trajectories曲線(xiàn)，確定非線(xiàn)性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。2.描述函

3、數(shù)法: 一種等效線(xiàn)性化的圖解分析方法，該方法對(duì)于滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)要求的非線(xiàn)性系統(tǒng)，通過(guò)諧波線(xiàn)性化，將非線(xiàn)性特性近似為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。自動(dòng)控制原理48.2.1典型非線(xiàn)性特性典型非線(xiàn)性特性1.飽和特性 Dead zone Saturation Backlash2. 死區(qū)特性3. 間隙特性自動(dòng)控制原理54. 繼電器特性RelayRelay with dead zoneRelay with hysteresisIdeal relayRelay with dead zone and hysteresis自動(dòng)控制原理68.3.1相平面的基本概念相平面的基本概念

4、二階線(xiàn)性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)僅由初始條件激勵(lì)。這一系統(tǒng)的狀態(tài)可以用兩個(gè)變量 : 和 來(lái)描述。若令 只要給定初始條件 、 或 、 ，由這兩個(gè)一階聯(lián)立微分方程便可唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)。如此定義的變量稱(chēng)為相變量(或狀態(tài)變量)。nnxxx220 xxxx21 ,nnxxx 22122)0(1x)0(2x)0( x)0( x 8.3相平面分析法相平面分析法x x21xx 自動(dòng)控制原理7時(shí)間響應(yīng)與相軌跡下圖繪出了初始條件非零，在不同阻尼下的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)。nnxxx220 如果以相變量 和 為坐標(biāo)構(gòu)成平面，稱(chēng)為相平面，則系統(tǒng)在某一時(shí)刻t1的狀態(tài)就成為相平面上的一個(gè)點(diǎn) 。在相平面上，由 或 以時(shí)間為參變量構(gòu)成的曲線(xiàn)，

5、稱(chēng)為相軌跡 phase trajectory。相軌跡上的箭頭表示時(shí)間參量的增大方向。若以一些初始狀態(tài)作為起始點(diǎn)，在相平面上做出一簇相軌跡，稱(chēng)為系統(tǒng)的相平面圖phase portrait 。1x2x12( ),( )x t x t),(21xx),(xx自動(dòng)控制原理88.3.2 相平面圖的繪制方法相平面圖的繪制方法 設(shè)描述二階系統(tǒng)的微分方程為 是x， 的線(xiàn)性函數(shù)或非線(xiàn)性函數(shù)。若令x， 為相變量，并將其化為兩個(gè)一階微分方程 兩式相除，于是得到一個(gè)以x為自變量， 為因變量，不顯含時(shí)間t的一階微分方程 根據(jù)此式，用解析法或圖解法可繪出相平面圖。 0)(xxfx ,)(ddxxfxtx ,xxxfxx)

6、(dd,x xdtdxx x 自動(dòng)控制原理9 1.相平面圖的特點(diǎn)相平面圖的特點(diǎn) 相平面圖往往是關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)。 若相平面圖軸對(duì)稱(chēng)，則相軌跡曲線(xiàn)在 和 點(diǎn)上的斜率相等，符號(hào)相反。有 即 是關(guān)于x的奇函數(shù)。 若相平面圖關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則相軌跡曲線(xiàn)在 和 的斜率相等，符號(hào)相反，應(yīng)有 即 是關(guān)于 的偶函數(shù)。 )(xx ,)(-xx ,)(-)(或)(-)(xxfxxfxxxfxxxf, , ,f x xf xxf x xf xxxx()()或()()(xxf,)(xxf,x (1) 相平面圖的對(duì)稱(chēng)性相平面圖的對(duì)稱(chēng)性)(xx ,)(xx,自動(dòng)控制原理10 (2)相平面圖上的奇點(diǎn)和普通點(diǎn)相平面圖上的奇

7、點(diǎn)和普通點(diǎn) 相平面上任一點(diǎn) ，只要不同時(shí)滿(mǎn)足 和 ，則該點(diǎn)的斜率是唯一的，通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡有且僅有一條，這樣的點(diǎn)稱(chēng)為普通點(diǎn)。在相平面上，同時(shí)滿(mǎn)足 和 的點(diǎn)， 相軌跡的斜率不是一個(gè)確定的值，說(shuō)明通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡曲線(xiàn)有一條以上，這樣的點(diǎn)稱(chēng)為奇點(diǎn)奇點(diǎn)singularity 奇點(diǎn)只分布在相平面的x軸上)(xx ,0 x 0)(xxf,0 x 0)(xxf,00)()(xxxfxxxf,自動(dòng)控制原理11相軌跡通過(guò)相軌跡通過(guò)x軸的斜率軸的斜率在x軸上，所有點(diǎn)都滿(mǎn)足 。除奇點(diǎn)外相軌跡在x軸上的斜率為所以，除了奇點(diǎn)外，相軌跡和x軸垂直相交。 相軌跡移動(dòng)的方向相軌跡移動(dòng)的方向 在相平面的上半平面，由于，則x隨著

