高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測江蘇版：專題2.12函數(shù)模型及其應(yīng)用講

1、【最新考綱解讀】內(nèi) 容 要 求備注ABC函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)模型及其應(yīng)用 對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識，并能解決有一定綜合性的問題. 掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.【考點(diǎn)深度剖析】解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”，即審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；建模：把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)

2、學(xué)結(jié)論；還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義【判一判】判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大.( )(2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻.( )(3)冪函數(shù)增長比直線增長更快.( )(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，恒有h(x)f(x)g(x).( )答案只有(4)對【練一練】小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛，則下列圖象與以上事件吻合得最好的是_(填序號).答案解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，排

3、除.因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，排除.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，排除.故符合. 【經(jīng)典例題精析】考點(diǎn)1 一次函數(shù)與二次函數(shù)模型【1-1】 某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差_元 【答案】10【1-2】將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元出售時(shí)，能賣出400個(gè)若該商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了賺取最大的利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)_元【答案】95【基礎(chǔ)知識】1幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為

4、常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x值增大，圖像與y軸接近平行隨x值增大，圖像與x軸接近平行隨n值變化而不同【思想方法】 (1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出

5、錯(cuò)；(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題【溫馨提醒】 1易忽視實(shí)際問題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域2注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性考點(diǎn)2 分段函數(shù)模型【2-1】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車

6、流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式 (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))【答案】(1) v(x)(2) 當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值f(x)max3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí) 【2-2】某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完公司

7、對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖(一條折線)、圖(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖是每件樣品的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系；(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由【答案】(1) f(t) g(t)t26t(0t40) (2) 上市后的第30天 (2)每件樣品的銷售利潤h(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為h(t)故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和F(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系為F(t)當(dāng)0t2

8、0時(shí)，F(xiàn)(t)3tt324t2，F(xiàn)(t)t248tt0，F(xiàn)(t)在0,20上是增函數(shù)，F(xiàn)(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)6 0006 300.當(dāng)20t30時(shí)，F(xiàn)(t)60.由F(t)6 300，得3t2160t2 1000，解得t(舍去)或t30.當(dāng)30t40時(shí)，F(xiàn)(t)60.由F(t)在 (30,40上是減函數(shù)，得F(t)0且a1，b0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快

9、越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x值增大，圖像與y軸接近平行隨x值增大，圖像與x軸接近平行隨n值變化而不同【思想方法】(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解(2) 分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)【溫馨提醒】構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理、不重不漏考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)模型【3-1】一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的

10、.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？【答案】(1) x1 (2) 5(3)15.【3-2】某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，判定該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用).【答案】略有虧損【解析】設(shè)該股民購這支股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99na0且a1，b0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常

11、數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x值增大，圖像與y軸接近平行隨x值增大，圖像與x軸接近平行隨n值變化而不同【思想方法】(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【溫馨提醒】解指數(shù)不等式時(shí)，一定要化為同底，且注意對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性【易錯(cuò)題型大揭秘】數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題，一定要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；合理確定實(shí)際問題中自變量的取值范圍；必須驗(yàn)證答案對實(shí)際問題的合理性如：如圖所示，在矩形中，已知，（）在、上分別截取、都等于，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大？求出這個(gè)最大面積【分析】設(shè)四邊形的面積為，則，由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，即時(shí)，使面積取得最大值；若，即時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，有最大值為綜上可知，若，當(dāng)時(shí)，四邊形的面