專題4有關(guān)圓錐曲線軌跡方程的求法

1、 曲線與方程曲線與方程學(xué)習(xí)如幾何曲線學(xué)習(xí)如幾何曲線幸福似小數(shù)循環(huán)幸福似小數(shù)循環(huán).教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：1、知識與能力、知識與能力:會求各種曲線的方程會求各種曲線的方程2、過程與方法、過程與方法:會用直接法、相關(guān)點(diǎn)法、會用直接法、相關(guān)點(diǎn)法、定義法求曲線的方程定義法求曲線的方程3、情感態(tài)度與價值觀：、情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)合作探討、培養(yǎng)合作探討、勇于創(chuàng)新的精神，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)勇于創(chuàng)新的精神，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn) 重點(diǎn)：重點(diǎn)：會用相關(guān)點(diǎn)法求曲線的軌跡方程會用相關(guān)點(diǎn)法求曲線的軌跡方程 難點(diǎn)：難點(diǎn)：靈活運(yùn)用各種方法求軌跡方程靈活運(yùn)用各種方法求軌跡方程:橢圓橢圓:雙

2、曲線雙曲線:拋物線拋物線._,21的的點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡等等于于的的平平面面內(nèi)內(nèi)與與兩兩定定點(diǎn)點(diǎn)FF距離之和距離之和a2常數(shù)常數(shù)._,21的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡等于等于的的平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)FF距離的差的絕對值距離的差的絕對值a2常數(shù)常數(shù)._的的點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡和和一一條條定定直直線線的的距距離離平平面面內(nèi)內(nèi)與與一一定定點(diǎn)點(diǎn) F相等相等)2(21FFa aPFPF221 aFF221 aPFPF221 )2(21FFa aFF221 pdPF典例分析典例分析題型一題型一 直接法求曲線方程直接法求曲線方程【例1】已知點(diǎn)F（1，0），直線l:x=-1,P為坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，過P作直線l的垂線

3、，垂足為點(diǎn)Q，且 求動點(diǎn)P的軌跡方程C.學(xué)后反思 當(dāng)動點(diǎn)所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡單明了易于表達(dá)時，只要將這種關(guān)系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法.QP QFFP FQ 分析 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），再表示出Q點(diǎn)， , ， ， 的坐標(biāo)，直接代入滿足 的條件求P點(diǎn)軌跡方程.QP QF FP FQ 解：設(shè)動點(diǎn)P(x,y)，則Q(-1,y).由 ，得（x+1,0） (2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化簡得C： QP QFFP FQ 24yxQP QFFP FQ 舉一反三舉一反三1. 已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直

4、線x=3的距離之和等于4，求點(diǎn)P的軌跡方程.24yx解析: 設(shè)P(x,y),則 (1)當(dāng)x3時，方程變?yōu)?,即 .化簡，得 (2)當(dāng)x3時，方程變?yōu)?,即 化簡,得 故所求的點(diǎn)P的軌跡方程是 ,0 x3, ,3x4.22134xyx22134xyx 2211xyx22134xyx 2217xyx2124yx 24124xyx題型二題型二 利用定義或待定系數(shù)法求曲線方程【例2】已知圓 : 和圓 ： 動圓M同時與圓 及圓 相外切.求動圓圓心M的軌跡方程.1C2231xy2C2239xy1C2C分析 設(shè)圓 半徑 ,圓 半徑 ,動圓M半徑R,則由兩圓外切性得 , (定值)0，故可考慮用雙曲線定義求軌跡

5、.1C1r2r2C11MCRr22MCRr2121MCMCrr解 設(shè)動圓M與圓 及圓 分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得 , MA=MB, 即 這表明動點(diǎn)M到兩定點(diǎn) 、 的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到 的距離大，到 的距離小），其中a=1,c=3,則 .設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,則其軌跡方程為 (x1).1C2C11MCACMA22M CBCM B1122MCACMCBC2121312MCMCBCAC1C2C2C1C28b2218yx學(xué)后反思 解決本題的關(guān)鍵是找到動點(diǎn)M滿足的條件，對于兩圓相切問題，自然考慮圓心距與半徑的關(guān)系.當(dāng)判斷出動點(diǎn)

