多邊形的外角和

1、RJ八(上)教學課件第十一章第十一章 三角形三角形11.3 多邊形及其內(nèi)角和多邊形及其內(nèi)角和11.3.2 多邊形的內(nèi)角和情境引入學習目標1.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.（重點）2.學會運用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決問題.（難點） 法國的建筑事務所atelierd將協(xié)調(diào)堅固的蜂窩與人類天馬行空的想象力結(jié)合，創(chuàng)造了這個“abeilles bee pavilion”.思考：你知道正六邊形的內(nèi)角和是多少嗎？問題2 ：你知道長方形和正方形的內(nèi)角和是多少 度？ 問題1 ：三角形內(nèi)角和是多少度？三角形內(nèi)角和 是180.都是360.問題3： 猜想任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？ 多邊形的內(nèi)角

2、和1猜想：四邊形ABCD的內(nèi)角和是360.問題4 ： 你能用以前學過的知識說明一下你的結(jié)論嗎？方法1：如圖，連接AC,則該四邊形被分為兩個三角形，所以四邊形ABCD內(nèi)角和為1802=360.ABCDABCDE方法2：如圖，在CD邊上任取一點E，連接AE、DE，則該四邊形被分成三個三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.方法3：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點E，連接AE、BE、CE、DE，把四邊形分成四個三角形：ABE、ADE、CDE、CBE.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為：1804-(AEB+AED+CED+CEB)=1804-360=

3、360.ABCDEABCDP方法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180 3 180 = 360.這四種方法都運用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學了的三角形內(nèi)角和求解.結(jié)論： 四邊形的內(nèi)角和為360. 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理由.解： 如圖，四邊形ABCD中，A+ C =180.A+B+C+D=(42) 180 = 360 ，因為 BD= 360（AC） = 360 180 =180.所以 ABCD即如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.例

4、1【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，A與C互補，BE平分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求證：DCF為直角三角形證明：在四邊形ABCD中，A與C互補，ABC+ADC=180.BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90.BEDF，EBF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF為直角三角形運用了整體思想ACDEBABCDEF問題5 你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內(nèi)角和嗎? 內(nèi)角和為180 3 = 540.內(nèi)角和為180 4 = 720.n 邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個數(shù)從多邊形的一頂點引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)0n -3 1231

5、234 n -2 （ n -2 ）1801180=1802180=360 3180=5404180=720由特殊到一般 分割多邊形三角形分割點與多邊形的位置關系頂點邊上內(nèi)部外部多邊形的內(nèi)角和公式n邊形內(nèi)角和等于(n-2)180 一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720，并且這個多邊形的各內(nèi)角都相等，這個多邊形的每個內(nèi)角是多少度？解：設這個多邊形邊數(shù)為n，則 （n-2）180=360+720， 解得n=8. 多邊形的內(nèi)角和為（8-2）180=1080. 這個多邊形的每個內(nèi)角都相等， 它每一個內(nèi)角的度數(shù)為 10808=135.例2 已知n邊形的內(nèi)角和=（n-2）180（1）甲同學說，能取360；

6、而乙同學說，也能取630甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n若不對，說明理由.解：360180=2， 630180=390， 甲的說法對，乙的說法不對， 360180+2=4 故甲同學說的邊數(shù)n是4.例3（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360，用列方程的方法確定x解：依題意有（n+x-2）180-（n-2）180=360，解得x=2故x的值是2【變式題】一個同學在進行多邊形的內(nèi)角和計算時，求得內(nèi)角和為1125，當他發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？解：設此多邊形的內(nèi)角和為x，則有1125x1125180，即180645x18

7、0745.因為x為多邊形的內(nèi)角和，所以它是180的倍數(shù)，所以x18071260.所以729，12601125135.因此，漏加的這個內(nèi)角是135，這個多邊形是九邊形思路點撥：多邊形的內(nèi)角的度數(shù)在0180之間. 如圖，在五邊形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度數(shù)解析：根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540，由C、D、E的度數(shù)可求EAB+ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得PAB與PBA的角度和，進一步求得P的度數(shù)例4解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-C-D-E=230.AP平分EAB,P

8、AB EAB.同理可得ABP ABC.P+PAB+PBA=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB+ABC)=180 230=6512121212 如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和問題1：任意一個外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關系？問題2：五個外角加上它們分別相鄰的五個內(nèi)角和是多少？EBCD123 45A互補5180=900多邊形的外角和2EBCD123 45A五邊形外角和=360 = =5個平角五邊形內(nèi)角和= =5180 (52) 180結(jié)論：五邊形的外角和等于360.問題3：這五個平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關系？ 在n邊形的每個頂點處各

9、取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和n邊形外角和n邊形的外角和等于360.(n2) 180=360 =n個平角-n邊形內(nèi)角和= n180 AnA2A3A4123 4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？與邊數(shù)無關問題4：回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個內(nèi)角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？每個內(nèi)角的度數(shù)是每個外角的度數(shù)是(2) 180,nn 360.n練一練：(1)若一個正多邊形的內(nèi)角是120 ,那么這是正_邊形.(2)已知多邊形的每個外角都是45,則這個多邊形是 _邊形.六正八 已知一個多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù).解： 設多邊形的邊數(shù)為n. 它的內(nèi)角和

10、等于 (n2)180， 多邊形外角和等于360， (n2)180=2 360. 解得 n=6. 這個多邊形的邊數(shù)為6.例5 已知一個多邊形的每個內(nèi)角與外角的比都是7:2，求這個多邊形的邊數(shù).解法一：設這個多邊形的內(nèi)角為7x ,外角為2x,根據(jù)題意，得7x+2x=180，解得x=20.即每個內(nèi)角是140 ，每個外角是40 .360 40 =9.即這個多邊形是九邊形.還有其他解法嗎？例6解法二：設這個多邊形的邊數(shù)為n ,根據(jù)題意，得解得n=9.即這個多邊形是九邊形.18027,3602n【變式題】一個正多邊形的一個外角比一個內(nèi)角大60，求這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)解：設該正多邊形的內(nèi)角是x，

11、外角是y，則得到一個方程組 解得而任何多邊形的外角和是360，則該正多邊形的邊數(shù)為360120=3，故這個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是60，邊數(shù)是三條60,180,yxxy60,120.xy 如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，求BED的度數(shù)解：由題意得AB=AE,所以AEB= (180-A)=36，所以BED=AED-AEB=108-36=72.52180=1085AAED，12例71.判斷(1)當多邊形邊數(shù)增加時，它的內(nèi)角和也隨著增加.( )(2)當多邊形邊數(shù)增加時，它的外角和也隨著增加.( )(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等 ( ) 2.一個正多邊形的內(nèi)角和為720，則這個正多邊形的 每一個內(nèi)角等于_1203.如圖所示，小華從點A出發(fā)，沿直線前進10米后左轉(zhuǎn)24，再沿直線前進10米，又向左轉(zhuǎn)24，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點A時，走的路程一共是_米1504.一個多邊形的內(nèi)角和不可能是（ ）A.1800 B.540 C.720 D.810 D5.一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形 內(nèi)角和等于（ ）A.360 B.540 C.720 D.900 B6. 一個多邊形的內(nèi)角和為1800，截去一個角后，求得到的多邊形的內(nèi)角和.解：180018010，原多邊形邊數(shù)為10212.一個多邊形截去一個內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1