線性代數(shù)復(fù)習(xí)綱要(囊括了所有的知識點(diǎn))(免費(fèi)文檔)

1、 線性代數(shù)基本知識復(fù)習(xí)目錄 第一講 基本概念 線性方程組 矩陣與向量 初等變換和階梯形矩陣 線性方程組的矩陣消元法第二講 行列式 完全展開式 化零降階法 其它性質(zhì) 克萊姆法則第三講 矩陣 乘法 乘積矩陣的列向量和行向量 矩陣分解 矩陣方程 逆矩陣 伴隨矩陣第四講 向量組 線性表示 向量組的線性相關(guān)性 向量組的極大無關(guān)組和秩 矩陣的秩第五講 方程組 解的性質(zhì) 解的情況的判別 基礎(chǔ)解系和通解第六講 特征向量與特征值 相似與對角化 特征向量與特征值概念,計(jì)算與應(yīng)用 相似 對角化判斷與實(shí)現(xiàn)附錄一 內(nèi)積 正交矩陣 施密特正交化 實(shí)對稱矩陣的對角化第七講 二次型 二次型及其矩陣 可逆線性變量替換 實(shí)對稱矩

2、陣的合同 標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化 慣性指數(shù) 正定二次型與正定矩陣附錄二 向量空間及其子空間附錄三 兩個線性方程組的解集的關(guān)系附錄四 06,07年考題第一講 基本概念 1線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為: a11x1+a12x2+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+a2nxn=b2, am1x1+am2x2+amnxn=bm,其中未知數(shù)的個數(shù)n和方程式的個數(shù)m不必相等. 線性方程組的解是一個n維向量(k1,k2, ,kn)(稱為解向量),它滿足:當(dāng)每個方程中的未知數(shù)xi都用ki替代時都成為等式. 線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.對線性方程組討論的主要問題兩個:(1)

3、判斷解的情況.(2)求解,特別是在有無窮多接時求通解.b1=b2=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.n維零向量總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數(shù)項(xiàng)都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡稱導(dǎo)出組.2.矩陣和向量 (1)基本概念 矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.由m´n個數(shù)排列成的一個m行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一個m´n型矩陣.例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2

4、9 3 3 3 -1 8是一個4´5矩陣.對于上面的線性方程組,稱矩陣 a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 A= a21 a22 a2n 和(A|b)= a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn am1 am2 amn bm為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣. 增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息,而齊次方程組只用系數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息. 一個矩陣中的數(shù)稱為它的元素,位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素.元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.兩個矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等,列數(shù)也相等(即它們的類型相同),并且對應(yīng)的元素都相等.由n個數(shù)構(gòu)成的有

5、序數(shù)組稱為一個n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼ ,an的向量可表示成 a1 (a1,a2,¼ ,an)或 a2 , an 請注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1´n矩陣,右邊是n´1矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.(請注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別.)一個m´n的矩陣的每一行是一個n維向量,稱為它的行向量; 每一列是一個m維向量, 稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當(dāng)矩陣A的列向量組為a1, a2,¼ ,

6、an時(它們都是表示為列的形式!)可記A=(a1, a2,¼ ,an).矩陣的許多概念也可對向量來規(guī)定,如元素全為0的向量稱為零向量,通常也記作0.兩個向量a和b相等(記作a=b),是指它的維數(shù)相等,并且對應(yīng)的分量都相等.(2) 線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的,下面以矩陣為例來說明.加(減)法:兩個m´n的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是m´n矩陣,記作A+B (A-B),法則為對應(yīng)元素相加(減).數(shù)乘: 一個m´n的矩陣A與一個數(shù)c可以相乘,乘積仍為m´n的矩陣,記作cA,法則為A的每個元素乘c.這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)

7、算,它們滿足以下規(guī)律: 加法交換律: A+B=B+A. 加法結(jié)合律: (A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 數(shù)乘結(jié)合律: c(d)A=(cd)A. cA=0Û c=0 或A=0.轉(zhuǎn)置:把一個m´n的矩陣A行和列互換,得到的n´m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作A T(或A¢).有以下規(guī)律: (AT)T= A. (A+B)T=AT+BT. (cA)T=cAT. 轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算,如把轉(zhuǎn)置的符號用在向量上,就意味著把這個向量看作矩陣了.當(dāng)a是列向量時, a T表示行向量, 當(dāng)a是行向量時,a T表

