第一章邏輯代數基礎

1、數字電子技術基礎（第四版）教學課件南京航空航天大學自動化學院南京航空航天大學自動化學院 傅大豐傅大豐電子信箱：fdf_聯系電話：一章第一章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎1.1 1.1 數字電路的基本概念數字電路的基本概念1.2 1.2 邏輯邏輯代數中的三種基本運算代數中的三種基本運算1.3 1.3 邏輯邏輯代數的基本公式和常用公式代數的基本公式和常用公式1.4 1.4 邏輯邏輯代數的基本定理代數的基本定理1.5 1.5 邏輯邏輯函數及其表示方法函數及其表示方法1.6 1.6 邏輯邏輯函數的公式化簡法函數的公式化簡法1.7 1.7 邏輯邏輯函數的卡諾圖化簡法函數的卡諾圖化簡

2、法1.8 1.8 具有無關項的具有無關項的邏輯邏輯函數及其化簡函數及其化簡1.1 1.1 數字電路的基本概念數字電路的基本概念1.1.1 1.1.1 數字量和模擬量數字量和模擬量1.1.2 1.1.2 數制和碼制數制和碼制1.1.1 1.1.1 數字量和模擬量數字量和模擬量一、模擬量與數字量一、模擬量與數字量模擬量模擬量時間連續(xù)數值也連續(xù)的物理量。例如溫度、時間連續(xù)數值也連續(xù)的物理量。例如溫度、速度等。速度等。數字量數字量在時間上和數值上均是離散的。如生產線上在時間上和數值上均是離散的。如生產線上記錄零件個數，啤酒生產線啤酒的個數等。記錄零件個數，啤酒生產線啤酒的個數等。 二、模擬信號與數字信

3、號二、模擬信號與數字信號 模擬信號模擬信號表示表示模擬量模擬量的信號（時間連續(xù)數值也連的信號（時間連續(xù)數值也連續(xù)的信號）。如熱電偶在工作時輸出的電壓信號，溫度續(xù)的信號）。如熱電偶在工作時輸出的電壓信號，溫度等。等。 數字信號數字信號表示表示數字量數字量的信號（的信號（在時間上和數值上在時間上和數值上均是離散的）。如電子表的秒信號，生產線上記錄零件均是離散的）。如電子表的秒信號，生產線上記錄零件個數的記數信號等。個數的記數信號等。 電電子子電電路路中中的的信信號號模擬信號模擬信號數字信號數字信號時間連續(xù)的信號時間連續(xù)的信號時間和幅度都是離散的時間和幅度都是離散的例：正弦波信號、鋸齒波信號等。例：

4、正弦波信號、鋸齒波信號等。例：產品數量的統計、數字表盤例：產品數量的統計、數字表盤的讀數、數字電路信號等。的讀數、數字電路信號等。模擬信號tV(t)tV(t)數字信號數字信號高電平高電平低電平低電平上跳沿上跳沿下跳沿下跳沿5V(V)0t(ms)102030 4050數字信號在電路中常表現為數字信號在電路中常表現為突變突變的電壓或電流。的電壓或電流。 模擬電路模擬電路指工作在指工作在模擬信號模擬信號下的電下的電子電路。子電路。數字電路數字電路指工作在指工作在數字信號數字信號下的電下的電子電路。子電路。 三、模擬電路與數字電路三、模擬電路與數字電路模擬電路主要研究內容：模擬電路主要研究內容：輸入、

5、輸出信號間的大小、輸入、輸出信號間的大小、相位、失真等方面的關系。主要采用相位、失真等方面的關系。主要采用方法，動態(tài)性能則用方法，動態(tài)性能則用分析。分析。在模擬電路中，晶體管一般工作在在模擬電路中，晶體管一般工作在區(qū)；在數字電路中，三極管工作在區(qū)；在數字電路中，三極管工作在，即工作在飽和區(qū)和截止區(qū)。，即工作在飽和區(qū)和截止區(qū)。 數字電路主要研究數字電路主要研究內容內容：電路輸出、輸入間的邏輯關電路輸出、輸入間的邏輯關系。主要的工具是系。主要的工具是，電路的功能用，電路的功能用表示。表示。模擬電路與數字電路模擬電路與數字電路比較比較1）電路的特點）電路的特點2）研究的內容）研究的內容模擬電路研究的

6、問題模擬電路研究的問題基本電路元件基本電路元件:基本模擬電路基本模擬電路:晶體三極管晶體三極管場效應管場效應管集成運算放大器集成運算放大器 信號放大及運算信號放大及運算 (信號放大、功率放大）信號放大、功率放大） 信號處理（采樣保持、電壓比較、有源濾波）信號處理（采樣保持、電壓比較、有源濾波） 信號發(fā)生（正弦波發(fā)生器、三角波發(fā)生器、信號發(fā)生（正弦波發(fā)生器、三角波發(fā)生器、）3）研究的問題）研究的問題數字電路研究的問題數字電路研究的問題基本電路元件基本電路元件基本數字電路基本數字電路 邏輯門電路邏輯門電路 觸發(fā)器觸發(fā)器 組合邏輯電路組合邏輯電路 時序電路（寄存器、計數器、脈沖發(fā)生器、時序電路（寄存