6、的軌跡是雙曲線的一支，且可求出a,b時，則直接寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程，這種求曲線方程的方法稱為定義法.舉一反三舉一反三2.如圖，已知線段AB=4,動圓O與線段AB切于點(diǎn)C，且AC-BC= .過點(diǎn)A、B分別作圓O的切線，兩切線相交于P，且P、O均在AB同側(cè).建立適當(dāng)坐標(biāo)系，當(dāng)O位置變化時，求動點(diǎn)P的軌跡E的方程.22解析: 以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-2,0),B(2,0).設(shè)P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC= 2).2222b 22122xy題型三題型三 用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程【例3】已知長為 的線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在

7、x軸、y軸上滑動，P是AB上一點(diǎn)，且 求點(diǎn)P的軌跡方程.22APPB 12分析 由A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上,且 ,得P點(diǎn)的坐標(biāo)可以用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，而|AB|= ,故可求得A、B坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求的關(guān)系式即可得到P點(diǎn)的軌跡方程.22APPB 12解設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因?yàn)?又 , 所以 , 即 , 因?yàn)锳B= ，即 所以 化簡得 ,故點(diǎn)P的軌跡方程為 .22APPB 0,APxxy 0,PBx yy 022xx 022yyy02(1)2xx0(12)yy22200(12)xy22221(12)(12)2xy2212xy學(xué)后反思 對

8、涉及較多點(diǎn)之間的關(guān)系問題，可先設(shè)出它們各自的坐標(biāo)，并充分利用題設(shè)建立它們之間的相關(guān)關(guān)系；再對它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化簡，最后求出所求動點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程.這種根據(jù)已知動點(diǎn)的軌跡方程，求另外一點(diǎn)的軌跡方程的方法稱為代入法或相關(guān)點(diǎn)法.舉一反三舉一反三3. 點(diǎn)P是圓 上的動點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP的中點(diǎn)Q的軌跡.22414xy解析： 設(shè) ,Q(x,y),則 , , 是圓上的動點(diǎn)， 即 00,P xy02xx 02yy 02xx02yy00,xy2200414xy2224214xy221212xy題型四題型四 用參數(shù)法求軌跡方程用參數(shù)法求軌跡方程【例4】(14分)設(shè)橢圓方程為 ,過點(diǎn)M（0，1）的直線l交

9、橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn),l上的動點(diǎn)P滿足 當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求動點(diǎn)P的軌跡方程.2214yx12OPOAOB 分析 設(shè)出直線l的方程，和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出 , ,由 可表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，再用消參法求軌跡方程.12xx12yy12OPOAOB 解 直線l過點(diǎn)M(0,1),當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.1設(shè) 、 ，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo) 、 是方程組 ， 的解. 將代入并化簡,得 ,4則 8 11,A x y22,B xy11,x y22,xy22114ykxyx22(4)230kxkx1221222484kxxkyyk 于是 1

10、0設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則 消去參數(shù)k,得 (y0) .12當(dāng)直線l的斜率不存在時，可得A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)（0，0），也滿足方程，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 .1412122214,22244xxyykOPOAOBkk 22444kxkyk2240 xyy2240 xyy學(xué)后反思 本題運(yùn)用了參數(shù)法求軌跡.當(dāng)動點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，從而得到動點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 消去參數(shù)t，便可得到動點(diǎn)P的軌跡方程.其中應(yīng)注意方程的等價性和參數(shù)t與動點(diǎn)P(x,y)關(guān)系的密切性. xftyg t舉一反三舉一反三4. 過拋物線 的頂點(diǎn)O引兩條互相