8、示列向量.向量組的線性組合:設(shè)a1, a2,as是一組n維向量, c1,c2,cs是一組數(shù),則稱 c1a1+c2a2+csas為a1, a2,as的(以c1,c2,cs為系數(shù)的)線性組合. n維向量組的線性組合也是n維向量. (3) n階矩陣與幾個特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣,行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線.(其上的元素行號與列號相等.)下面列出幾類常用的n階矩陣,它們都是考試大綱中要求掌握的.對角矩陣: 對角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣: 對角線上的的元素都為1的對角矩陣,記作E(或I).數(shù)量矩陣: 對角線上的的元素都等于

9、一個常數(shù)c的對角矩陣,它就是cE.上三角矩陣: 對角線下的的元素都為0的n階矩陣.下三角矩陣: 對角線上的的元素都為0的n階矩陣.對稱矩陣:滿足AT=A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.(反對稱矩陣:滿足AT=-A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣. 反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0.) 3. 矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換: 交換兩行的位置. 用一個非0的常數(shù)乘某一行的各元素. 把某一行的倍數(shù)加到另一行上.(稱這類變換為倍加變換)類似地, 矩陣還有三種初等列變換,大家

10、可以模仿著寫出它們,這里省略了. 初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換.階梯形矩陣:一個矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足: 如果它有零行,則都出現(xiàn)在下面. 如果它有非零行,則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增.把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0元素所在的位置稱為臺角.簡單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,特點(diǎn)為:臺角位置的元素為1.并且其正上方的元素都為0.每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣.這種運(yùn)算是在線性代數(shù)的各類計(jì)算題中頻繁運(yùn)用的基本運(yùn)算,必須十分熟練.請注意: 1.一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的,但是其非零行數(shù)和臺角位置是確定的.

11、2. 一個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.4. 線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學(xué)課程中的消元法:用同解變換把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組).線性方程組的同解變換有三種: 交換兩個方程的上下位置. 用一個非0的常數(shù)乘某個方程. 把某個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.線性方程組求解的基本方法是消元法,用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進(jìn)行,稱為矩陣消元法. 對非齊次線性方程組步驟如下: (1)寫出方程組的增廣矩陣(A|b),用初等行變換把它化為階梯形矩陣(B|g). (2)用(B|g)判別解的情況:如果最下面的非零

12、行為(0,0, ¼,0|d),則無解,否則有解.有解時看非零行數(shù)r(r不會大于未知數(shù)個數(shù)n),r=n時唯一解；r<n時無窮多解.(推論:當(dāng)方程的個數(shù)m<n時,不可能唯一解.)(3)有唯一解時求解的初等變換法:去掉(B|g)的零行,得到一個n×(n+1)矩陣(B0|g0),并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣(E|h),則h就是解. 對齊次線性方程組:(1)寫出方程組的系數(shù)矩陣A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B. (2)用B判別解的情況:非零行數(shù)r=n時只有零解；r<n時有非零解(求解方法在第五章講). (推論:當(dāng)方程的個數(shù)m<n時,有非零解.)討論

13、題1.設(shè)A是n階矩陣,則(A) A是上三角矩陣ÞA是階梯形矩陣. (B) A是上三角矩陣ÜA是階梯形矩陣. (C) A是上三角矩陣ÛA是階梯形矩陣. (D) A是上三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有直接的因果關(guān)系.2.下列命題中哪幾個成立?(1) 如果A是階梯形矩陣,則A去掉任何一行還是是階梯形矩陣.(2) 如果A是階梯形矩陣,則A去掉任何一列還是是階梯形矩陣.(3) 如果(A|B)是階梯形矩陣,則A也是階梯形矩陣.(4) 如果(A|B)是階梯形矩陣,則B也是階梯形矩陣.(5) 如果 A 是階梯形矩陣,則A和B都是階梯形矩陣.B第二講 行列式一.概念復(fù)習(xí)1. 形式和意義