8、參變量時(shí)間t的加而增大，所以系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運(yùn)動(dòng)；反之，下半平面，由于，則x隨著時(shí)間t的增加而減小，所以系統(tǒng)態(tài)沿相軌跡由右向左運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動(dòng)方向相軌跡上的箭頭表示。0 x xxxfxxxf)()(,自動(dòng)控制原理12 2.繪制相平面圖的解析法繪制相平面圖的解析法 若系統(tǒng)微分方程比較簡(jiǎn)單，則直接積分即可求得相軌跡方程式中包含了初始條件。給定不同初始條件，可直接繪出系統(tǒng)的相平面圖。 若系統(tǒng)微分方程不能直接積分求解，則可先求得時(shí)間解 ， ，然后消去變量 t 求得相軌跡方程。若消去t有困難或過(guò)于煩雜，則可求得不同 t 時(shí)的x， 值，據(jù)此數(shù)值關(guān)系畫(huà)出相軌跡曲線(xiàn)。)(xgx )(tx)

9、(tx x xxxfxx)(dd,自動(dòng)控制原理13例例8-1 二階系統(tǒng)，試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。解解 系統(tǒng)方程可改寫(xiě)為用分離變量法進(jìn)行積分，求得相軌跡方程為 C為常量，由初始條件確定。設(shè)初始狀態(tài)為 ，則C = 。系統(tǒng)相軌跡為一組以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓軌跡簇。 0dd2xxxxxxC22220(,0)x0 x自動(dòng)控制原理143.繪制相平面圖的圖解法繪制相平面圖的圖解法等傾線(xiàn)等傾線(xiàn)Isocline法法近似。近似。的相軌跡切線(xiàn)來(lái)的相軌跡切線(xiàn)來(lái)的相軌跡便可用過(guò)這點(diǎn)的相軌跡便可用過(guò)這點(diǎn)率，則該點(diǎn)附近率，則該點(diǎn)附近中任意一點(diǎn)相軌跡的斜中任意一點(diǎn)相軌跡的斜法確定出相平面法確定出相平面如果我們能用簡(jiǎn)便的方如果我

10、們能用簡(jiǎn)便的方采用直線(xiàn)近似。采用直線(xiàn)近似。等傾線(xiàn)法：基本思想是等傾線(xiàn)法：基本思想是 , xxxfdxxd設(shè)系統(tǒng)的微分方程為相平面上相軌跡的斜率等傾線(xiàn)方程相應(yīng)的等傾線(xiàn)。值，則在相平面上畫(huà)出線(xiàn)。給定不同的稱(chēng)為相軌跡的等傾的點(diǎn)連成一線(xiàn)，則此線(xiàn)率。若將這些具有相同斜的斜率都等于它們的相軌跡滿(mǎn)足該式的各點(diǎn)，經(jīng)過(guò) , xxxf若取斜率為常數(shù)，則有isoclines equation自動(dòng)控制原理15跡的一般步驟：利用等傾線(xiàn)法繪制相軌 , 1求系統(tǒng)的等傾線(xiàn)方程；首先根據(jù)xxxf 2；面上畫(huà)出等傾線(xiàn)分布圖根據(jù)等傾線(xiàn)方程在相平 制出整個(gè)相軌跡曲線(xiàn)。此繼續(xù)做下去，就可繪如一段相軌跡的起始點(diǎn)。傾線(xiàn)的交點(diǎn)，就是畫(huà)下等值