7、器、計數器、脈沖發(fā)生器、 脈沖整形電路）脈沖整形電路） A/D轉換器、轉換器、D/A轉換器轉換器 有兩種邏輯體制：有兩種邏輯體制： 正邏輯體制正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯，低電平為邏輯0。 負邏輯體制負邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯，高電平為邏輯0。 下圖為采用下圖為采用邏輯體制所表示的邏輯信號：邏輯體制所表示的邏輯信號：四、正邏輯與負邏輯四、正邏輯與負邏輯 數字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電數字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯和邏輯0）

8、。）。 邏輯邏輯0 邏輯邏輯0 邏輯邏輯0 邏輯邏輯1 邏輯邏輯1 邏輯，如何？邏輯，如何？ 五、數字信號的主要參數五、數字信號的主要參數 一個理想的周期性數字信號，可用以下幾個參數來描繪：一個理想的周期性數字信號，可用以下幾個參數來描繪： Vm信號幅度。信號幅度。 T信號的重復周期。信號的重復周期。 tW脈沖寬度。脈沖寬度。 q占空比。其定義為：占空比。其定義為： %100(%)WTtq5V(V)0t(ms)twTVm 圖中所示為圖中所示為三個周期相同三個周期相同（T T=20ms=20ms），），但幅度、脈沖但幅度、脈沖寬度及占空比寬度及占空比各不相同的數各不相同的數字信號。字信號。Vt(

9、V)(ms)501020304050Vt(V)(ms)01020304050Vt(V)(ms)010203040503.610(a)(b)(c) 1.1.2 1.1.2 數數 制制一、幾種常用的計數體制一、幾種常用的計數體制 1.1.十進制十進制(Decimal)(Decimal) 2. 2.二進制二進制(Binary)(Binary) 3. 3.十六進制十六進制(Hexadecimal)(Hexadecimal)與八進制（與八進制（OctalOctal） 逢逢N進一進一 ，N10，2，16，8， N稱為十進制：十進制：以以十十為基數的記數體制。為基數的記數體制。表示數的十個數碼：表示數的十個

10、數碼：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循遵循逢十進一逢十進一的規(guī)律。的規(guī)律。157 =012107105101 一個十進制數數一個十進制數數 N 可以表示成：可以表示成：iiiDKN10)(若在數字電路中采用十進制，必須要有若在數字電路中采用十進制，必須要有十個電十個電路狀態(tài)與十個記數碼路狀態(tài)與十個記數碼相對應。這樣將在技術相對應。這樣將在技術上帶來許多困難，而且很不經濟上帶來許多困難，而且很不經濟):。二進制：二進制：以二為基數的記數體制以二為基數的記數體制 。表示數的兩個數碼：表示數的兩個數碼：0、1遵循遵循逢二進一逢二進一的規(guī)律。的規(guī)律。iiiBKN2）（1001）B =0123

11、21202021 = (9)D二進制的二進制的優(yōu)優(yōu)點：點：用電路的用電路的兩兩個狀態(tài)個狀態(tài)-開開/關關來表示來表示二進制數，數碼的存儲和傳輸簡單、可靠。二進制數，數碼的存儲和傳輸簡單、可靠。二進制的二進制的缺缺點：點：位數較多，使用不便；不合人們位數較多，使用不便；不合人們的習慣，的習慣，輸入輸入時將時將十進制轉換成二進制十進制轉換成二進制，運，運算結果算結果輸出輸出時時再轉換成十進制數再轉換成十進制數。十六進制和八進制十六進制和八進制十六進制記數碼：十六進制記數碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4

12、162+14 161+6 160= (1254)D(F)H(1111)B說明：說明：十六進制的一位對應二進制的四位。十六進制的一位對應二進制的四位。 十六進制與二進制之間的轉換。十六進制與二進制之間的轉換。Hexadecimal：十六進制的：十六進制的Decimal：十進制的：十進制的Binary：二進制的：二進制的(0101 1001)B=0 27+1 26+0 25+1 24+1 23+0 22+0 21+1 20D=(0 23+1 22+0 21+1 20) 161+(1 23+0 22+0 21+1 20) 160D= (59)H每四位每四位2進制進制數對應一位數對應一位16進制數進制

13、數(10011100101101001000)B=從末位開始從末位開始四位一組四位一組(1001 1100 1011 0100 1000)B()H84BC9= (9CB48)H八進制與二進制之間的轉換。八進制與二進制之間的轉換。(10011100101101001000)O=從末位開始從末位開始三位一組三位一組(10 011 100 101 101 001 000)B ()O01554=(2345510)O32八進制記數碼：八進制記數碼：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B說明：說明：八進制的一位對應二進制的三位。八進制的一位對應二進制的三位。例例1.1.11.1.1 將二進制數

14、將二進制數10011.10110011.101轉換成十進制轉換成十進制數。數。 解：解：將每一位二進制數乘以將每一位二進制數乘以位權位權，然后相加，然后相加，可得可得 (10011.101)(10011.101)B B1 12 24 40 02 23 30 02 22 21 12 21 11 12 20 01 12 21 10 02 22 21 12 23 3 （19.625)19.625)D D二、不同數制之間的相互轉換二、不同數制之間的相互轉換 1)1)二進制轉換成十進制二進制轉換成十進制02iiiDKN）（222011KKNiiiD）（2221222KKNiiiD）（兩邊除兩邊除2，余第

