高等數(shù)學(xué)格林公式

1、1、連通區(qū)域、連通區(qū)域是是連連通通區(qū)區(qū)域域：D全全內(nèi)任意兩點(diǎn)都可以用完內(nèi)任意兩點(diǎn)都可以用完D的的折折線線連連接接起起來來。屬屬于于 D域域：單單連連通通區(qū)區(qū)域域和和復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的的任任一一條條封封閉閉曲曲線線若若包包含含于于CDDDDD為為單單連連通通區(qū)區(qū)域域，否否則則稱稱，則則稱稱都都包包含含于于 為為復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域。DD.D的的方方向向、連連通通區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界D 2由由一一條條封封閉閉曲曲線線構(gòu)構(gòu)成成；單單連連通通區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界D 由由兩兩條條或或兩兩條條以以上上封封閉閉復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域的的邊邊界界D 曲曲線線構(gòu)構(gòu)成成。的的正正方方向向

2、的的規(guī)規(guī)定定：連連通通域域 D 的的方方向向行行當(dāng)當(dāng)觀觀察察著著沿沿 D 的的走走時時，觀觀察察者者附附近近的的D。內(nèi)內(nèi)部部總總在在觀觀察察者者的的左左側(cè)側(cè)D定理定理1 1)()(,),(21xyxbxayxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標(biāo)軸的直線和坐標(biāo)軸的直線和L至至多交于兩點(diǎn)多交于兩點(diǎn).)()(,),(21yxydycyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(

3、),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx BA=)()(, 12yyyxQdydc dcdyyyQyyQ),(),(12 ,),(:1yyyxEAC 曲線曲線 ,),(:2yyyxCBE 曲曲線線 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個既是分成三個既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. .

4、321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來來說說為為正正方方向向?qū)LLLGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 Ddx

5、dyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來來說說為為正正方方向向?qū)LLL便便于于記記憶憶形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.注：注：導(dǎo)數(shù)連續(xù)，公式都成立導(dǎo)數(shù)連續(xù)，公式都成立域，只要偏域，只要偏是單連通域還是復(fù)連通是單連通域還是復(fù)連通不管不管D)1(為反向，則為反向，則為閉曲線且取正向，若為閉曲線且取正向，若必須是閉區(qū)域，必須是閉區(qū)域，LLD)2(格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)

6、質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系., 9)4()1(,)3()(122取取逆逆時時針針方方向向是是圓圓周周其其中中：求求例例 yxLdyyxdxxyLxyo ,3,yxQxyP 解解：由由格格林林公公式式， DDdxdydxdy2131. 1. 簡化曲線積分的計算（常用）簡化曲線積分的計算（常用）Green公式的簡單應(yīng)用 DdxdyyPxQdyyxdxxyL)3()( .218322的的面面積積倍倍D xyoL解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L, ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy,

7、 BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB .,2的的圓圓在在第第一一象象限限部部分分為為是是半半徑徑其其中中曲曲線線：計計算算例例rABxdyAB 則則當(dāng)當(dāng)022 yx時時, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉镈,解解.,322方方向向?yàn)闉槟婺鏁r時針針方方向向的的的的連連續(xù)續(xù)閉閉曲曲線線，分分段段光光滑滑且且不不經(jīng)經(jīng)過過原原點(diǎn)點(diǎn)為為一一條條無無重重點(diǎn)點(diǎn)，其其中中：計計算算例例LLyxydxxdyL L(1) (1) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時時, ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時時,1D

8、rlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy22作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和l所所圍圍成成,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo DdxdyyPxQ0 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時時針針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20 lLyxydxxdy22即即222 ryxl 的方程：的方程： ,sin,cos ryrx參參數(shù)數(shù)方方程程： 20d0 DdxdyyPxQ .(0

9、,0),0)(,3cos3sin422一段一段到到的上半圓周自的上半圓周自為為其中其中：計算：計算例例OaAaxyxAnOdyyedxyyexAnOx xoy)0 ,(aAn,83221322aa DDxxdxdydxdyyeye33coscos DAnOOAAnOAdxdyyPxQOA ,，組組成成閉閉曲曲線線解解：補(bǔ)補(bǔ)上上線線段段 axOAAnOAAnOaedxea0228303083 解解 令令2, 0yxeQP , 2. 2. 簡化二重積分（不常用）簡化二重積分（不常用）xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22