11、。這條直線(xiàn)段與相鄰兩條等傾線(xiàn)斜率的平均鄰。該直線(xiàn)段的斜率為相條等傾線(xiàn)之間的相軌跡一地用直線(xiàn)段畫(huà)出到相鄰件確定的點(diǎn)出發(fā)，近似相軌跡。即從由初始條利用等傾線(xiàn)分布圖繪制3自動(dòng)控制原理16等傾線(xiàn)方程畫(huà)相軌跡 02 2xxxnn xxdxxdxnn22 即：xxnn2 2有xxxnn22 : 解xxxdxxdnn22 xxn11 1 , 5 . 0則有：時(shí)當(dāng)：自動(dòng)控制原理17當(dāng)?shù)葍A線(xiàn)為直線(xiàn)時(shí)，應(yīng)用等傾線(xiàn)畫(huà)相平面圖是很方便的。xxxxxxxxxx21 -3 -20 10 21 1 0 x xxx11 由由xx xx21 0 x xx xx21 自動(dòng)控制原理183.繪制相平面圖的圖解法繪制相平面圖的圖解法等

12、傾線(xiàn)等傾線(xiàn)Isocline法法例例8-2 試用等傾線(xiàn)法求下列方程的相平面圖。解解 非線(xiàn)性微分方程,可分解為兩個(gè)線(xiàn)性微分方程 ， , , 。相平面圖對(duì)稱(chēng)于x軸，只需繪制上半平面的相軌跡,再用對(duì)稱(chēng)性確定下半平面的相軌跡。 等傾線(xiàn)方程： 0 xxax| 0 xaxx0 xaxx0 x 0 x ,| |f x xa xx() ,f x xf xx()()xxa 1自動(dòng)控制原理19在任何非零初始條件下，系統(tǒng)將沿相軌跡作周期運(yùn)動(dòng)。求得等傾線(xiàn)如圖所示，畫(huà)出等傾線(xiàn)上的平行短線(xiàn),作為相軌跡線(xiàn)段的近似。適當(dāng)配置短線(xiàn)并把它們連成曲線(xiàn)即相軌跡曲線(xiàn)，如圖虛線(xiàn)所示。自動(dòng)控制原理208.3.3奇點(diǎn)奇點(diǎn)singularity

13、 和極限環(huán)和極限環(huán)Limit circle 1.奇點(diǎn)奇點(diǎn) 對(duì)于二階系統(tǒng) 相軌跡的斜率可表示為 在奇點(diǎn)處，相軌跡的斜率不確定，即同時(shí)滿(mǎn)足 如果把相變量x視為位移，于是 和 可以理解為速度和加速度。在奇點(diǎn)處，由于系統(tǒng)的速度和加速度均為零，因此奇點(diǎn)就是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)equilibrium point 。0)(xxfx ,xxxfxx)(dd,0)(0 xxfx,x x 自動(dòng)控制原理21系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類(lèi)系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類(lèi)中心點(diǎn)中心點(diǎn)vortex or center鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)saddle point節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)node焦點(diǎn)焦點(diǎn)focus自動(dòng)控制原理22j j0 0j j0 0j j0 0節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) node穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定

14、焦點(diǎn)stable focus中心點(diǎn)中心點(diǎn)center不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)unstable node不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)unstable focus鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)saddlepoint 1j0 2j021j j0 01 12 2自動(dòng)控制原理232極限環(huán)極限環(huán) 稱(chēng)為極限環(huán)。跡，這樣的相軌跡曲線(xiàn)發(fā)散于這個(gè)封閉的相軌軌跡都趨向或相軌跡，而其附近的相相平面圖上孤立的封閉 趨向于該環(huán)。趨向于該環(huán)。極限環(huán)附近的相軌跡都極限環(huán)附近的相軌跡都穩(wěn)定極限環(huán)。穩(wěn)定極限環(huán)。 1xx 0值的穩(wěn)定振蕩狀態(tài)。值的穩(wěn)定振蕩狀態(tài)。系統(tǒng)具有固定周期和幅系統(tǒng)具有固定周期和幅穩(wěn)定極限環(huán)把相平面劃分成兩個(gè)區(qū)域。內(nèi)部的相軌跡隨時(shí)間的增加是發(fā)散的

15、，故為不穩(wěn)定區(qū)；而外部的相軌跡隨時(shí)間的增加收斂于這個(gè)極限環(huán)，故為穩(wěn)定區(qū)。 設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量減小這種極限環(huán)，以滿(mǎn)足對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求。stable limit circle自動(dòng)控制原理24xx 0 極限環(huán)發(fā)散。極限環(huán)發(fā)散。極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡從極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡從不穩(wěn)定極限環(huán)。不穩(wěn)定極限環(huán)。 2條件有關(guān)，條件有關(guān)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與初始系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與初始若初始條件在環(huán)內(nèi)，則系統(tǒng)狀態(tài)將趨于平衡點(diǎn)。反之，系統(tǒng)狀態(tài)將遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。所以具有不穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)小范圍是穩(wěn)定的，大范圍是不穩(wěn)定的。 設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量增大極限環(huán)。unstable limit circle自動(dòng)控制原理25xx 0 另一側(cè)趨向于極