14、形式:用n2個數(shù)排列成的一個n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個n階行列式: a11 a12 a1na21 a22 a2n .an1 an2 ann如果行列式的列向量組為a1, a2, ,an,則此行列式可表示為|a1, a2, ,an|.意義:是一個算式,把這n2個元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算,得到的數(shù)值稱為這個行列式的值.請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.當(dāng)兩個行列式的值相等時,就可以在它們之間寫等號! (不必形式一樣,甚至階數(shù)可不同.)每個n階矩陣A對應(yīng)一個n階行列式,記作|A|.行列式這一講的的核心問題是值的計(jì)算,以及判斷一個行列式的值是否為0.2. 定義(完全展開式)2階和

15、3階行列式的計(jì)算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32-a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一個n階行列式 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann的值是許多項(xiàng)的代數(shù)和,每一項(xiàng)都是取自不同行,不同列的n個元素的乘積,其一般形式為:,這里把相乘的n個元素按照行標(biāo)的大小順序排列,它們的列標(biāo)j1j2jn構(gòu)成1,2, ,n的一個全排列(稱為一個n元排列),共有n!個n元排

16、列,每個n元排列對應(yīng)一項(xiàng),因此共有n!個項(xiàng).所謂代數(shù)和是在求總和時每項(xiàng)先要乘+1或-1.規(guī)定t(j1j2jn)為全排列j1j2jn的逆序數(shù)(意義見下面),則項(xiàng)所乘的是全排列的逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個數(shù).逆序數(shù)可如下計(jì)算:標(biāo)出每個數(shù)右面比它小的數(shù)的個數(shù),它們的和就是逆序數(shù).例如求436512的逆序數(shù): , t(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我們可以寫出n階行列式的值: a11 a12 a1na21 a22 a2n = an1 an2 ann 這里表示對所有n元排列求和.稱此式為n階行列式的完全展開式.用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為

17、0,使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0時,才可能用它作行列式的計(jì)算.例如對角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主對角線上的元素的乘積,因?yàn)槠渌?xiàng)都為0.2. 化零降階法把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式稱為(i,j)位元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=(-1)i+jMij為元素aij的代數(shù)余子式.定理(對某一行或列的展開)行列式的值等于該行(列)的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.命題 第三類初等變換(倍加變換)不改變行列式的值.化零降階法 用命題把行列式的某一行或列化到只有一個元素不為0,再用定理.于是化為計(jì)算一個低1階的行列式.化零降階法是實(shí)際計(jì)算行列式的主要方法,因此應(yīng)該熟

18、練掌握.3.其它性質(zhì)行列式還有以下性質(zhì): 把行列式轉(zhuǎn)置值不變,即|AT|=|A| . 某一行(列)的公因子可提出.于是, |cA|=cn|A|. 對一行或一列可分解,即如果某個行(列)向量a=b+g ,則原行列式等于兩個行列式之和,這兩個行列式分別是把原行列式的該行(列)向量a換為b或g 所得到的行列式.例如|a,b1+b2,g |=|a,b1,g |+|a,b2,g |. 把兩個行(列)向量交換, 行列式的值變號. 如果一個行(列)向量是另一個行(列)向量的倍數(shù),則行列式的值為0. 某一行(列)的各元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0. 如果A與B都是方陣(不必同階),則 A

19、 * = A O =|A|B|. O B * B范德蒙行列式：形如 1 1 1 1 a1 a2 a3 an a12 a22 a32 an2 a1n-i a2n-i a3n-i ann-i的行列式(或其轉(zhuǎn)置).它由a1,a2 ,a3,an所決定,它的值等于 因此范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,an兩兩不同. 對于元素有規(guī)律的行列式(包括n階行列式),常?？衫眯再|(zhì)簡化計(jì)算,例如直接化為三角行列式等. 4.克萊姆法則克萊姆法則 應(yīng)用在線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)n (即系數(shù)矩陣為n階矩陣)的情形.此時,如果它的系數(shù)矩陣的行列式的值不等于0,則方程組有唯一解,這個解為(D

20、1/D, D2/D,¼,Dn/D),這里D是系數(shù)行列式的值, Di是把系數(shù)行列式的第i個列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值.說明與改進(jìn):按法則給的公式求解計(jì)算量太大，沒有實(shí)用價值.因此法則的主要意義在理論上,用在對解的唯一性的判斷,而在這方面法則不夠. 法則的改進(jìn):系數(shù)行列式不等于0是唯一解的充分必要條件.實(shí)際上求解可用初等變換法:對增廣矩陣(A|b)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃? (A|b)®(E|h),h就是解. 用在齊次方程組上 :如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有零解的充分必要條件是|A|¹0.二. 典型例題1.利用性質(zhì)計(jì)算元素有規(guī)律的行列