11、垂直的直線分別與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.解析： 由題意知，兩直線的斜率都存在.設(shè)直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB: 由 得 同理由 得 設(shè)P(x,y),則 24yx1yxk 24ykxyx244,Akk214yxkyx 24, 4Bkk221212xkkykk由2-2，得 即 故線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為 2y28x 228yx228yx易錯警示易錯警示【例】過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交拋物線 于A、B兩點(diǎn)，求以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的軌跡方程.24yx錯解 如右圖，設(shè)M(x,y), , ,直線l的方程為y+2=kx,即y=kx-

12、2.由 消去y，得 11,A x y22,B x y224ykxyx224140k xkx錯解分析 直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,則l的斜率一定存在且受有兩個交點(diǎn)的限制，故應(yīng)由此確定k的取值范圍，錯解中忽視了k的取值范圍，導(dǎo)致錯誤. , 四邊形OAMB為平行四邊形, 消去k，得 點(diǎn)M的軌跡方程為 12241kxxk1224x xk121244yyk xxk12212414kxxxkyyyk2241yx2241yx正解 設(shè)M(x,y), , ，直線l的方程為y+2=kx，即y=kx-2(k0).由 消去y,得 11,A x y22,B xy224ykxyx224140k xkx24yx ,

13、 又四邊形OAMB為平行四邊形， 消去k,得 又l與拋物線 交于不同兩點(diǎn)A、B, 解得 且k0,又 ,y0.綜上,M點(diǎn)的軌跡方程為 (y0).12241kxxk1224x xk121244yyk xxk12212414kxxxkyyyk2241yx22411616 210kkk 12k 4yk2241yx想一想想一想:今天在課堂上你學(xué)到了什么？今天在課堂上你學(xué)到了什么？求曲線的方程常用的幾種方法求曲線的方程常用的幾種方法 （1）直接法）直接法 （2）定義法）定義法(待定系數(shù)法待定系數(shù)法) （3）相關(guān)點(diǎn)法）相關(guān)點(diǎn)法 （4）參數(shù)法）參數(shù)法作業(yè)：作業(yè)：1.1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)Q Q是曲線是曲線 上的動點(diǎn)

14、，點(diǎn)上的動點(diǎn)，點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,0),(1,0),求線段求線段QAQA的中點(diǎn)的中點(diǎn)P P的軌跡方程的軌跡方程. .2yx2.2.若直線若直線y=kx+by=kx+b交拋物線交拋物線 于于A A、B B兩點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，已知|AB|= ,|AB|= ,線段線段ABAB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)等于的中點(diǎn)縱坐標(biāo)等于-5,-5,求求k,bk,b的值的值. .2xy 4 53. 3. 如圖，矩形如圖，矩形ABCDABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)的兩條對角線相交于點(diǎn)M(2,0),ABM(2,0),AB邊所邊所在直線的方程為在直線的方程為x-3y-6=0,x-3y-6=0,點(diǎn)點(diǎn)T T（-1-1，1 1）在）在AD

15、AD邊所在直線邊所在直線上上. .（1 1）求）求ADAD邊所在直線的方程；邊所在直線的方程；（2 2）求矩形）求矩形ABCDABCD外接圓的方程外接圓的方程. .考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練1. 已知點(diǎn)Q是曲線 上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),求線段QA的中點(diǎn)P的軌跡方程.2yx解析： 設(shè)P(x,y),Q(x0,y0),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 解得 點(diǎn)Q在曲線 上， ,化簡得 00122xxyy00212xxyy2yx200yx2221yx2122yx2. 若直線y=kx+b交拋物線 于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|= ,線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)等于-5,求k,b的值.2xy 4 5解析: 由 得 設(shè) , ,則 .又 ,即 .由，得 ,代入，得 1212xxkx xb 222212121222114ABxxyykxxkkb221480kkb21222xxkykxbkbb 中中252kb 22100kb2210bk4219600kk2ykxbxy 11,A x y22,B xy20 xkxb 或 k=2, b=-3或 k= b= .經(jīng)檢驗(yàn)均符合要求.24k 215k 15523. 如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M(2,0),AB邊所在直