16、限環(huán)。另一側(cè)趨向于極限環(huán)。側(cè)離開(kāi)極限環(huán)，側(cè)離開(kāi)極限環(huán)，兩側(cè)的相軌跡，其中一兩側(cè)的相軌跡，其中一半穩(wěn)定極限環(huán)。半穩(wěn)定極限環(huán)。 3被極限環(huán)劃分的兩區(qū)域都不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)將具有振蕩發(fā)散狀態(tài)。xx 0兩區(qū)域都穩(wěn)定，因此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最終將趨于環(huán)內(nèi)平衡點(diǎn)，不會(huì)產(chǎn)生自振蕩。semi-stable limit circle自動(dòng)控制原理26試分析穩(wěn)定性。例 025 . 0 3-8 2xxxx x x-2 00025 . 0 2 xxxxdxxd則：則： 02 00 xxxx奇點(diǎn)位置：奇點(diǎn)位置： 025 . 0 2xxxdxxdx解： 0025 . 0 :2xxxx有自動(dòng)控制原理27穩(wěn)定焦點(diǎn)解得：其中：很小，系

17、統(tǒng)可近似為和附近，在原式 10 25 . 02 025 . 0 00 025 . 0 22nnxxxxxxxxx x x-2 0自動(dòng)控制原理28 044425 . 0 2xxxxxxx很小和 02225 . 0 2 02-2xxxxxx附近，令：，在忽略 025 . 0 2xxxx 原式奇點(diǎn)類(lèi)型為鞍點(diǎn)異號(hào)和：系統(tǒng)可近似為 ,025 . 0 xxxxx自動(dòng)控制原理29將相平面分成了兩個(gè)不同的區(qū)域。故稱(chēng)分隔線(xiàn)x x-2 0非線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和性能與初始條件有關(guān)自動(dòng)控制原理30 利用等傾線(xiàn)法可求得相平面圖。可以看到通過(guò)鞍點(diǎn)的一條分界線(xiàn)，把相平面分為兩個(gè)區(qū)域。在陰影區(qū)域內(nèi)，所有相軌跡都收斂于穩(wěn)定焦點(diǎn)

18、(0，0)，是穩(wěn)定區(qū)域。在此范圍外，則所有相軌跡都將趨于無(wú)窮，是不穩(wěn)定區(qū)域。這證實(shí)了非線(xiàn)性系統(tǒng)的重要特點(diǎn)：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。 自動(dòng)控制原理318.3.4 相平面分析舉例相平面分析舉例一般步驟： 1數(shù)學(xué)表達(dá)式。線(xiàn)性化，并寫(xiě)出相應(yīng)的首先將非線(xiàn)性特性分段 成若干個(gè)線(xiàn)性區(qū)域。根據(jù)非線(xiàn)性特性劃分更方便），并將相平面斜坡輸入時(shí)，取但當(dāng)系統(tǒng)有階躍或坐標(biāo)（一般取在相平面上選擇合適的eecc ,2 。程繪制各區(qū)域的相軌跡根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方3 的運(yùn)動(dòng)特性。，即可判斷系統(tǒng)面圖，根據(jù)該相平面圖整個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)的相平起來(lái)，便得到在區(qū)域的邊界適當(dāng)連接把相鄰區(qū)域中的相軌跡4自動(dòng)控制原理32 1 TssKM-rca

19、1 key -aeMaeMae ey 式式非線(xiàn)性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)非線(xiàn)性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)KyccT 線(xiàn)性部分的微分方程線(xiàn)性部分的微分方程rrTKyeeTecr ,又可寫(xiě)成：又可寫(xiě)成：考慮到考慮到 0 00,1 KyeeTrrtttr 時(shí)，時(shí)，在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)。用相平面法分析系統(tǒng)的用相平面法分析系統(tǒng)的例自動(dòng)控制原理33ee 0aa :域域系系統(tǒng)統(tǒng)可可分分為為三三個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性區(qū)區(qū) -aeMaeMae ey 根據(jù)已知的非線(xiàn)性特性根據(jù)已知的非線(xiàn)性特性0 KyeeT 由由aeKeeeTI 0 區(qū)：aeKMeeTII 0 區(qū)：aeKMeeTIII 0 區(qū)：自動(dòng)控制原理34 aeKeeeTI 0 區(qū)