15、，余第0位位K0商兩邊除商兩邊除2，余第，余第1位位K1十進制與二進制之間的轉換方法：十進制與二進制之間的轉換方法：可以用二除十進制可以用二除十進制數，余數是二進制數的第數，余數是二進制數的第0位位K0，然后依次用二除所，然后依次用二除所得的商，余數依次是第得的商，余數依次是第1位位K1 、第、第2位位K2 、。 2)2)十進制轉換成二進制十進制轉換成二進制231152122222余0余1余1余1余10bbbbb01234讀取次序例例1.1.21.1.2 將十進制數將十進制數2323轉換成二進制數。轉換成二進制數。解：解： 用用“除除2 2取余取余”法轉換法轉換: :則（則（23)23)D D

16、 = =（10111)10111)B B225 余余 1 K0122 余余 0 K162 余余 0 K232 余余 1 K312 余余 1 K40例例1.1.3：十進制數十進制數25轉換成二進制數的轉換過程：轉換成二進制數的轉換過程：(25)D=(11001)B三、二進制碼三、二進制碼數字系統的信息數字系統的信息數值數值文字符號文字符號二進制代碼二進制代碼編碼編碼為了表示字符為了表示字符代碼代碼不同數碼不僅可以表示數量的不同大不同數碼不僅可以表示數量的不同大小，而且還能用來表示不同的事物。如身份證，小，而且還能用來表示不同的事物。如身份證，汽車牌照等。汽車牌照等。碼制碼制編碼時遵循的一定的規(guī)則

17、。南京身份編碼時遵循的一定的規(guī)則。南京身份證為證為3201XXXXX3201XXXXX。為了分別表示為了分別表示個字符，所需的二進制數的最小個字符，所需的二進制數的最小位數：位數：Nn2 編碼可以有多種，數字電路中所用的主要是二編碼可以有多種，數字電路中所用的主要是二十進制碼（十進制碼（BCD - inary- oded-ecimal碼）。碼）。BCD碼碼用用二進制二進制代碼來表示代碼來表示十進制十進制的的09十個十個數數。 要用二進制代碼來表示十進制的要用二進制代碼來表示十進制的09十個數，至少要十個數，至少要用用4位二進制數。位二進制數。 4位二進制數有位二進制數有16種組合，可從這種組合

18、，可從這16種組合中選擇種組合中選擇10種種組合分別來表示十進制的組合分別來表示十進制的09十個數。十個數。 選哪選哪10種組合，有多種方案，這就形成了不同的種組合，有多種方案，這就形成了不同的BCD碼。碼。每一位十進制數都用四位二進制數示。每一位十進制數都用四位二進制數示。四位二進制數中的每一位都有固定的權值。四位二進制數中的每一位都有固定的權值。（1）8421BCD碼碼每一位的權值從高位到低位分別為：每一位的權值從高位到低位分別為：BCD碼具有十進制數的特點、二進制數的形式。碼具有十進制數的特點、二進制數的形式。是是人人- -機對話機對話的中間表示。的中間表示。23 ,22 ,21, 20

19、 即：即：8,4,2,1BCD碼分為有權碼分為有權BCD 碼和無權碼和無權BCD碼碼1）有權BCD碼：特點：特點：1 1、每個十進制數用四位二進、每個十進制數用四位二進 制數表示。制數表示。3、8421碼和十進制數之間直直 接按位轉換。接按位轉換。2、四位二進制數有16種狀態(tài) 組合，8421碼只用了前十 種，10101111六種沒有 使用，是禁用碼禁用碼。位權值0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 1十進制數8 4 2 1 例1.1.4: (37.86)1

20、0 = (?)8421BCD= (0011,0111.1000,0110)8421BCD一位十進制數，用四位二進制數表示。一位十進制數，用四位二進制數表示。例2: (011000101000.10010101)8421BCD = (?)10四位二進制數四位二進制數, ,可以表示一位十進制數?？梢员硎疽晃皇M制數。= (0110，0010，1000.1001，0101)8421BCD= (628.95)10十進制數位權值3 0 0 1 14 0 1 0 05 1 0 0 06 1 0 0 17 1 0 1 08 1 0 1 19 1 1 0 00 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1

21、05 4 2 1特點： 1、每一位的權值從高位到低位分別 為：5，4, 2, 1 2、前五位與8421碼相同。3、直接按權展開求十進制。（1011)5421BCD=1X5+0X4+1X2+1X1=(8)104、5421BCD碼和十進制之間可直接 按位轉換。（645.89)10 = (?)5421BCD =(1001 0100 1000.1011 1100)5421BCD（2）、5421碼3 0 0 1 14 0 1 0 05 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 0 18 1 1 1 02 0 0 1 09 1 1 1 11 0 0 0 10 0 0 0 0十 2 4 2 1特點：1、每

22、一位的權值從高位到低位分 別為：2，4， 2， 1 。 2、前五位與8421碼相同。3、直接按權展開求十進制。4、2421BCD碼和十進制之間可直接 按位轉換。5、2421BCD碼具有對 的特性。000011110001111000101101按位求反按位求反（3）、2421碼特點：1、無權BCD碼，沒有確定的位權值。2、不能按位權展開求十進制。3、有自身特點，根據使用條件，按需選用。2)無權BCD碼：3 0 1 1 04 0 1 1 15 1 0 0 06 1 0 0 17 1 0 1 08 1 0 1 12 0 1 0 19 1 1 0 01 0 1 0 00 0 0 1 1十余3碼特點：

