《維納濾波》

1、整理課件現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理第一章 維納濾波整理課件主要內(nèi)容 1.1 維納濾波問題描述 1.2 維納FIR濾波器 1.3 維納非因果IIR濾波器 1.4 維納因果IIR濾波器 1.5 深入了解的預(yù)備知識(shí) 1.6 維納IIR濾波器計(jì)算例子 1.7 維納預(yù)測(cè)器 nx ns nv真實(shí)信號(hào) 觀察/測(cè)量數(shù)據(jù)加性噪聲/干擾 is nx nh nh i x n i nsnsne線性估計(jì)線性估計(jì)問題最小均方誤差(MMSE)估計(jì)(minimum mean-square error)估計(jì)誤差 2minnE e nh n1.1 維納濾波問題描述維納濾波-對(duì)真實(shí)信號(hào)的最小均方誤差估計(jì)問題.平滑濾波預(yù)測(cè) niixinhns

2、0 11npniixinhns 10Niixinhns這里我們主要考慮濾波問題，即線性估計(jì)根據(jù)其取值范圍不同通常有下面幾種情況: 121003210012000100001210NxxxxhNhNhNhhhhhhhNssss 1, 1, 0,0Nninxihnsni問題在于估計(jì)濾波器的參數(shù)/單位沖激響應(yīng)序列正交正交方程方程 : jjnxneEjjnxneEjhneneEjhn,0, 1, 0,022標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 (Wiener-Hopf equations): autocorrelation sequence of cross-correlation sequence of and xxs

3、xRmiE x ni x nmx nRmE s n x nms nx n 維納-霍夫（Wiener-Hopf）/標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程 ,sxxxiRmh i Rm im is nx nh nh i x n i nsnsne 2minnE e nh n任何時(shí)刻的估計(jì)誤差都與用于估計(jì)的所有數(shù)據(jù)（即濾波器的輸入）正交整理課件注意: A data-dependant linear least square error estimation Wiener-Hopf equation - solutions Orthogonal equation - decorrelationWiener Filters下標(biāo)i的

4、取值范圍決定了FIR,非因果IIR，因果IIR is nx nh nh i x n i TTNnxnxnxnNhhh11110 xhFIR (Finite Impulse Response) Wiener Filter1.2 求解求解 Wiener-Hopf Equations -FIR濾波器濾波器 s nnTh x 1210032130122101121012101, 1, 0,10NhhhhRNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRNRRRRNmimRihmRxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxsxsxsxsxNixxsx nnsENRRRRsxsxsxsxx

5、P 1210 nnERNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR 0321301221011210RhPRhPTTor 維納維納-霍夫方程霍夫方程 展開為矩陣形式展開為矩陣形式Solution: nnnEnnsEnnnsxxxxxRPxhPRhTT1TT1opt1整理課件練習(xí) 完成習(xí)題完成習(xí)題 2.9 (1)和和2.9(2) 后后如何利用上面給出的公式計(jì)算如何利用上面給出的公式計(jì)算 FIR 維納濾波器的參數(shù)維納濾波器的參數(shù)?dataP=Es(n)x(n), R=Ex(n)xT(n)(1)hop =R-1P整理課件FIR維納

6、濾波器結(jié)構(gòu)Wiener Filters( )s m( )x m(1)x m(2)x m(1)x m p ( )s m1xx xsw R P標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 : dzzzHjnhzSzSzHzSzHzSnoptoptxxsxoptxxoptsx121 mimRihmRixxsx,1.3 求解求解 Wiener-Hopf Equations -非因果非因果 IIR濾波器濾波器Solution :整理課件1.4 求解求解 Wiener-Hopf Equations -因果因果 IIR濾波器濾波器標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 : 0,0mimRihmRixxsx整理課件 zA nw nvzB1 zG ns n n

7、x nsWhitening filterOptimum causal filter for white input將IIR濾波器分解為兩部分1( )( )( )H zG zB z第一部分為白化濾波器（將輸入信號(hào)變?yōu)榘自肼暎┑诙糠譃橐园自肼暈榧?lì)的最優(yōu)因果濾波器。計(jì)算步驟計(jì)算步驟 因式分解（譜分解定理）因式分解（譜分解定理）(2) 分解為因果部分和非因果部分分解為因果部分和非因果部分 111zBzSzBzSzBzSsxsxsx(3) 計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù) 21111G(z)=sxcSzHzB zB zB z(4) 計(jì)算沖激響應(yīng)（逆計(jì)算沖激響應(yīng)（逆Z變換）變換） 12zBzBzSxx(5)