20、區(qū)：0 KeedeedeT 0 0 eTKeedeed 00 ee 奇點(diǎn)位置奇點(diǎn)位置 01 eTKeTe TKTnn 2 12 知知與標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對(duì)比可與標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對(duì)比可TK21 解得解得點(diǎn)點(diǎn)。時(shí)時(shí)，奇奇點(diǎn)點(diǎn)類(lèi)類(lèi)型型為為穩(wěn)穩(wěn)定定焦焦當(dāng)當(dāng)1 ee 0aa 自動(dòng)控制原理35aeKMeeTII 0 區(qū)： ,0,000eeee設(shè)初始條件為 KMtTeKMeTKMeeteTt000 則微分方程的解為： KMeKMeteTt0 求一階導(dǎo)數(shù)： KMteKMe 0時(shí)，故當(dāng)初始條件KMeKMeKMTTeeeeKMe0000ln 時(shí)，相軌跡方程為當(dāng)ee 0aa KM 自動(dòng)控制原理36ee 0aa KM aeKM

21、eeTIII 0 區(qū)： ln 00000KMeKMeKMeKMTTeeeeKMeKMeIIIKMII區(qū)相軌跡方程改變符號(hào)，即得區(qū)相軌跡方程中將KM自動(dòng)控制原理37ee 0aa KM KMee 0aa KM KM相平面圖。接起來(lái)，便是系統(tǒng)整個(gè)將以上各區(qū)的相軌跡連 此直線(xiàn)稱(chēng)為開(kāi)關(guān)線(xiàn)。，處，相軌跡發(fā)生了轉(zhuǎn)換和由圖，在直線(xiàn)-aeae 為：。此時(shí)系統(tǒng)的相平面圖，相軌跡的起點(diǎn)應(yīng)為時(shí)，狀態(tài)，在階躍輸入作用假使系統(tǒng)原來(lái)處于靜止000 eRe可由相平面圖上量得。性質(zhì)，動(dòng)態(tài)過(guò)程具有衰減振蕩，其輸入作用時(shí)是穩(wěn)定的，由圖可知，系統(tǒng)在階躍%0 pssMe 0 ,R 0 ,R自動(dòng)控制原理388.4描述函數(shù)分析法描述函數(shù)分

22、析法 相平面法不適用于高于二階的系統(tǒng)，需要討論相平面法不適用于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)量空間中的曲面結(jié)構(gòu)。描述函數(shù)法是一種。描述函數(shù)法是一種近似方法近似方法，相，相當(dāng)于線(xiàn)性理論中當(dāng)于線(xiàn)性理論中頻率法的推廣頻率法的推廣。描述函數(shù)法。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階不受系統(tǒng)階次的限制次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故在非線(xiàn)性系，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故在非線(xiàn)性系統(tǒng)分析中得到了廣泛的應(yīng)用。統(tǒng)分析中得到了廣泛的應(yīng)用。8.4.1 描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念8.4.2 典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)8.4.3 用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系

23、統(tǒng)自動(dòng)控制原理39描述函數(shù)法的基本原理描述函數(shù)法的基本原理：當(dāng)系統(tǒng)滿(mǎn)足一定條件時(shí)，系統(tǒng)中非線(xiàn)性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，表達(dá)形式上類(lèi)似于線(xiàn)性理論中的幅相頻率特性。理想繼電特性在正弦輸入時(shí)的輸出波形 8.4.1描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念 0 tr tc sG-Nyx1. 諧波線(xiàn)性化諧波線(xiàn)性化 系統(tǒng)中常見(jiàn)的非線(xiàn)性特性，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出一般為同周期的非正弦函數(shù)。 對(duì)理想繼電特性加以正弦輸入號(hào)，則輸出y(t)為與輸入同周期的方波。自動(dòng)控制原理40設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)描述為 非正弦周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)表示的一般形式：sinsins