23、1、比8421BCD碼多出0011所以 稱為余3碼。余余3碼碼 = 8421碼碼 + 00112、余3碼，沒有確定的位權值 只能理解記憶和十進制之間 的關系。3、余3碼也是一種對9的代碼。0011110001001011（1）、余三碼3 0 1 0 14 0 1 0 05 1 1 0 06 1 1 0 17 1 1 1 18 1 1 1 02 0 1 1 19 1 0 1 01 0 1 1 00 0 0 1 0十余3循環(huán)碼1、編碼無規(guī)律。2、兩個相鄰碼組之間，只有 一個碼元不同,是一種高 高可靠性編碼。 一般在高分辨率設備中采用這種編碼形式，以避免計數過程出現誤碼。（2）、余三碼循環(huán)碼位權位權

24、0123456789十進制數十進制數8 4 2 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 18421碼碼2 4 2 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 12421碼碼0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 111 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0

25、 11 0 1 01 0 1 111 0 05 4 2 15421碼碼無權無權余余3碼碼 常用常用BCDBCD碼碼000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進制數二進制數自然碼自然碼 8421碼碼 2421碼碼 5421碼碼 余三碼余三碼強調1點： 8421碼與8421BCD碼是不同不同的。8421碼是上表中的自然碼。1.1.3 算術運算和邏輯運算算術運算和邏輯運算 在數字電路中，1位

26、二進制數碼可以用0和1來表示。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關系稱為二值邏輯。 二值邏輯所表示的是一對互為相反的狀態(tài)，所表示的變量與函數值僅有兩個特征值0和1，具有排中性。 當兩個二進制數碼表示兩個數量大小時，它們之間可以進行數值運算，這種運算稱為算術運算。 二進制和十進制算術運算的規(guī)則基本相同，唯一區(qū)別在于二進制數是逢二進一而不是逢十進一。例例：兩個二進制數：兩個二進制數10011001和和01010101的算術運算有：的算術運算有：加法運算加法運算100111100101減法運算減法運算100101010100乘法運算乘法運算1001X 01011001000010010000010110

27、1100101011.01011000101010110101010010從以上運算過程可以看出：從以上運算過程可以看出：乘法運算：乘法運算：可以用加法和左移移位兩種操作實現。除法運算：除法運算：可以用減法和右移移位兩種操作實現。 二進制數的加、減、乘、除運算都可以用加法運算電二進制數的加、減、乘、除運算都可以用加法運算電路來實現。路來實現。除法運算除法運算如何將減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算？ 在數字電路和數字電子計算機中，二進制數的正、負號也用0和1表示。 在定點運算的情況下；最高位作為符號位，正數為0，負數為1。其余各位0和1表示數值。這種方式表示的數碼稱為原碼原碼。例：(01011001)2 =

28、 (+89)10(11011001)2 = (-89)10在數字電路中兩數相減的運算是用在數字電路中兩數相減的運算是用補碼相加補碼相加來完成。來完成。二進制數編碼定義為：最高位作為符號位，正數為正數為0，負數為，負數為1；正數的補碼和它的原碼相同；負數的補碼是將原碼求反加1；然后將兩個補碼相加并舍去進位0100111011100100所以：（1001）2（0101）2010011101100100將減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算，簡化了運算電路結構。 當兩個二進制數碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可以按照指定的某種因果關系進行邏輯運算。邏輯運算和算術運算有著本質上的區(qū)別。因此將重點介紹邏輯運算的各種規(guī)律

29、。例：計算（例：計算（1001）2（0101）2 采用補碼運算時，首先求出（1001）2和（0101）2的補碼。1001補010010101補11011 1.2 1.2 邏輯邏輯代數中的三種基本運算代數中的三種基本運算一基本定義與運算一基本定義與運算 代數是以字母代替數代數是以字母代替數, ,稱因變量為自變量的函數稱因變量為自變量的函數, ,函數有定義域和值域。函數有定義域和值域。這些都是大家耳熟能詳這些都是大家耳熟能詳的概念。的概念。 如如或或 當自變量的取值（定義域）只有當自變量的取值（定義域）只有0 0和和1 1（非（非0 0即即1 1），），函數的取值也只有函數的取值也只有0 0和和1

30、 1（非（非0 0即即1 1）兩個數）兩個數這種代這種代數就是數就是，這種變量就是，這種變量就是，這種函，這種函數就是數就是。 邏輯代數，亦稱邏輯代數，亦稱布爾代數布爾代數，是英國數學家喬，是英國數學家喬治治 布爾（布爾（George BooleGeorge Boole）于）于18491849年創(chuàng)立的。年創(chuàng)立的。在當時，這種代數純粹是一種數學游戲，自然在當時，這種代數純粹是一種數學游戲，自然沒有物理意義，也沒有現實意義。在其誕生沒有物理意義，也沒有現實意義。在其誕生100100多年后才發(fā)現其應用和價值。其規(guī)定：多年后才發(fā)現其應用和價值。其規(guī)定：所有可能出現的數只有所有可能出現的數只有0 0和和

