高等數(shù)學第七版課件163二元函數(shù)的連續(xù)性

1、一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的 性質(zhì) 無論是單元微積分還是多元微積分, 其中所討論的函數(shù), 最重要的一類就是連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化了些; 而它們的局部性質(zhì)與在有界閉域上的整體性質(zhì), 二者完全相同.3 二元函數(shù)的連續(xù)性 數(shù)學分析 第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)*點擊以上標題可直接前往對應內(nèi)容數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定義11. 1. 連續(xù)性連續(xù)性0,0, 0(;)PU PD 若若只要只要, 就有就有0|()()|,(1)f Pf P 則稱則稱 f 關于集合關于集合 D 在點在點 連續(xù)連續(xù).0P在不致誤解的情形下在不致誤解的情

2、形下, 也稱也稱 f 在點在點 連續(xù)連續(xù). 0P若若 f 在在 D 上任何點都關于集合上任何點都關于集合 D 連續(xù)連續(xù),則稱則稱 f 為為 D 上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二元函數(shù)的連續(xù)性概念2RD 設設 f 為定義在點集為定義在點集上的二元函數(shù)上的二元函數(shù), 0P.D 后退 前進 目錄 退出數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社由上述定義知道由上述定義知道: 若若 是是 D 的孤立點的孤立點, 則則 必定是必定是 0P0P00lim()().(2)PPP Df Pf P 0P 若若 是是 D 的聚點的聚點, 則

3、則 f 關于集合關于集合 D 在點在點連續(xù)等價于連續(xù)等價于 0P如果如果 是是 D 的聚點的聚點, 而而 (2) 式不成立式不成立 (其含義與一元其含義與一元0P函數(shù)的對應情形相同函數(shù)的對應情形相同 ), 則稱則稱 是是 f 的的不連續(xù)點不連續(xù)點 (或或 0P特別當特別當 (2) 式左邊極限存在式左邊極限存在, 但不等于但不等于 0()f P0P是是 f 的的可去間斷點可去間斷點. 時時,3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f 的連續(xù)點的連續(xù)點. 稱稱間間斷點斷點). 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社222222,1( ,)(0, 0),(

4、,)20,( ,)(0, 0),f x yxxyyxyxyx yf x yxyx y例例如如, ,上上節(jié)節(jié)例例，上上節(jié)節(jié)例例在在原原點點均均連連續(xù)續(xù)，而而3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)222( ,)310,( ,)40 xyf x yxyyxxf x y上上節(jié)節(jié)例例，, ,上上節(jié)節(jié)例例， 其其余余部部分分. .在在原原點點均均不不連連續(xù)續(xù). . 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社又若把上述例又若把上述例3 的函數(shù)改為的函數(shù)改為222, ( ,)( ,)|,0 ,( ,),( ,)(0,0),1xyx yx yymx xxyf x ymx

5、ym上，上，2( ,)(0,0)lim( ,)(0, 0),1x yymxmf x yfm 其中其中 m 為固定實數(shù)為固定實數(shù), 亦即函數(shù)亦即函數(shù) f 只定義在只定義在 ymx因此因此 f 在原點沿著直線在原點沿著直線 是連續(xù)的是連續(xù)的ymx3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這時由于這時由于數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社2( cos , sin )(cos )f rrr ( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x yf 因此因此 此時此時 f 在原點連在原點連22, ( , )(0,0),( , )(0)0,( , )

6、(0,0),xx yf x yxyx y 在坐標原點的連續(xù)性在坐標原點的連續(xù)性例例1 討論函數(shù)討論函數(shù) 解解 由于當由于當 20r 且且時時, ,( , )(0,0)2,lim( , )x yf x y 時時而當而當 不存在，不存在， 此時此時f在原點間斷在原點間斷 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)續(xù)續(xù); 20,r 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社2. 全增量與偏增量全增量與偏增量 00000(,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、設設0000(,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 稱稱0000(,)(,)f xx

7、yyf xy 量形式來描述連續(xù)性量形式來描述連續(xù)性, 為函數(shù)為函數(shù) f 在點在點 的全增量的全增量. 0P(,)(0,0)( ,)lim0 xyx yDz 時時, f 在點在點 連續(xù)連續(xù). 0P3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和一元函數(shù)一樣和一元函數(shù)一樣, 可用增可用增即當即當數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社00,xy 或或如果在全增量中取如果在全增量中取 則相應得到的則相應得到的 增量稱為偏增量增量稱為偏增量, 000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy

8、一般說來一般說來, 全增量并不等于相應的兩個偏增量之和全增量并不等于相應的兩個偏增量之和. 若一個偏增量的極限為零若一個偏增量的極限為零, 如如 000lim(,)0,xxf xy 0yy 0( ,)f x y則表示當固定則表示當固定 時時, 作為作為 x 的函數(shù)的函數(shù), 它它 固定固定 時時， 0(,)f xy在在 y0 連續(xù)連續(xù). 0 xx3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分別記作分別記作則表示則表示當當 000lim(,)0,yyf xy 若若同理同理, 在在 x0 連續(xù)連續(xù). 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社容易證明容易證明: 當當