24、insin nMMy ttttntn041141( )(35)(21)3521y t ( ),( )sin,x tAt非線(xiàn)性特性的輸入信號(hào)為cossinsin nnnnnnAAy tAn tBn tYn t0011( )()22cos , nAy tn ttn201( )d()0, 1,2sin , nBy tn ttn201( )d()1,2,3理想繼電器輸出信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)形式：式中 ; arctannnnnnnAYABB22 若非線(xiàn)性特性具有奇對(duì)稱(chēng)特性，則A0=0，如果略去輸出高次諧波分量，僅以基礎(chǔ)波分量近似地代替整個(gè)輸出，則有1cossinsiny tAtBtYt111( )自動(dòng)控制原理

25、41式中cosAy ttt2101( )d()sinBy ttt2101( )d() ; arctanAYABB221111112描述函數(shù)描述函數(shù) 諧波線(xiàn)性化后，參照幅相頻率特性的定義，建立非線(xiàn)性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。把非線(xiàn)性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號(hào)x(t)的復(fù)數(shù)比，稱(chēng)為非線(xiàn)性元件的描述函數(shù)：BjAYN AAA1111( ) A為非線(xiàn)性元件正弦輸入信號(hào)的振幅 11Y 為非線(xiàn)性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量的振幅； 為非線(xiàn)性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量的相位移。1cossinsiny tAtBtYt111( )自動(dòng)控制原理42xy00t x 2yt 201、理想繼電

26、器特性 時(shí)，時(shí)，當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為tAtx sin 010 AA奇函數(shù)MM MM MttdMttdtyB4 sin2 sin10201 tM ty sin41 AMAYAN 4 11 的函數(shù)。的函數(shù)。，幅值是輸入幅值，幅值是輸入幅值的的即即AAN0 1 8.4.2典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)自動(dòng)控制原理43xy00t x 2yt 202、飽和特性 時(shí)，時(shí)，時(shí)，且時(shí)，且當(dāng)輸入為當(dāng)輸入為aAtAtx sin010 AA奇函數(shù)1 1 ak 22202011arcsin2 sinsin4 sin111AaAaAakAttdkattdkAttdtyB Aaarcsin1 aAAaAaA

27、akABAN 1arcsin2 21 。時(shí)，比例系數(shù)總小于時(shí)，比例系數(shù)總小于當(dāng)當(dāng)系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，飽和特性等效于一個(gè)變飽和特性等效于一個(gè)變的函數(shù)。的函數(shù)。也是輸入幅值也是輸入幅值飽和特性的飽和特性的即即kaAAAN 自動(dòng)控制原理44（2）非線(xiàn)性環(huán)節(jié)輸入輸出特性y(x)應(yīng)是x的奇函數(shù)8.4.3用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)1.描述函數(shù)法的應(yīng)用條件描述函數(shù)法的應(yīng)用條件（1）非線(xiàn)性系統(tǒng)能簡(jiǎn)化成一個(gè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)和一個(gè)線(xiàn)性部分且閉環(huán)串聯(lián)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，其中G(s)代表系統(tǒng)的線(xiàn)性部分。)()(xfxf以保證非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含常值分量00A（3）系統(tǒng)的線(xiàn)性部分應(yīng)具

28、有較好的低通濾波性能。當(dāng)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)時(shí)，實(shí)際輸出必定含有高次諧波分量，但經(jīng)線(xiàn)性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，從而保證描述函數(shù)法所分析的結(jié)果比較準(zhǔn)確。 0 tr tc sG-Nyx自動(dòng)控制原理45 jHjGANjGANjRjCj1 01 jHjGAN為而系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 0 tr tc sG- AN sH ty tx非線(xiàn)性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)諧波線(xiàn)性化后變成一個(gè)等效的線(xiàn)性系統(tǒng)，可以應(yīng)用線(xiàn)性系統(tǒng)理論中的頻域穩(wěn)定判據(jù)來(lái)分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2. 非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 自動(dòng)控制原理46n非線(xiàn)性系統(tǒng)n線(xiàn)性系統(tǒng) ANjHjGjHjGAN101 101jHjGjHjG 穩(wěn)定判據(jù)。再利用曲線(xiàn)，點(diǎn)擴(kuò)展為非線(xiàn)性系統(tǒng)，可看作將線(xiàn)性系統(tǒng)NyquistANj10100 AN1 0 jG jG jG AN1 AN1 自振蕩穩(wěn)定不穩(wěn)定1M2MReciprocal of negative describing functionThe system have periodic oscillation.Unstable regionStable region自動(dòng)控制原理47 ANjHjGjHjGAN101 101jHjGjHjG自動(dòng)控制原理483描述函數(shù)分析舉例描述函數(shù)分析舉例 2110