31、1 1兩個。兩個。基本運算只有基本運算只有“與與”、“或或”、“非非”三種。三種。二、基本邏輯運算二、基本邏輯運算設：開關閉合設：開關閉合= =“1 1” 開關不閉合開關不閉合= =“0 0” 燈亮，燈亮，L=1L=1 燈不亮，燈不亮，L=0L=0 與邏輯與邏輯只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。件事情才會發(fā)生。1 1與運算與運算BAL與邏輯表達式：與邏輯表達式：AB燈燈L不閉合不閉合不閉合不閉合閉合閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不亮不亮不亮不亮不亮不亮亮亮0101BLA0011輸輸 入入0001輸出輸出 與邏輯

32、真值表與邏輯真值表VBLAA&L=ABB真值表特點真值表特點: 任任0 則則0, 全全1則則1與邏輯運算規(guī)則：與邏輯運算規(guī)則：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1與運算與運算邏輯乘邏輯乘邏輯與邏輯與國外符號國外符號國內符號國內符號2 2或運算或運算或邏輯表達式：或邏輯表達式： LA+B 或邏輯或邏輯當決定一件事情的當決定一件事情的幾幾個條件中，只要有個條件中，只要有一個一個或一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。以上條件具備，這件事情就發(fā)生。AB燈燈L不閉合不閉合不閉合不閉合閉合閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不閉合不閉合閉合閉合不亮不亮亮亮亮亮亮亮0101BLA0011輸輸

33、 入入0111輸出輸出 或邏輯真值表或邏輯真值表LBVAL=A+BA1B或邏輯運算規(guī)則：或邏輯運算規(guī)則：或運算或運算邏輯加邏輯加邏輯或邏輯或真值表特點：真值表特點： 任任1 則則1, 全全0則則0。0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1國外符號國外符號國內符號國內符號3 3非運算非運算 非邏輯非邏輯某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。件不具備時事情才發(fā)生。A燈燈L閉合閉合不閉合不閉合不亮不亮亮亮LA0110非邏輯真值表非邏輯真值表ALRVL

34、=A1A非邏輯表達式：非邏輯表達式： AL 非邏輯運算規(guī)則：非邏輯運算規(guī)則：非運算非運算邏輯非邏輯非邏輯反邏輯反ANOTY A真值表特點真值表特點: 1則則0, 0則則1。10,01國外符號國外符號國內符號國內符號 二、其他復合邏輯運算二、其他復合邏輯運算“與與”、“或或”、“非非”是三種基本的邏輯是三種基本的邏輯關系，任何其它的邏輯關系都可以以它們?yōu)榛P系，任何其它的邏輯關系都可以以它們?yōu)榛A表示。礎表示。1.與非：與非：條件條件A、B都具備，則都具備，則Y 不發(fā)生。不發(fā)生。0101BYA0011輸輸 入入1110輸出輸出 “與與非非”真值真值表表與非與非 由與運算由與運算 和非運算和非運算

35、組合而成。組合而成。 2 2或非或非 由或運算和非由或運算和非運算組合而成。運算組合而成。0101BLA0011輸輸 入入1000輸出輸出 “或或非非”真值真值表表ABL=A+B1或非：或非：條件條件A、B任一具備，則任一具備，則L 不發(fā)生。不發(fā)生。3與或非與或非 由與運算、或運算和非運算組合由與運算、或運算和非運算組合而成。而成。4 4異或異或 異或是一種異或是一種二變量二變量邏輯運算，邏輯運算，當兩個變量當兩個變量取值相同取值相同時，邏時，邏輯函數值為輯函數值為0 0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為1 1。0101BLA0011輸輸 入入0110輸出

36、輸出 “異或異或”真值真值表表BAL異或的邏輯表達式為：異或的邏輯表達式為：BAL=A=1+ B異或：異或：條件條件A、B有一個具有一個具備，另一個不具備則備，另一個不具備則L 發(fā)生。發(fā)生。BAL任何其它的邏輯關系都可以用與、任何其它的邏輯關系都可以用與、或、非表示，或、非表示，異或怎么表示？異或怎么表示？Y= A BA BY0 010 10 00 11 同或是一種同或是一種二變量二變量邏輯運算，邏輯運算，當兩個變量當兩個變量取值相同取值相同時，邏時，邏輯函數值為輯函數值為1 1；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為0 0。5同或同或同或：同或：條件條件A、B

37、相相同，則同，則F 發(fā)生。發(fā)生。同或與異或是甚同或與異或是甚么關系？么關系？基本邏輯關系小結基本邏輯關系小結 邏輯邏輯 符號符號 表示式表示式與與&ABYABY1或或非非1YAY=ABY=A+B與非與非&ABY或非或非ABY1異或異或=1ABYY= A BAY ABY BAY1.3 邏輯邏輯代數的基本公式和常用公式代數的基本公式和常用公式數字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的數字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，所以數字電路又稱邏輯關系，所以數字電路又稱邏輯電路邏輯電路，相應的，相應的研究工具是研究工具是邏輯代數（布爾代數）邏輯代數（布爾代數）。在邏輯代數中，邏輯函數

