高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)》教案

1、導(dǎo)數(shù)的背景教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義教學(xué)重點(diǎn)瞬時(shí)速度、切線的斜率、邊際成本教學(xué)難點(diǎn)極限思想教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課1.瞬時(shí)速度問題1：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？析：大家知道，自由落體的運(yùn)動公式是（其中g(shù)是重力加速度）.當(dāng)時(shí)間增量很小時(shí)，從3秒到（3）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度.從3秒到（3）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：從而，.從上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于29.4米/秒.此時(shí)我們說，當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限是29.4.當(dāng)趨向于0時(shí)，平均速度

2、的極限就是小球下降3秒時(shí)的速度，也叫做瞬時(shí)速度.一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是ss（t），則物體在t到（t）這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為.如果無限趨近于0時(shí)，無限趨近于某個(gè)常數(shù)a，就說當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限為a，這時(shí)a就是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度.2.切線的斜率問題2：P（1,1）是曲線上的一點(diǎn)，Q是曲線上點(diǎn)P附近的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P趨近時(shí)割線PQ的斜率的變化情況.析：設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（1）2，點(diǎn)Q對于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的增量（即函數(shù)的增量），所以，割線PQ的斜率.由此可知，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，變得越來越小，越來越接近2；當(dāng)點(diǎn)Q無限接近于點(diǎn)P時(shí)，即無限趨近于0時(shí)，無限趨近

3、于2.這表明，割線PQ無限趨近于過點(diǎn)P且斜率為2的直線.我們把這條直線叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.由點(diǎn)斜式，這條切線的方程為：.一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線C，P（），Q（）是曲線C上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動.當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P，即趨向于0時(shí)，如果割線PQ無限趨近于一個(gè)極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，割線PQ的斜率無限趨近于切線PT的斜率k，也就是說，當(dāng)趨向于0時(shí)，割線PQ的斜率的極限為k.導(dǎo)數(shù)的概念（教學(xué)目標(biāo)與要求：理解導(dǎo)數(shù)的概念并會運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念以及求導(dǎo)數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過程：一、導(dǎo)入新課：上節(jié)我們

4、討論了瞬時(shí)速度、切線的斜率。雖然它們的實(shí)際意義不同，但從函數(shù)角度來看，卻是相同的，都是研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限。由此我們引出下面導(dǎo)數(shù)的概念。二、新授課：1.設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即4.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：（1）.求函數(shù)的改變量。（2）.求平均變化率。（3）.取極限，得導(dǎo)數(shù)。幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)（C為常數(shù)）.(2).(3).(4).(5)；.(6) ;.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）.（2）.（3）.1、兩個(gè)常用函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)：2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： 如果函數(shù)有導(dǎo)數(shù)，那么也就是說，兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差；常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） （2）（3） （4） （5）為常數(shù))例2：已知曲線上一點(diǎn)，求： （1）過點(diǎn)P的切線的斜率； （2）過點(diǎn)P的切線方程.三、課堂小結(jié)：多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)用四、課堂練習(xí)：1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）（4）（5） （6）2、已知曲線上有兩點(diǎn)A（4，0），B（2，4），求：（1）割線AB的斜率；（2）過點(diǎn)A處的切線的斜率；（3）點(diǎn)A處的切線的方程.3、求曲線在點(diǎn)M（2，6）處的切線方程.函數(shù)的單調(diào)性

6、與極值教學(xué)目標(biāo)：正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學(xué)過程：一引入：以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下，比較f(x1)<f(x2)與的大小，在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下，比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.二新課講授1 函數(shù)單調(diào)性 我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù).從函數(shù)的圖像可以看到：在區(qū)間（2，）內(nèi)，切線的斜率為正，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而增大，即

7、>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（2，）內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即0時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（，2）內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。例1 確定函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。y例2 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x02 2 極大值與極小值觀察例2的圖可以看出，函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極大值；函數(shù)在

8、X=2的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極小值。一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值；如果的值比附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請注意以下幾點(diǎn)：（）極值是一個(gè)局部概念。由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。（）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值

9、可以不止一個(gè)。oaX1X2X3X4baxy（）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而>。（）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有。但反過來不一定。如函數(shù)，在處，曲線的切線是水平的，但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大，也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小。假設(shè)使，那么在什么情況下是的極值點(diǎn)呢？oaX0baxyoaX0baxy如上左圖所示，若是的極大值點(diǎn)，則兩側(cè)

10、附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于。因此，的左側(cè)附近只能是增函數(shù)，即。的右側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，同理，如上右圖所示，若是極小值點(diǎn)，則在的左側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，在的右側(cè)附近只能是增函數(shù)，即，從而我們得出結(jié)論：若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值。xoy例3 求函數(shù)的極值。三 小結(jié)1求極值常按如下步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；求方程=0的根，這些根也稱為可能極值點(diǎn)；檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點(diǎn)。(最好通過列表法)四 鞏固練習(xí) 1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） （

11、2） 2 求下列函數(shù)的極值（1） （2）（3） （4）函數(shù)的最大與最小值（教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生掌握可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上所有點(diǎn)（包括端點(diǎn)）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲?；2、使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法教學(xué)重點(diǎn)：掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法教學(xué)難點(diǎn)：提高“用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值”的應(yīng)用能力一、復(fù)習(xí)：1、；2、3、求y=x327x的 極值。二、新課yxX2oaX3bx1在某些問題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上，哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小觀察下面一個(gè)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是_在區(qū)間上求函數(shù)的最大值與最小值的步驟：1、函數(shù)在內(nèi)有導(dǎo)數(shù) ；2、求函數(shù)在內(nèi)的極值3、將函數(shù)在內(nèi)的極值與比較，其中最大的一個(gè)為最大值 ，最小的一個(gè)為最小值三、例1、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。解：先求導(dǎo)數(shù)，得令0即解得導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以及，如下表X2（2，1）1（1，0）0（0，1）1（1，2）2y/000y1345413從上表知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值13，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值4在日常生活中，常常會遇到什么條件下可以使材料最省，時(shí)間最少，效率最高等問題，這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。四、小結(jié)：1、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值。2