21、式例1 2 a a a a 1+x 1 1 1 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 . a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a a a a a 2 例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4 例3 1+x1 1 1 1 1 1+x2 1 1 . 1 1 1+x3 1 1 1 1 1+x4 例4 a 0 b c 0 a c b . b c a 0 c b 0 a 例5 1-a a 0 0 0 -1 1-a a

22、0 0 0 -1 1-a a 0 . (96四) 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a 2. 測試概念與性質(zhì)的題例6 x3-3 1 -3 2x+2多項(xiàng)式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次數(shù)和最高次項(xiàng)的系數(shù). X+3 -1 3 3x2-2 9 x3 6 -6 例7 求 x-3 a -1 4 f(x)= 5 x-8 0 2 的x4和x3的系數(shù).0 b x+1 12 2 1 x例8 設(shè)4階矩陣A=(a, g1, g2 ,g3),B=(b, g1, g2 ,g3),|A| =2, |B|=3 ,求|A+B| . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代

23、數(shù)余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.幾個n階行列式兩類爪形行列式及其值: 例11 a1 a2 a3 an-1 an b1 c2 0 0 0 證明 0 b2 c3 0 0 =. 0 0 0 bn-1 cn 提示: 只用對第1行展開(M1i都可直接求出). 例12 a0 a1 a2 an-1 an b1 c1 0 0 0證明 b2 0 c2 0 0 =. bn 0 0 0 cn 提示:

24、 只用對第1行展開(M1i都可直接求出). 另一個常見的n階行列式:例13 證明 a+b b 0 0 0 a a+b b 0 0 = (當(dāng)a¹b時). 0 0 0 a+b b 0 0 0 a a+b 提示:把第j列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,n),再對第1列(行)展開.4.關(guān)于克萊姆法則的題例14 設(shè)有方程組 x1+x2+x3=a+b+c, ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c兩兩不等.(2)在此情況求解.參考答案例1 (2+4a)(2-a)4. x3(x+4).

25、 a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c.第三講 矩陣一概念復(fù)習(xí)1. 矩陣乘法的定義和性質(zhì)定義2.1 當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時,和A和B可以相乘,乘積記作AB. AB的行數(shù)和A相等,列數(shù)和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i個行向量和B的第j個列向量(維數(shù)相同)對應(yīng)分量乘積之和.

26、設(shè) a11 a12 a1n b11 b12 b1s c11 c12 c1s A= a21 a22 a2n B= b21 b22 b2s C=AB= c21 c22 c2s am1 am2 amn , bn1 bn2 bns , cm1 cm2 cms ,則cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj.矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同: 矩陣乘法有條件. 矩陣乘法無交換律. 矩陣乘法無消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A¹0推不出B=C.(無左消去律)由BA=CA和A¹0推不出B=C. (無右消去律)請注意不要犯一種常見的錯誤:把數(shù)的乘法的性

27、質(zhì)簡單地搬用到矩陣乘法中來. 矩陣乘法適合以下法則: 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC. 數(shù)乘性質(zhì) (cA)B=c(AB). 結(jié)合律 (AB)C= A(BC). (AB)T=B TA T.2. n階矩陣的方冪和多項(xiàng)式任何兩個n階矩陣A和B都可以相乘,乘積AB仍是n階矩陣.并且有行列式性質(zhì): |AB|=|A|B|.如果AB=BA,則說A和B可交換.方冪 設(shè)k是正整數(shù), n階矩陣A的k次方冪A k即k個A的連乘積.規(guī)定A 0=E .顯然A 的任何兩個方冪都是可交換的,并且方冪運(yùn)算符合指數(shù)法則: A kA h= A k+h. (A k)h= A kh.但是一般地(A

28、B)k和A kB k不一定相等! n階矩陣的多項(xiàng)式 設(shè)f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,對n階矩陣A規(guī)定f(A)=amA m+am-1A m-1+ a1A +a0E.稱為A的一個多項(xiàng)式.請?zhí)貏e注意在常數(shù)項(xiàng)上加單位矩陣E.乘法公式 一般地,由于交換性的障礙,小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對于n階矩陣的不再成立.但是如果公式中所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是乘法交換的,則乘法公式成立.例如當(dāng)A和B可交換時,有:(A±B)2=A2±2AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二項(xiàng)展開式成立: 等等.前面兩式成立還是A和B可交換的充分必要條件.