9、 f 在其定義域的內(nèi)點在其定義域的內(nèi)點 連續(xù)時連續(xù)時, 00(,)xy0( ,)f x y0(,)f xy在在 x0 與與 在在 y0 都連續(xù)都連續(xù). 由二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)，由二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)，函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 (除非另外增加條件除非另外增加條件). 10,( ,)00 xyf x yxy ，在原點處顯然不連續(xù)在原點處顯然不連續(xù), 因此它在原點處對因此它在原點處對 x 和對和對 y 分別都連續(xù)分別都連續(xù). 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)但是反過來但是反過來, 例如二元函數(shù)例如二元函數(shù)一般不能保證該一般不能保證該但由于但由于 f (0

10、, y) = f (x, 0) = 0, 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社3. 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 以及相應的有理運算的各個法則以及相應的有理運算的各個法則. 若二元函數(shù)在某一點連續(xù)若二元函數(shù)在某一點連續(xù), 則與一元函數(shù)一樣則與一元函數(shù)一樣, 可以可以證明它在這一點近旁具有局部有界性、局部保號性證明它在這一點近旁具有局部有界性、局部保號性復合函數(shù)的連續(xù)性定理復合函數(shù)的連續(xù)性定理, 其余留給讀者自己去練習其余留給讀者自己去練習. 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)下面只證明二元下面只證明二元數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限

11、與連續(xù)高等教育出版社 定理16.7（復合函數(shù)連續(xù)性）000000(,),(,).uxyvxy 則復合函數(shù)則復合函數(shù) ( , )( ( , ),( , )g x yfx yx y 在點在點 P0 也連續(xù)也連續(xù). 0,0, 使得當使得當 000(,)Q u v的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, 并在點并在點 Q0 連續(xù)連續(xù), 00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv時時, 有有3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設函數(shù)設函數(shù)( ,)ux y 和和 ( ,)vx y 000(,)P xy在點在點 的的某鄰域內(nèi)有某鄰域內(nèi)有定義定義, 并在并在 點

12、點 連續(xù)連續(xù); 0Pf (u, v) 在點在點證證 由由 f 在點在點 Q0 連續(xù)可知：連續(xù)可知：其中其中 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社又由又由 、 在點在點 P0 連續(xù)可知連續(xù)可知: 對上述對上述 0,0, 使使得當?shù)卯?0|,|xxyy 時時, 有有000|( , )(,)|,uuu vuv 000|( , )(,)|.vvu vuv 0000|( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv 00|,|xxyy 綜合起來綜合起來, 當當 時時, 便有便有所以所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在點在點 連續(xù)連續(xù). 000(,)P

13、xy3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv時時, 有有數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定理16.8（復合函數(shù)連續(xù)性）本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì). 這可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣這可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣. 上有界上有界且能取得最大值與最小值且能取得最大值與最小值. |()|,1, 2,.(3)nf Pnn 倘若不然倘若不然, 則則 +N ,n 存存 ,nPD 使得使得 在在 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元

14、函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若二元函數(shù)若二元函數(shù) f 在在有界閉域有界閉域 2RD 上連續(xù)上連續(xù), 證證 先證明先證明 f 在在 D 上有界上有界. 則則 f 在在 D, 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社nPD nP于是得到一個有界點列于是得到一個有界點列 , 且能使且能使 中有無中有無 由聚點定理的推論由聚點定理的推論,nP 存在收斂存在收斂 ,knP子列子列 0lim.knkPP 設設又因又因 f 在在 D上連續(xù)上連續(xù), 當然在點當然在點 也連續(xù)也連續(xù), 0P0lim()().knkf Pf P 這與不等式這與不等式 (3) 矛盾，

15、所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函數(shù)上的有界函數(shù). 下面證明下面證明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值. inf(),sup().mf DMf D3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)|()|,1, 2,.(3)nf Pnn 窮多個不同的點窮多個不同的點. 因因 D 是閉域是閉域, 從而從而 0.PD 為此設為此設于是有于是有QD ()f QM 可證必有一點可證必有一點 , 使使(同理可證最小值同理可證最小值) 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社,PD 如若不然如若不然, 對任意對任意 都都有有()0.Mf P 1( ),(

16、 )F PMf P 由前面的證明知道由前面的證明知道, F 在在 D上有界上有界. 上達到上確界上達到上確界 M, 使使 lim()nnf PM . 在在 D 上有界的結論相矛盾上有界的結論相矛盾, 到最大值到最大值.3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考察考察 D 上的正值連續(xù)函數(shù)上的正值連續(xù)函數(shù) 又因又因 f 不能在不能在 D 于是有于是有l(wèi)im(),nnF P 這導致與這導致與 F ,nPD 所以存在收斂點列所以存在收斂點列從而證得從而證得 f 在在 D 上能取上能取 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定理16.9（一致連續(xù)性定理）證證