8、計(jì)算最小均方誤差計(jì)算最小均方誤差 dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21維納濾波器的均方誤差維納濾波器的均方誤差 0 2minesRnsneEnsnsneEneEn 11min. .1 210 2 mesescesesu cessssss s sssoptxsRmSz zdzjnRSz z dzjSzSzSzSzSzHz Sz dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21證明上式為什么維納濾波器比一般線性濾波器性能更好？為什么維納濾波器比一般線性濾波器性能更好？ sxssssoptxxxxssvvssoptssvvSzSzSzHzSzSzSzSzSHSS 0 01

9、 0optvvoptssoptvvHSHSHS mimRihmRixxsx,Minimum Phase Sequence 如果一個(gè)穩(wěn)定的因果序列具有有理如果一個(gè)穩(wěn)定的因果序列具有有理Z變換并且其所有的零變換并且其所有的零點(diǎn)和極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則為最小相位序列。點(diǎn)和極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則為最小相位序列。Maaa,10當(dāng)下式成立時(shí)為最小相位序列當(dāng)下式成立時(shí)為最小相位序列 1,11100iMiiMiiizzzazazA1.5 一些預(yù)備知識(shí)1.最小相位序列 例如：有限序列例如：有限序列最小相位多項(xiàng)式，最小相位系統(tǒng)最小相位多項(xiàng)式，最小相位系統(tǒng)為什么一個(gè)所有零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的序列具有最小相位滯后？為什么

10、一個(gè)所有零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的序列具有最小相位滯后？假設(shè)假設(shè)A(Z)是一個(gè)是一個(gè)M階多項(xiàng)式，僅有一個(gè)零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)：階多項(xiàng)式，僅有一個(gè)零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)： zFzzzA111這里這里F(z)是一個(gè)是一個(gè)M-1階多項(xiàng)式，其所有的零點(diǎn)都位于單位圓階多項(xiàng)式，其所有的零點(diǎn)都位于單位圓外外The zero:1zz 共軛倒序關(guān)系得到另一個(gè)序列共軛倒序關(guān)系得到另一個(gè)序列 B(z) zFzzzB11The zero:11 zz111111 1 1zzzzzz共軛系數(shù)倒序 zFzzzA111 zFzzzB11 BAzBzAzzzzzzzzzzzzz 11111111111(1) 幅度特性（單位圓上，即幅度特性（單位

11、圓上，即|z|=1）(2) 相位滯后特性相位滯后特性Phase lag: AeAeAAAjAjAarg,arg BeBeBBBjBjBarg,arg相位差相位差 : jjjjjjjeeezezeezezBA211111 argarg2 2 220, 0BABAAB11arg argzezejj假設(shè)假設(shè)A(z)為為M階多項(xiàng)式，其所有的零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)。階多項(xiàng)式，其所有的零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)。最大相位序列最大相位序列最大相位多項(xiàng)式最大相位多項(xiàng)式最大相位系統(tǒng)最大相位系統(tǒng)M2這里存在著這里存在著 個(gè)不同的序列個(gè)不同的序列(通過對(duì)各個(gè)因子作通過對(duì)各個(gè)因子作共軛倒序共軛倒序)，這些序列具有相同的幅度特性但

12、是不同，這些序列具有相同的幅度特性但是不同的相位特性的相位特性 11112111MA zzzz zz z 最小相位序列最小相位序列最小相位多項(xiàng)式最小相位多項(xiàng)式最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)任何任何實(shí)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的的有理有理功率譜都可以被唯一分解為下面形功率譜都可以被唯一分解為下面形式：式：廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)模型：廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)模型：（任何平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可以看作是由白（任何平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可以看作是由白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)因果和穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出噪聲序列激勵(lì)一個(gè)因果和穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出）信號(hào)合成信號(hào)合成信號(hào)白化信號(hào)白化 s.polynomial phase minimum