29、 同一個n階矩陣的兩個多項(xiàng)式總是可交換的. 一個n階矩陣的多項(xiàng)式可以因式分解.3. 分塊法則 矩陣乘法的分塊法則是簡化矩陣乘法的一種方法.對兩個可以相乘的矩陣A和B,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣(一切A的縱向切割和B的橫向切割一致!),再用它們來作乘法.(1)兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求Aij的列數(shù)Bjk和的行數(shù)相等.準(zhǔn)對角矩陣的乘法:形如 A1 0 0 A= 0 A2 0 0 0 An的矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣,其中

30、A1,A2,Ak都是方陣.兩個準(zhǔn)對角矩陣 A1 0 0 B1 0 0A= 0 A2 0 , B= 0 B2 0 0 0 Ak 0 0 Bk如果類型相同,即Ai和Bi階數(shù)相等,則 A1B1 0 0 AB = 0 A2B2 0 . 0 0 AkBk (2)乘積矩陣的列向量組和行向量組設(shè)A是m´n矩陣B是n´s矩陣. A的列向量組為a1,a2,an,B的列向量組為b1, b2,bs, AB的列向量組為g1, g2,gs,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形): AB的每個列向量為:gi=Abi,i=1,2,s.即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs

31、). b=(b1,b2,bn)T,則Ab= b1a1+b2a2+bnan.應(yīng)用這兩個性質(zhì)可以得到:如果bi=(b1i,b2i,bni)T,則 gi=AbI=b1ia1+b2ia2+bnian.即:乘積矩陣AB的第i個列向量gi是A的列向量組a1, a2,an的線性組合,組合系數(shù)就是B的第i個列向量bi的各分量.類似地, 乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個行向量的各分量.以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào),但只要對矩陣乘法稍加分析就不難得出.它們無論在理論上和計(jì)算中都是很有用的.(1) 當(dāng)兩個矩陣中,有一個的數(shù)字很簡單時,直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個列向量

32、或行向量,從而提高了計(jì)算的速度.(2) 利用以上規(guī)律容易得到下面幾個簡單推論:用對角矩陣L從左側(cè)乘一個矩陣,相當(dāng)于用L的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量; 用對角矩陣L從右側(cè)乘一個矩陣,相當(dāng)于用L的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量.數(shù)量矩陣kE乘一個矩陣相當(dāng)于用k乘此矩陣；單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣.兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘. 求對角矩陣的方冪只需把對角線上的每個元素作同次方冪.(3) 矩陣分解:當(dāng)一個矩陣C的每個列向量都是另一個A的列向量組的線性組合時,可以構(gòu)造一個矩陣B,使得C=AB. 例如設(shè)A=(a,b,g), C=(a+2b-g,3a-b+g,

33、a+2g),令 1 3 1 B= 2 -1 0 ,則C=AB. -1 1 2(4) 初等矩陣及其在乘法中的作用 對單位矩陣E作一次初等(行或列)變換,所得到的矩陣稱為初等矩陣.有三類初等矩陣:E(i,j):交換E 的i,j兩行(或列)所得到的矩陣.E(i(c):用非0數(shù)c乘E的第i行(或列)所得到的矩陣.也就是把E的對角線上的第i個元素改為c.E(i,j(c)(i¹j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩陣, 也就是把E的(i,j)位的元素改為c.命題 對矩陣作一次初等行(列)變換相當(dāng)于用一個相應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它.4. 矩陣方程和可逆矩陣