38、的變量只能取兩個在邏輯代數中，邏輯函數的變量只能取兩個值（值（二值變量二值變量），即），即0和和1，中間值沒有意義。，中間值沒有意義。0和和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（例如：電位的低高（0表示低電位，表示低電位，1表示表示高電位）、開關的開合等。高電位）、開關的開合等。1.3.1 邏輯代數的基本運算規(guī)則邏輯代數的基本運算規(guī)則加運算規(guī)則加運算規(guī)則:0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘運算規(guī)則乘運算規(guī)則:00=0 01=0 10=0 11=1非運算規(guī)則非運算規(guī)則:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA一

39、、邏輯代數的基本公式一、邏輯代數的基本公式 3.1 邏輯代數邏輯代數吸收律吸收律反演律反演律分配律分配律結合律結合律交換律交換律重疊律重疊律互補律互補律公公 式式 101律律對合律對合律名名 稱稱 公公 式式 2基基 本本 公公 式式AA100AAA011A0AA1 AAAAAAAAABBAABBACABBCA)()(CBACBA)()(ACABCBA)()()(CABABCABAABBABAABAA)(AABAABBAA )(BABAAAA 普通代數普通代數不適用不適用!A+B C=(A+B)(A+C)分配律分配律如何證明？如何證明？1）真值表萬能的）真值表萬能的2）已有的公式、定律）已有的

40、公式、定律求證求證: （分配律第（分配律第2條）條） A+BC=(A+B)(A+C)證明證明:右邊右邊 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 結合律結合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 結合律結合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左邊左邊反演律反演律BABABABA ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 可以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明：德德 摩根摩根 (De Morgan)定理：定理：1.原變量的吸收：原變量的吸收： A+AB=A證明

41、：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收規(guī)則是指吸收多余（吸收規(guī)則是指吸收多余（冗余冗余）項，多余）項，多余（冗余冗余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。長中含短，長中含短，留下短。留下短。1.3.3 若干常用公式六大定理若干常用公式六大定理反過來用，才是最重要的！反過來用，才是最重要的！反變量的吸收：反變量的吸收：BABAA 證明：證明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：AABCDCABCDC被吸收被吸收長中含反，長中含反，去掉反

42、。去掉反。CAABBCCAAB 證明：證明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：ABACBCDABACBCBCDABACBCABAC1吸收吸收正負相對，正負相對，余全完。余全完。（混合變量的吸收）混合變量的吸收） 1.1.4 4 邏輯邏輯代數的基本定理代數的基本定理1.4.1 代入定理代入定理 對邏輯等式中的任意變量對邏輯等式中的任意變量A,若將所若將所有出現有出現A的位置都代之以同一個邏輯函數的位置都代之以同一個邏輯函數,則等式仍然成立則等式仍然成立.定理定理定理定理定理定理定理定理：變量：變量A A僅有僅有0 0和和1 1兩種可能狀態(tài)，同兩種可能狀態(tài)

43、，同時任何一個邏輯式的取值也不外乎時任何一個邏輯式的取值也不外乎0 0和和1 1，所以，所以代入定理成立！代入定理成立！ 利用它可以實現基本公式和常用公式的利用它可以實現基本公式和常用公式的多變多變量量的形式。的形式。 例如例如:分配律分配律 A(B+C)=AB+AC,若等式中的若等式中的C都用都用(C+D)代替代替,則該等式仍然成立則該等式仍然成立,即即AB+(C+D)=AB+A(C+D) 注意注意:等式中所有出現同一變量的處均以一同函數代等式中所有出現同一變量的處均以一同函數代替替.1 14 42 2 反演反演定理定理 對已知邏輯函數對已知邏輯函數F F求求“反反”函數，只要函數，只要將將

44、F F中所有的中所有的“”變變“+ +”，“+ +”變變“”，0 0變變1 1，1 1變變0 0，原變量原變量變成變成反變量反變量，反變量反變量變成變成原變量原變量，即可，這就是反演規(guī)則。，即可，這就是反演規(guī)則。 上述的原變量指變量本身，反變量指上述的原變量指變量本身，反變量指變量的變量的“反反”，如，如A A是原變量，而是是原變量，而是A A反變反變量。量。 反演定理內容：反演定理內容：將函數式將函數式 F 中所有的中所有的 + 變量與常數均取反變量與常數均取反 （求反運算）（求反運算）互補運算互補運算1.運算順序：先括號運算順序：先括號 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一個變量上的反

45、號不動。不是一個變量上的反號不動。注意注意:用處：用處：實現互補運算（求反運算）。實現互補運算（求反運算）。新表達式：新表達式：F顯然：顯然：FF (變換時，原函數運算的先后順序不變變換時，原函數運算的先后順序不變)反演反演定理定理可表示成：如果可表示成：如果Z=FZ=F（A A，B B，, , ,+,0,1,+,0,1）則）則 =F=F（ ， ，,+,+,1,0,1,0）反演反演定理定理的基礎是狄的基礎是狄摩根定理，它表述如下：摩根定理，它表述如下： = = 式（式（1） 式（式（2） Z.ABCA B CBCBC.AB我們先來證明式（我們先來證明式（2 2）：）： 若若A A，B B，C