13、areboth and , where12zDzNzDzNzBzBzBzSxx一些預(yù)備知識(shí): 2. 譜因子分解定理和廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)模型 任何平穩(wěn)隨機(jī)過程可以看作是一個(gè)穩(wěn)定的因果線性系統(tǒng)在白任何平穩(wěn)隨機(jī)過程可以看作是一個(gè)穩(wěn)定的因果線性系統(tǒng)在白噪聲序列激勵(lì)下的輸出。噪聲序列激勵(lì)下的輸出。(2) 如果如果x(n)使用逆濾波器使用逆濾波器1/B(z)進(jìn)行濾波，則輸出為白噪進(jìn)行濾波，則輸出為白噪聲序列。聲序列。(3) 由于信號(hào)由于信號(hào)x(n)和白噪聲由一個(gè)可逆的變換相互關(guān)聯(lián)，可和白噪聲由一個(gè)可逆的變換相互關(guān)聯(lián)，可以相互求得，所以他們包含了同樣的信息。以相互求得，所以他們包含了同樣的信息。 0,0mim

14、RihmRixxsx 0iinxihnhnxns nnx2 ng 0222022,0where ,011sisissRmg i Rm imRmmRmg im ig mmg nRnG zSz 輸入為白噪聲，方差為輸入為白噪聲，方差為因果因果 IIR 維納濾波器沖激響維納濾波器沖激響應(yīng)為應(yīng)為:Stable, Causal. The poles inside the unit circle.3. 因果維納因果維納IIR (白噪聲作輸入白噪聲作輸入) polynomils phase minimum areboth and ,12zDzNzDzNzBzBzBzSxx功率譜分解定理is causal a

15、nd optimal zG zSzGs21 iinxifn zGzBzHc14.因果維納因果維納IIR濾波器濾波器 -具有有理功率譜的輸入信號(hào)具有有理功率譜的輸入信號(hào) 121zBzSzBzHsxc 12111 zBzSzGzBzSzSzFzSmRmfimRifinxifmnsEnmnsEmRsxsxsxssxisxisGiven: 信號(hào)模型信號(hào)模型 測(cè)量模型測(cè)量模型 1 ,1anwnasns 1 ,cnvncsnx其中，假設(shè)下面條件成立其中，假設(shè)下面條件成立: 00, 0, 1 iwnvEisnvERivnvEininQiwnwEninini RzSQzSvvww白噪聲白噪聲1.6 維納因果

16、IIR濾波器計(jì)算實(shí)例Solution: RazazQczSzSczSzSazazcQzcSzSzcSzSzSazazQzSnvncsnxnwnasnsvvssvcsxxsssvssvcsssxss11 11 11 , 1122112(1) 輸入信號(hào)功率譜因式分解輸入信號(hào)功率譜因式分解 1,11, 111111 1111121221222212fazfzzBzBzBazazzRaQcaRzRaQcaRRaQcRazazQczSxxzffzffffzfzzRaQcaRzRaQcaRRaQc212221222122221111111111分子分子:0,22PPcRRPaPQRaQcaRffRacQf

17、2222221111Ricatti Equation(2) 分解為因果和非因果部分分解為因果和非因果部分 fzazcQfzazazazcQzBzSzGsx111111111 21G1zG za222caRfRc PRP222or vfaRafP為Ricatti Equation的正解。2G1cQfa(3) 計(jì)算因果計(jì)算因果IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù) 211212112111 11111 111 1 Wiener 1cHzG zB zcQfafzazazcQfafzGfzcQGfa增益PcRaRf2afPPcRRPaPQ122PcRcPcPfacQG2221PcR22cGaPcRPaca

18、PcRaRf1222PcRcPG2cGaf1f,G,P間的關(guān)系：method for computing causal IIR Wiener filter22221(1) (2 ) o r 1(3) 1caR PQPPRc PcPGRc Pa RffacGRc PGHzfz正 解計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)步驟 因式分解（譜分解定理）因式分解（譜分解定理）(2) 分解為因果部分和非因果部分分解為因果部分和非因果部分 111zBzSzBzSzBzSsxsxsx(3) 計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù) 21111G(z)=sxcSzHzB zB zB z(4) 計(jì)算沖激響應(yīng)（逆計(jì)算沖激響應(yīng)（逆Z變換）變換） 12zBzBzSxx(5) 計(jì)算最小均方誤差計(jì)算最小均方誤差 dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21回顧計(jì)算步驟整理課件1.7 維納預(yù)測(cè)器 zH nw nv zB1 zG w n nx nsWhitening filterOptimum causal filter for white in