34、(伴隨矩陣)(1) 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運(yùn)算是解下面兩種基本形式的矩陣方程:(I) AX=B. (II) XA=B.這里假定A是行列式不為0的n階矩陣,在此條件下,這兩個方程的解都是存在并且唯一的.(否則解的情況比較復(fù)雜.)當(dāng)B只有一列時,(I)就是一個線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.如果B有s列,設(shè) B=(b1, b2,bs),則 X也應(yīng)該有s列,記X=(X1,X2,Xs),則有AXi=bi,i=1,2,s,這是s個線性方程組.由克萊姆法則,它們都有唯一解,從而AX=B有唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時求解,即得(I)的解法:將A和B并列作矩陣(A|B),對它作初

35、等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時B變?yōu)榻釾. (A|B)®(E|X)(II)的解法:對兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置得X. (AT|BT)®(E|XT)矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式,要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解.(2) 可逆矩陣的定義與意義定義 設(shè)A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E, BA=E,則稱A為可逆矩陣.此時B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A-1.如果A可逆,則A在乘法中有消去律: AB=0ÞB=0；AB=ACÞB=C.(左

36、消去律)； BA=0ÞB=0；BA=CAÞB=C. (右消去律)如果A可逆,則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊): AB=CÛB=A-1C. BA=CÛB=CA-1.由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:(I) AX=B的解X=A-1B . (II) XA=B的解X= BA-1.這種解法想法自然，好記憶,但是計(jì)算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算).(3) 矩陣可逆性的判別與性質(zhì) 定理 n階矩陣A可逆Û|A|¹0.證明 “Þ”對AA-1=E兩邊取行列式,得|A|A-1|=1,從而|A|¹0. (并且|A-

37、1|=|A|-1.)“Ü”因?yàn)閨A|¹0,矩陣方程AX=E和XA=E都有唯一解.設(shè)B,C分別是它們的解,即AB=E, CA=E. 事實(shí)上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是從定義得到A可逆.推論 如果A和B 都是n階矩陣,則AB=EÛBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,則A和B都可逆并且互為逆矩陣. 可逆矩陣有以下性質(zhì): 如果A可逆,則A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 當(dāng)c¹0時, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.對任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k

38、.(規(guī)定可逆矩陣A的負(fù)整數(shù)次方冪A-k=(Ak)-1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(請自己推廣到多個可逆矩陣乘積的情形.)初等矩陣都是可逆矩陣,并且 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c)-1=E(i(c-1), E(i,j(c)-1= E(i,j(-c).(4) 逆矩陣的計(jì)算和伴隨矩陣 計(jì)算逆矩陣的初等變換法當(dāng)A可逆時, A-1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A-1:(A|E)®(E|A-1)這個方法稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面介紹的伴隨矩陣法簡單得多. 伴隨矩陣若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i

39、,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為 A11 A21 An1 A*= A12 A22 An2 =(Aij)T. A1n A2n Amn 請注意,規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆,但是在A可逆時, A*和A-1有密切關(guān)系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是對于可逆矩陣A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通過求A*來計(jì)算A-1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計(jì)算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對于2階矩陣 a b * d -b c d = -c a ,因此當(dāng)ad-bc¹0時, a b -1 d -b

40、 c d = -c a (ad-bc) .伴隨矩陣的其它性質(zhì): 如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*. |A*|=|A|n-1. (AT)*=(A*)T. (cA)*=cn-1A*. (AB)*=B*A*；(Ak)*=(A*)k. 當(dāng)n>2時,(A*)*=|A|n-2A； n=2時,(A*)*=A.二 典型例題1.計(jì)算題例1 a=(1,-2,3) T,b =(1,-1/2,1/3)T, A=ab T,求A6.討論:(1)一般地,如果n階矩陣A=ab T,則Ak=(bTa)k-1A=(tr(A )k-1A .(2)乘法結(jié)合律的應(yīng)用:遇到形如bTa的地

41、方可把它當(dāng)作數(shù)處理. 1 -1 1aaT= -1 1 -1 ，求aTa.（2003一）1 -1 1 設(shè)a=(1,0,-1)T, A=aaT,求|aE-An|. n維向量a=(a,0,¼,0,a)T, a<0, A=E-aaT, A-1=E+a-1aa T,求a. (03三,四) n維向量a=(1/2,0,¼,0,1/2)T, A=E-aa T, B=E+2aa T,求AB. (95四) A=E-ab T,其中a,b 都是n維非零列向量,已知A2=3E-2A,求aTb. 例2(1999三) 1 0 1設(shè)A = 0 2 0 ，求An-2An-1.(n>1) 1 0