46、C全為全為0 0，則，則 左邊左邊= = =1,=1, .000 右邊= =1 0 00 如果其中一個變量為如果其中一個變量為1 1，則：等式兩，則：等式兩邊都為邊都為0 0，因而等式成立。，因而等式成立。 如果更多的變量為如果更多的變量為1 1，則：等式兩邊，則：等式兩邊仍為仍為0 0，等式成立。，等式成立。 證明前式，利用代入規(guī)則，將后式中的證明前式，利用代入規(guī)則，將后式中的A A，B B，C C分別換成分別換成 , , , , 即可得即可得：BC = = =ABC=ABC.CBAABC從而有：從而有： = = + + += = + + +ABC.CBA BC 摩根定理說明：多變量乘積的摩

47、根定理說明：多變量乘積的“反反”等等于各變量于各變量“反反”的和，而多變量和的的和，而多變量和的“反反”等于各變量等于各變量“反反”的積。也就是的積。也就是“”變變“+ +”，“+ +”變變”“”“”后各變量求后各變量求“反反”。 由于任何邏輯函數都是有很多的與由于任何邏輯函數都是有很多的與, ,加，加，以及求以及求“反反”的組合，求其反函數可以逐步的組合，求其反函數可以逐步用摩根定理，每步都符合上述原則，則最終用摩根定理，每步都符合上述原則，則最終結果也是符合這個規(guī)則的結果也是符合這個規(guī)則的 。例例1 14 41 1求求Z=AB + BZ=AB + B（C+ C+ ）的反函數。）的反函數。

48、CD解：解： = = = = = =（ + +C+ +C）（）（A+ + DA+ + D） Z)(DCBACABCAB)(DCBABBC 以上是以上是分步分步用用摩根定理摩根定理，用，用反演定理反演定理可直接得到結果?？芍苯拥玫浇Y果。 例例1 14 42 2求求Z=A+A +FBZ=A+A +FB（C+ C+ ）的反函數）的反函數ED解：解： = = （ +E+E）（）（ + + D+ + D）注意：注意： = +E + + D= +E + + D則是錯誤的（即應先則是錯誤的（即應先“* *”后后“+ +”） ZFBCZ FBC例例1.4.31.4.3若若Y= Y= 求求CDCBAY = =（

49、不屬于單個變量上的反號應保留不變）（不屬于單個變量上的反號應保留不變） YCDCBA)(例例1.4.4 ：1)()(1 DCBAF01 DCBAF與或式與或式注意括號注意括號注意注意括號括號01 DCBAFDBDACBCAF 1)(EDCBA )(EDCBA 例例1.4.5：EDCBAF2 EDCBAF 2與或式與或式反號不動反號不動反號不動反號不動EDCBAF 2EDACABAF 21 14 43 3對偶對偶定理定理 將邏輯函數將邏輯函數F F中所有的中所有的“”變變“+ +”，“+ +”變變“”，1 1變變0 0，0 0變變1 1，而變量保持不變而變量保持不變，這樣得到的，這樣得到的新的函

50、數稱為原函數的對偶式，記作新的函數稱為原函數的對偶式，記作 。 若兩個邏輯函數相等，則它們的對偶式也相若兩個邏輯函數相等，則它們的對偶式也相等。等。這樣，有時為了證明兩個邏輯函數相等，可這樣，有時為了證明兩個邏輯函數相等，可以通過證明它們的對偶式相等來完成，以通過證明它們的對偶式相等來完成，因為有些因為有些情況下，證明它們的對偶式相等更容易情況下，證明它們的對偶式相等更容易。F與反演定理不同的地與反演定理不同的地方方 對偶規(guī)則是各基本法則、定律具有對對偶規(guī)則是各基本法則、定律具有對偶性的必然結果（例偶性的必然結果（例 公式（公式（1 1）- -（8 8）成）成立，則公式（立，則公式（1111）

51、- -（1818）已無須另作證明，）已無須另作證明，因子可逐個檢查。因子可逐個檢查。 例例 ：第一分配律是：第一分配律是：A A（B+CB+C）=AB+AC=AB+AC 其對偶式是：其對偶式是：A+BC=A+BC=（A+BA+B）（）（A+CA+C）這就是第二分配律這就是第二分配律 1.5 1.5 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法解：解：第一步：設置自變量和因變量。第一步：設置自變量和因變量。 第二步：狀態(tài)賦值。第二步：狀態(tài)賦值。 對于自變量對于自變量A、B、C設：設： 同意為邏輯同意為邏輯“1”， 不同意為邏輯不同意為邏輯“0”。 對于因變量對于因變量L設：設： 事情通過為邏輯事情通

52、過為邏輯“1”， 沒通過為邏輯沒通過為邏輯“0”。1.5.1 、邏輯函數的建立、邏輯函數的建立例例1.5.11.5.1 三個人表決一件事情，結果按三個人表決一件事情，結果按“少數服從多數少數服從多數”的原則決的原則決定，試建立該邏輯函數。定，試建立該邏輯函數。第三步：根據題義及上述規(guī)定第三步：根據題義及上述規(guī)定 列出函數的真值表。列出函數的真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 L三人表決電路真值表三人表決電路真值表 一般地說，若輸入邏輯變量一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C的取值確定以后，輸出邏輯變量的取值確定以后，

