第4章電磁場數(shù)值模擬-有限差分法

1、計算地球物理地球物理與信息工程學(xué)院 物探系周 輝2014年第四章 電磁場數(shù)值模擬有限差分法 = +=00ttDH JBEDB 在用時間域有限差分法（FDTDfinite-difference time-domain method）求解麥克斯韋方程時，只求解兩個旋度方程，而兩個散度方程自然得到滿足。 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬E 電場強度H 磁場強度D 電感應(yīng)強度B 磁感應(yīng)強度J 電流密度q 自由電荷=0 DEBHJE地質(zhì)雷達探測時，通常只記錄與測線方向垂直的水平電場分量，并假設(shè)地下介質(zhì)為二維的，故考慮僅有一個電場分量的麥克斯韋方程

2、組。 二維非均勻介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為 1yxzyyEHHEItzx , , 1yxEHtz, , 1yzEHtx . . 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬zx0, x z, x z二維介質(zhì) Yee 網(wǎng)格及電磁場空間配置 . 1 2 I 1 2 K z i k x Ey Hz Hx 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬= +=CSSCSttdddtddtDH JBEHlDsJsElBs微分形式積分形式1yxzyyEHHEItzx 1 21 21 2( , )111( ,)( ,)2

3、2nnnxxxHi kHi kHi kzz 1 21 21 2( , )111(, )(, )22nnnzzzHi kHikHikxx 1 21( , )1( , )( , )nynnyyEi kEi kE i ktt 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬Yee 網(wǎng)格及電磁場空間配置 . 1 2 I 1 2 K z i k x Ey Hz Hx 利用 1 211( , )( , )( , )2nnnyyyEi kEi kE i k 得 11 21 2121 21 213411( , )( , )( ,)( ,)2211(, )(, ),22

4、nnnnyyxxnnnzzyEi kAE i kAHi kHi kAHikHikA Ii k 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬1yxEHtz, , 1yzEHtx 在(1 2)nt時刻磁場分量的差分格式 1 21 2511( ,)( ,)( ,1)( , )22nnnnxxyyHi kHi kAE i kE i k 1 21 2611(, )(, )(1, )( , )22nnnnzzyyHikHikAE ikE i k 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬11 21 2121 21

5、 213411( , )( , )( ,)( ,)2211(, )(, ),22nnnnyyxxnnnzzyEi kAE i kAHi kHi kAHikHikA Ii k1 21 2511( ,)( ,)( ,1)( , )22nnnnxxyyHi kHi kAE i kE i k 1 21 2611(, )(, )(1, )( , )22nnnnzzyyHikHikAE ikE i k 求解步驟： （1）用磁場的更新式求(1 2)nt時刻的磁場； （2）用電場的更新式求(1)nt時刻的電場。 如此循環(huán)直至最大時刻。 1.求解麥克斯韋方程組的時間域有限差分法 電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間

6、域有限差分）模擬設(shè)計PML 的原理是： 當(dāng)內(nèi)部介質(zhì)和邊界介質(zhì)的波阻抗一樣， 即波阻抗匹配時，電磁波入射到邊界時，電磁波只沿原方向傳播而不被反射回來。當(dāng)然，必須要求電磁波在邊界中快速衰減，當(dāng)電磁波傳播到最外側(cè)的邊界時，電磁波的能量衰減到 60 分貝以下，這時即使有邊界反射，能量也極其微弱，對需要計算波場的影響可以忽略。 PML 吸收效果最好。PML 已經(jīng)在聲波、彈性波模擬中得到廣泛應(yīng)用。 2.完全匹配層(Perfectly Matched Layers)吸收邊界電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬以無吸收介質(zhì)的電磁波傳播為例說明 PML 吸收邊界。 yxzEHHtzx （1） yxE

7、Htz，yzEHtx （2） 將yE分解為 x 方向傳播的部分和 z 方向傳播的部分，即 yyxyzEEE 在邊界中，電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率分別記為*, 。 2.完全匹配層(Perfectly Matched Layers)吸收邊界電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬（1）式寫為 yxzxyxEHEtx yzxzyzEHEtz （2）式寫為 *yxyzxzxEEHHtz *yxyzzxzEEHHtx 2.完全匹配層(Perfectly Matched Layers)吸收邊界電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬*00zzxx *00zzxx *0*0,0, ,0zzxx *0,0

8、,0zzxx *0,00,0 xxzz *0,00,0 xxzz 內(nèi)部區(qū)域 *0,0 x z *0,00,0 xxzz PML 2.完全匹配層(Perfectly Matched Layers)吸收邊界電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬yxzEHHtzxyxEHtzyzEHtx yxzxyxEHEtx yzxzyzEHEtz*yxyzxzxEEHHtz*yxyzzxzEEHHtx 根據(jù)阻抗匹配條件，可以得到如下關(guān)系 *xx，*yy 邊界內(nèi)的電導(dǎo)率是可變的。以左右邊界為例，x的分布為 maxmax,0,11,1MxML xxxL xL xL xxNLxxNLxxNLxL x L為 PML 的層數(shù)，N為橫向剖分的網(wǎng)格數(shù)，M為一常數(shù)，一般取為3。2.完全匹配層(Perfectly Matched Layers)吸收邊界電磁響應(yīng)的交錯網(wǎng)格有限差分（時間域有限差分）模擬L 為 PML 的層數(shù)，N 為橫向剖分的網(wǎng)格數(shù)，M 為一常數(shù)，一般取為 3。max為 PML 最外側(cè)的電導(dǎo)率，它由邊界的反射系數(shù)的大小決定。L 一般取 8-10 左右，當(dāng)然，L 越大吸收效果越好，但計算效率就越低。 2.完全匹配層(Perfectl