42、1例3 1 0 0 設(shè)A = 1 0 1 ，(1)證明當(dāng)n>1時An=An-2+A2-E. (2) 求An. 0 1 0 例4 設(shè)A為3階矩陣, a1,a2,a3是線性無關(guān)的3維列向量組,滿足Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.求作矩陣B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B. (2005年數(shù)學(xué)四)例5設(shè)3階矩陣A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3),求|B|.(05)例6 3維向量a1, a2, a3, b1, b2, b3滿足a1+a3+2b1-b2=0, 3a

43、1-a2+b1-b3=0, -a2+a3-b2+b3=0,已知|a1, a2, a3|=a,求| b1, b2, b3|.例7設(shè)A 是3階矩陣, a 是3維列向量,使得P=(a,Aa,A2a)可逆,并且A3a=3Aa-2A2a.又3階矩陣B滿足A=PBP-1. (1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0 例8 3階矩陣A,B滿足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一) 0 0 1例9 3 -5 1設(shè)3階矩陣A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X. -1 0 2 例10 1 1 -1設(shè)3階矩陣A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.

44、 1 -1 1 例11 4階矩陣A,B滿足ABA-1=BA-1+3E,已知 1 0 0 0 A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一) 1 0 1 0 0 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 -1例13 設(shè)a1=(5,1,-5)T, a2=(1,-3,2)T, a3=(1,-2,1)T,矩陣A滿足 Aa1=(4,3) T, Aa2=(7,-8) T, Aa3=(5,-5) T,求A.2.概念和證明題例14 設(shè)A 是n階非零實(shí)矩陣,滿足A*=AT.證明:(1)|A|>0.(2)

45、如果n>2,則 |A|=1.例15 設(shè)矩陣A=(aij)3´3滿足A*=A T,a11,a12,a13為3個相等的正數(shù),則它們?yōu)?A) .(B) 3. (C)1/3. (D) . (2005年數(shù)學(xué)三)例16 設(shè)A 和B都是n階矩陣,C= A 0 ,則C*=0 B (A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 . 0 |B|B * 0 |A|A* (C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 . 0 |B|A* 0 |A|B* 例17 設(shè)A是3階矩陣,交換A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 設(shè)A是3階可逆矩陣,交換A

46、的1,2行得B,則(A) 交換A*的1,2行得到B*.(B) 交換A*的1,2列得到B*.(C) 交換A*的1,2行得到-B*.(D) 交換A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 設(shè)A是n階可逆矩陣, 交換A的i,j行得到B.(1) 證明B可逆.(2) 求AB -1.例20 設(shè)n階矩陣A滿足A2+3A-2E=0.(1)證明A可逆,并且求A-1.(2)證明對任何整數(shù)c,A-cE可逆. 討論: 如果f(A)=0,則(1) 當(dāng)f(x)的常數(shù)項(xiàng)不等于0時,A可逆.(2) f(c)¹0時,A-cE可逆.(3) 上述兩條的逆命題不成立.例21設(shè)a是n維非零列向量,記A=E-aaT.證明(

47、1) A2=AÛaTa =1.(2) aTa =1Þ A不可逆. (96一)討論: (2)的逆命題也成立.例22 設(shè)A,B都是n階矩陣,證明 E-AB可逆Û E-BA可逆.例23 設(shè)3階矩陣A,B滿足AB=A+B.(1) 證明A-E可逆.(2) 設(shè) 1 -3 0 B= 2 1 0 ,求A. 0 0 2 (91)例24 設(shè)A,B是3階矩陣, A可逆,它們滿足2A-1B=B-4E.(1) 證明A-2E可逆.(2) 設(shè) 1 -2 0 B= 1 2 0 ,求A. 0 0 2 (2002)例25 設(shè)n階矩陣A,B滿足AB=aA+bB.其中ab¹0,證明(1) A-bE和B-aE都可逆.(2) A可逆Û B可逆.(3) AB=BA. 例26 設(shè)A,B都是n階對稱矩陣, E+AB可逆,證明(E+AB)-1A也是對稱矩陣.例27 設(shè)A,B都是n階矩陣使得A+B可逆,證明(1) 如果AB=BA,則B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,則B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=