10、0 102200dxxedyxexOAy).1(211 e.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(,52角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉轫旐旤c(diǎn)點(diǎn)的的三三是是以以其其中中：計計算算例例BAODdxdyeDy 格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21. 取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 計算平面面積計算平面面積曲曲線線AMO由由函函數(shù)數(shù), 0,axxaxy 表表示示,解解ONA為直線為直線0 y. LydxxdyA21 AMOONAyd

11、xxdyydxxdy2121)0 ,(aANM.)0()(62區(qū)區(qū)域域的的面面積積軸軸所所圍圍與與：計計算算拋拋物物線線例例xaaxyx AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM的的面面積積。計計算算橢橢圓圓例例1:),(72222 byaxyxDxyO 20:,sin,cos:21 ttbytaxLydxxdyAL，解解：dttatbtbtaA 20)sin(sincoscos21 2022sincos21dtttab.2120abdtab 例例).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 ,

12、 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點(diǎn)點(diǎn)，這這里里有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線為為其其中中計計算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對對 x, 10,:2變變到到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 1LQdyPdx 2LQdyPdxGyxo1L2LBA 否否則則稱稱為為積積分分與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). . 如果對區(qū)域如果對區(qū)域G內(nèi)任意兩條起終內(nèi)任意兩條起終點(diǎn)相同的曲線點(diǎn)相同

13、的曲線 有有21, LL.),(),(),(點(diǎn)點(diǎn)所所作作的的功功與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)點(diǎn)點(diǎn)到到平平面面上上從從在在變變力力BAxOyjyxQiyxPyxF dyyxQdxyxPsdFWLL ),(),(保守力保守力題題等等價價：內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，則則下下述述四四個個命命一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在及及其其是是平平面面單單連連通通區(qū)區(qū)域域，設(shè)設(shè)定定理理DyxQyxPD),(),(2)3()4(2)1(）（證證明明：.),(,)4(DyxyPxQ ;),(,),(3DyxQdyPdxduyxu 使使得得存存在在二二階階連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)）（內(nèi)與積分路徑無關(guān)；內(nèi)與積分路徑無關(guān)；在在DQdyPdxL )2

14、(; 0,1 LQdyPdxLD內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉路路徑徑對對）（xQyPjyxQiyxPyxF ),(),(),(的的充充分分必必要要條條件件：為為保保守守力力注注：變變力力xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解.1523 )1 , 1(Boxy)0 , 1(A0, 1:0;d0, dxxAByyOA方程方程方程：方程：曲線積分與路徑無關(guān)，曲線積分與路徑無關(guān)，,xQyP 101042)1(dyydxx ABOA故故原原式式 104221022d)1(0)21(0)0()02(yyyxdxxx.)()2(422 Ldyyxdxxyx例：計算例：計算.2 sin)1 , 1

15、()0 , 0(xyBOL 的曲線弧的曲線弧到點(diǎn)到點(diǎn)為由點(diǎn)為由點(diǎn)其中其中 )0,3()2, 1(324.)4()162(:dyxyxdxyxyI求求例例,4242:33曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)解解yxxQyxyP DCADI 31023d16d)41(xyy.4621614d16)(31024 xyy)2 , 1(A)0 , 3(C xyOD . 0, 0. 0, 1 dyyDCdxxAD的的方方程程：的的方方程程：）的的一一段段有有向向弧弧，）到到（，上上從從（是是圓圓其其中中計計算算曲曲線線積積分分例例11002,)()21(12222yyxLdyyxdxyxyL Oxy)0

16、, 1(A) 1 , 1 (B,)(),(,21),(22yxyxQyxyyxP 解解：,)(yPyxxQ dyyxdxyxydyyxdxyxyOAABL2222)()21( )()()21( .34371)1 (110210 dyydx例例 2 2 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分 Ldyxydxxy)(2與路徑無與路徑無關(guān)關(guān), 其中其中 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 且且0)0( ,計算計算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由xyxy2)(