53、輸出邏輯變量L的值也唯的值也唯一地確定了，就稱一地確定了，就稱L是是A、B、C的邏輯函數，的邏輯函數，寫作：寫作： L=f（A，B，C） 邏輯函數與普通代數中的函數相比較，有兩邏輯函數與普通代數中的函數相比較，有兩個突出的特點：個突出的特點：（1 1）邏輯變量和邏輯函數只能取兩個值）邏輯變量和邏輯函數只能取兩個值0 0和和1 1。（2 2）函數和變量之間的關系是由）函數和變量之間的關系是由“與與”、“或或”、“非非”三種基本運算決定的。三種基本運算決定的。四種表示方法四種表示方法邏輯代數式邏輯代數式 (邏輯表示式邏輯表示式, 邏輯函數式邏輯函數式)11&1ABY 邏輯電路圖邏輯電路圖:

54、卡諾圖卡諾圖n2n個輸入變量個輸入變量 種組合種組合。真值表：真值表：將邏輯函數輸入變量取值的不同組合將邏輯函數輸入變量取值的不同組合與所對應的輸出變量值用列表的方式與所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出的表格。一一對應列出的表格。BABAF 1.5.2、邏輯函數的表示方法、邏輯函數的表示方法將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列出。出。 n個變量可以有個變量可以有2n個輸入狀態(tài)。個輸入狀態(tài)。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ） 真值表真

55、值表列真值表的方法：列真值表的方法：一一般按二進制的順序，般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有一對應，列出所有可能的狀態(tài)?？赡艿臓顟B(tài)。例如：例如：2） 邏輯函數式邏輯函數式 邏輯代數式：邏輯代數式：把邏輯函數的輸入、把邏輯函數的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數式，的組合式。也稱為邏輯函數式，通常通常采用采用“與或與或”的形式。的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 3） 邏輯圖邏輯圖把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示出來，就構成了邏輯圖。出來，就構成了邏輯

56、圖。&AB&CD 1FF=AB+CD例例1.5.2 1.5.2 列出下列函數的真值表：列出下列函數的真值表：ABCCABCBABCAL 1 1真值表真值表將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數值排列將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數值排列在一起而組成的表格。在一起而組成的表格。 2 2函數表達式函數表達式由邏輯變量和由邏輯變量和“與與”、“或或”、“非非”三種運算三種運算符所構成的表達式。符所構成的表達式。例如，由例如，由“三人表決三人表決”函數的函數的真真值表可寫出值表可寫出邏輯表達式：邏輯表達式：解：解：該函數有兩個變量，有該函數有兩個變量，有4 4種取值的種取值的

57、可能組合，將他們按順序排列起來即可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表。得真值表。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111 L三人表決電路真值表三人表決電路真值表 反之，由函數表達式也可以轉換成真值表。反之，由函數表達式也可以轉換成真值表。真值表真值表0 00 11 01 1A B 1001 LBABAL 3 3邏輯圖邏輯圖由邏輯符號及它們之間的連線而構成的圖形。由邏輯符號及它們之間的連線而構成的圖形。例例1.5.41.5.4 寫出如圖所示寫出如圖所示邏輯圖的函數表達式。邏輯圖的函數表達式。解：解：可用兩個非門、兩個與門可用兩

58、個非門、兩個與門和一個或門組成。和一個或門組成。BABAL例例1.5.31.5.3 畫出函數畫出函數 的邏輯圖：的邏輯圖： ACBCABL解：解：&CBA&L1&L1AB11Logical Function CAD三種表示方法相互轉換 1、Digital Design software 2、DIY ？1.6 1.6 邏輯邏輯函數的公式化簡法函數的公式化簡法1 1邏輯函數式的常見形式邏輯函數式的常見形式一個邏輯函數的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并一個邏輯函數的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉換。且能互相轉換。例如：例如：BAACL 與與或表達式或表達式

59、)(CABA 或或與表達式與表達式BAAC 與非與非與非表達式與非表達式CABA 或非或非或非表達式或非表達式BAA C與與或或非表達式非表達式其中，與其中，與或表達式是邏輯函數的最基本表達形式?；虮磉_式是邏輯函數的最基本表達形式。2 2邏輯函數的最簡邏輯函數的最簡“與與或表達式或表達式” 的標準的標準 3 3用代數法化簡邏輯函數用代數法化簡邏輯函數BAAB （1）并項法：）并項法：運用公式運用公式 將兩項合并為一項，消去一個變量。將兩項合并為一項，消去一個變量。1 AA)()(CBCBACBBCAL 例：例：CBACABCBAABC )()(CCBACCAB ABBA )(（1 1）與項最少

60、，即表達式中）與項最少，即表達式中“+ +”號最少。號最少。（2 2）每個與項中的變量數最少，即表達式中）每個與項中的變量數最少，即表達式中“ ”號最少。號最少。（4）配項法：）配項法： （2）吸收法：）吸收法：（3）消去法：）消去法：運用吸收律運用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項。，消去多余的與項。)(DECBABAL 例：例：EBABAL 例：例：BA 運用吸收律運用吸收律 消去多余因子。消去多余因子。BABAA EBBA EBA 先通過乘以先通過乘以 或加上或加上 ， 增加必要的乘積項，增加必要的乘積項，再用以上方法化簡。再用以上方法化簡。)(AA )(AABCDCAABL 例：例：)(AABCDCAAB BCDAABCDCAAB CAAB 在化簡