17、 本定理可參照第七章的方法本定理可參照第七章的方法, 運用有限覆蓋定理運用有限覆蓋定理來證明來證明. 這里我們用聚點定理證明這里我們用聚點定理證明. 倘若倘若 f 在在 D 上連續(xù)而不一致連續(xù)上連續(xù)而不一致連續(xù), 則存在某則存在某 00, 0, 1,1, 2,n n 對對于任意小的于任意小的 例如例如nnPQD 、(,)1nnP Qn 相應相應的的 , 雖然雖然 , 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若函數(shù)若函數(shù) f 在有界閉域在有界閉域 2RD 上連續(xù)上連續(xù), 0, 即即存在只依賴于存在只依賴于 0, 的的必有必有 ,P QD 的的點點( ,)P Q 切滿足切

18、滿足|()()|.f Pf Q 致連續(xù)致連續(xù). 則則 f 在在 D 上一上一使得對一使得對一總有總有 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社由于由于 D 為有界閉域為有界閉域, 因此存在收斂子列因此存在收斂子列,knnPP 0lim.knkPPD 并設并設nQknP再在再在中取出與中取出與下下 標相同的子列標相同的子列,knQ 0(,)10,kknnkPQnk 有有0limlimkknnkkQPP. lim |()()|kknnkf Pf Q 0|()()|0kknnf Pf Q 這與這與相矛盾相矛盾, 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域

19、上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0|()()|.nnf Pf Q 但是但是 則因則因最后最后, 由由 f 在在 P0 連續(xù)連續(xù), 得得 00|()()|0.f Pf Q 所以所以 f 在在 D 數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定理16.10（介值性定理）任意兩點任意兩點, 且且12()(),f Pf P 則對任何滿足不等式則對任何滿足不等式12()()(4)f Pf P 證證 作輔助函作輔助函數(shù)數(shù)0,PD 的實數(shù)的實數(shù) , 必存在點必存在點 ()(),.F Pf PPD 易見易見 F 仍在仍在 D 上連續(xù)上連續(xù), 且由且由 (4) 式知道式知道1()0,F P 0PD 0()0.F P

20、 下面證明必存在下面證明必存在, 使使3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設函數(shù)設函數(shù) f 在區(qū)域在區(qū)域2RD 上連續(xù)上連續(xù), 若若P1 , P2 為為 D 中中2()0.F P 0().f P 使得使得數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 1P2PDxyO圖 16 -18 由于由于 D 為區(qū)域為區(qū)域, 我們可以用有限段都在我們可以用有限段都在 D 中的折線中的折線 連結連結 P1 和和 P2 (如圖如圖 16-18).的函數(shù)值為的函數(shù)值為 0, 則定理得證則定理得證. 否則從一端開始逐段檢查否則從一端開始逐段檢查, 在它兩端的函數(shù)值異號在它兩端

21、的函數(shù)值異號. 必定存在某直線段必定存在某直線段,使得使得 F 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若有某一個連接點所對應若有某一個連接點所對應數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社不失一般性不失一般性, 設連結設連結P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直線段含的直線段含于于 D, 121121(),01.(),xxt xxtyyt yy 在此直線段上在此直線段上, F 變?yōu)殛P于變?yōu)殛P于 t 的復合函數(shù)：的復合函數(shù)：121121( )(),(),01.G tF xt xxyt yyt 由于由于 G 為為 0, 1 上的一元連續(xù)函數(shù)上的一

22、元連續(xù)函數(shù), 且且 12()(0)0(1)(),F PGGF P 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)其方程為其方程為數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社因此由一元函數(shù)根的存在定理因此由一元函數(shù)根的存在定理, 在在 (0, 1) 內(nèi)存在一點內(nèi)存在一點 0,t0( )0.G t 使得使得記記0102101021(),(),xxtxxyytyy 則有則有000(,)P xyD , 使得使得000()( )0,().F PG tf P 即即續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù), 則則 f (D) 必定是一個區(qū)間必定是一個區(qū)間 (有限或無限有限或無限). 注注1 由定理由定理1

23、6. 10 又可知道又可知道, 若若 f 為區(qū)域為區(qū)域 D 上的連上的連3 二元函數(shù)的連續(xù)性 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)數(shù)學分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社有連通性的有連通性的. 界閉集界閉集 (證明過程無原則性變化證明過程無原則性變化). 中所考察的點集中所考察的點集 D 只能假設是一區(qū)域只能假設是一區(qū)域, 這是為了保這是為了保 證它具有連通性證它具有連通性, 注注2 定理定理16. 8 與與 16. 9 中的有界閉域中的有界閉域 D 可以改為有可以改為有 例例3 ( , ) , , f x ya bc d設設在在上上連連續(xù)續(xù), , 又又有有函函數(shù)數(shù)序序( ) , ,kxa b 列列在在上上一一致致收收斂斂 且且( ), , ,1,