17、cxx 2)( 10100ydydx.21 ) 1 , 1 (Boxy) 0 , 1 (A )1 , 1()0 , 0(22dyyxdxxy ABOA. 0d xxAB常常數(shù)數(shù)，的的方方程程：. 0d0 yyOA，的方程：的方程：，若若xQyP ACCByxByxAQdyPdxyxu),(),(00),(則則CdyyxQdxyxPyyxx ),(),(000),(0yxC ),(yxB xyo),(00yxA CdxyxPdyyxQyxuxxyy ),(),(),( 000或或CdyyxQdxyxPyxuyxyx ),(),(00),(),(),(則則QdyPdxdu . 0d:. 0,0 x

18、xCBdyyyACCBAC常常數(shù)數(shù)，的的方方程程的的方方程程：、關(guān)關(guān)，選選取取積積分分路路徑徑因因?yàn)闉榍€線積積分分與與路路徑徑無無.dd,),(:2222的原函數(shù)的原函數(shù)求求是保守力場是保守力場證明證明例例yyxxxyj yxixyyxF .),(2:是是保保守守力力場場解解yxFxQxyyP ABOAyxyyxxxyyxu),()0 , 0(22dd),( yxyyxx020dd0.2022222Cyxyyx )0 ,(xAO),(yxBxy . 0d xxAB常常數(shù)數(shù)，的的方方程程：.2),(22Cyxyxu . 0d0 yyOA，的方程：的方程：例6).,(,dd22yxuyxxyy

19、x求求全全微微分分在在右右半半平平面面是是某某函函數(shù)數(shù)的的驗(yàn)驗(yàn)證證 ,),(,),(:2222yxxyxQyxyyxP 解解,)()(2)(2222222222xQyxxyyxyyxyyP CBACyxyxxyyxyxu ),()0, 1(22dd),(曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān).oyx.)0 , 1(A.)0 ,(xC),(yxB.arctanCxy 0arctanyxy oyx.)0 , 1(A.)0 ,(xC),(yxB yxyyxxxx02212dd00CBAC . 0,. 0, 0 dxxCBdyyAC常常數(shù)數(shù)的的方方程程：的的方方程程：.arctan),(Cxyyxu 則

20、則稱稱其其為為內(nèi)內(nèi)處處處處成成立立，在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域如如果果設(shè)設(shè)有有微微分分方方程程DyPxQdyyxQdxyxP 0),(),(:全微分方程全微分方程，或者，或者恰當(dāng)微分方程恰當(dāng)微分方程。全微分方程的解法全微分方程的解法：dyyxQdxyxPduyxuyPxQ),(),(),( 使使得得的的通通解解。即即為為方方程程的的隱隱函函數(shù)數(shù)形形式式Cyxu ),(得得則則由由隱隱函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式可可確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)，為為由由方方程程事事實(shí)實(shí)上上，設(shè)設(shè)Cyxuxyy ),()(滿滿足足方方程程。)(xyy ),(),(yxQyxPyuxudxdy 2.2.解法解法: :0),(

21、),( dyyxQdxyxP應(yīng)用曲線積分法應(yīng)用曲線積分法.xQyP 通解為通解為;),(Cyxu 用偏積分用偏積分法法.全微分方程全微分方程CdyyxQdxyxPyxuyxyx ),(),(00),(),(),( 用湊微分用湊微分法法. 0)3()3( 2323的的通通解解求求方方程程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,Cxdxyxdyyxy 02303)3(.42344224Cyyxx 原方程的通解為原方程的通解為,42344224Cyyxx 例例1 1), 0(yAO),(yxBxy ABOAyxdyyxydxxyxyxu),()0 , 0(2323)3(

22、)3(),(. 0d yyAB常常數(shù)數(shù)，的的方方程程：. 0d0 xxOA，的的方方程程：通解為通解為;),(Cyxu .,0d)12(d)12(:22并并求求通通解解是是全全微微分分方方程程驗(yàn)驗(yàn)證證方方程程例例 yxyxxyxy,2222:yxxQyxyP 解解.),(.Cyxu 通通解解為為故故原原方方程程是是全全微微分分方方程程 ABOAyxyQxPyxu),()0,0(dd),( yxyxyxx020d)12(d)1(yyxyyxx022 Cyxyxx 22.oyx)0 ,(xA),(yxBCyxxyx 22通通解解為為.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解解,

23、64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,將左端重新組合將左端重新組合0)32(14232 dyyxdxyxdyy0)()1( 32 yxdyd.132Cyxy 原方程的通解為原方程的通解為, 0)1( 32 yxyd例例2通解為通解為;),(Cyxu ),1()( 32yxyx,yu , 0).( yxud看看作作2.積分因子法定義定義: : 0),( yx 連續(xù)可微函數(shù)，使方程連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成為全成為全微分方程微分方程. .則稱則稱),(yx 為方程的為方程的積分因子積分因子. .問題問題: 如何求方程的積分因子如何求方程的積

24、分因子?2.2.觀察法觀察法: :憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用的積分因子有可選用的積分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 0)()()2(0dd)1(:8 dyyxdxyxxyyx求求方方程程組組例例)ddd()(1,)1(:22xxyyxxyxxQyP 積分因子積分因子方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以解解0d,

25、 0dd2 xyxxyyxCxyCxy ,0d)(d)()2(重重新新組組合合 yyxxyx0)dd()dd( xyyxyyxx)0arctand)ln(21d,dd1ddarctand,d2d221)ln(21d(2222222222 xyyxyxxyyxxyxxyyxxyyxyyxxyx注意注意0ddd2d2211222222 yxxyyxyxyyxxyx得得兩邊乘以兩邊乘以.arctan)ln(2122Cxyyx 通通解解的的值值。時時，求求當(dāng)當(dāng)無無關(guān)關(guān)；與與路路徑徑證證明明曲曲線線積積分分記記）終終點(diǎn)點(diǎn)為為（）為為（分分段段光光滑滑曲曲線線，其其起起點(diǎn)點(diǎn)）內(nèi)內(nèi)的的是是上上半半平平面面（

26、數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)）在在（分分）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)年年數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)一一考考研研題題，（例例IcdabLIdyxyfyyxdxxyfyyIdcbayLxfL )2()1(,1)()(11.,0,)(8023222,1)(),(),(1 1),() 1 (222 xyfyyxyxQxyfyyyxP解解：)()(1)(12xyfxyxyfyxyyfyyyP xQ 在上半平面內(nèi)處處成立，所以積分在上半平面內(nèi)處處成立，所以積分I在上半平面內(nèi)與路徑無關(guān)。在上半平面內(nèi)與路徑無關(guān)。),(),(1)()(11)2(222cdabdcbadyxyfyyxdxxyfyyIL Oxy),(ba),(d

27、cL),(bcdycyfyycdxbxfbbdbca1)()(11222 bcdcdycycfdxbxbfbacdbca )()( cdbcbcabdttfdttfbadc)()( cdabdttfbadc)(.badc 小 結(jié)1.1.連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念; ;2.2.二重積分與曲線積分的關(guān)系二重積分與曲線積分的關(guān)系3. 3. 格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(計算平面圖形的面積；簡化曲線積分的計算計算平面圖形的面積；簡化曲線積分的計算; ;推出曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件；全微推出曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件；全微分方程求解

28、。分方程求解。與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxuD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題 若區(qū)域若區(qū)域 如圖為如圖為復(fù)連通域，試描述格復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中林公式中曲線積分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFGD 思考題思考

29、題思考題解答思考題解答由兩部分組成由兩部分組成L外外邊界：邊界：內(nèi)內(nèi)邊界：邊界：BCDABEGFED 一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設(shè)設(shè)D為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域?yàn)?平 面 上 的 一 個 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條

30、件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設(shè)設(shè)D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練 習(xí) 題二、二、 計算計算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗(yàn)證格林公式的正確性驗(yàn)證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整個在整個xoy面面內(nèi)與路徑無