圓的知識(shí)點(diǎn)匯總

1、圓的章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)備課人：李發(fā)一、圓的概念集合形式的概念： 1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合；軌跡形式的概念： 1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于

2、這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線；二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn)；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn)；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn)；內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； 五、垂徑定理弦：連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段叫做弦.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧.推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩

3、條?。煌普?：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論.即：是直徑; 弧弧( ); ;中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論.推論4：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.即：在中， 弧弧例1、 基本概念1下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（ ）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 B平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 D在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2下列命題中，正確的是（）A過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對的弧 B過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C弦所對的兩條弧的中

4、點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心 D弦的垂線平分弦所對的弧例2、垂徑定理1、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是 2、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為 3、如圖，已知在中，弦，且，垂足為，于，于.（1）求證：四邊形是正方形.（2）若，求圓心到弦和的距離.4、已知：ABC內(nèi)接于O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3求AB的長5、如圖，F(xiàn)是以O(shè)為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，ADBC于D，求證：AD=BF.例3、度數(shù)問題1、已知：在中，弦，點(diǎn)到的距離

5、等于的一半，求：的度數(shù)和圓的半徑. 2、已知：O的半徑，弦AB、AC的長分別是、.求的度數(shù)。例4、相交問題如圖，已知O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30°，求CD的長.ABDCEO例5、平行問題在直徑為50cm的O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且ABCD，求：AB與CD之間的距離.例6、同心圓問題如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為.求證：.例7、平行與相似已知：如圖，是的直徑，是弦，于.求證：.六、 圓心角定理圓心角的定義：頂點(diǎn)在圓心且兩邊與圓相交的角叫做圓心角.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它

6、所對弧的度數(shù). （同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等也稱一推三定理）即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論也即：; 推論1：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；推論2：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等；推論3：在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧也相等；七、圓周角定理圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.圓周角定理：圓上同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半.【符號(hào)語言：和是所對的圓心角和圓周角 】推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，

7、相等的圓周角所對的弧是等弧【符號(hào)語言：在中，都是弧所對的圓周角 】推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；（圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑）【符號(hào)語言：在中，是直徑;或 是直徑】推論3：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形【符號(hào)語言：在中，是直角三角形或】注：此推論實(shí)際上是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理.例1、用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19所表示的情形，四個(gè)工件哪一個(gè)肯定是半圓環(huán)形？例2、如圖1，AB是半O的直徑，過A、B兩點(diǎn)作半O的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半O上C點(diǎn)時(shí)，則有AC

8、3;ACBC·BC=AB2（1）如圖2，若兩弦交于點(diǎn)P在半O內(nèi)，則AP·ACBP·BD=AB2是否成立？請說明理由（2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長線交于P點(diǎn)，則AB2=參照（1）填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性八、圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形：如果多邊形的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓.圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角.【符號(hào)語言：在中，四邊形是內(nèi)接四邊形 】圓的內(nèi)接四邊形的判定定理：如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓. 推論：如果四

9、邊形的一個(gè)外角等于它內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.例1、如圖7-107，O中，兩弦ABCD，M是AB的中點(diǎn)，過M點(diǎn)作弦DE求證：E，M，O，C四點(diǎn)共圓九、 切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的定義：當(dāng)直線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們把這條直線叫做圓的切線.（1）判定定理：過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 【符號(hào)語言：且過半徑外端是的切線】（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑. 推論1：過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn). 推論2：過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：(1)過圓心(2)過切點(diǎn)(3)垂直于切線.以上三個(gè)條件中，知道其

10、中兩個(gè)條件推出最后一個(gè)條件.( 是切線 )2、切線長的定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，該點(diǎn)和切點(diǎn)的線段的長叫做該點(diǎn)到圓的切線長.切線長定理: 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等且該點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.【符號(hào)語言：是的兩條切線且平分】3、弦切角：頂點(diǎn)在圓上，且一邊和圓相交而另一邊和圓相切的角叫做弦切角.(弦與切線的夾角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.4、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等.【符號(hào)語言： 在中，弦、相交于點(diǎn)，】推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng).【符號(hào)語言：在中，直徑，

11、】5、割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等. 【符號(hào)語言：在中，、是割線 】6、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).【 符號(hào)語言：在中，是切線，是割線 】切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等且該點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.弦切角定理弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等.割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等.切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的

12、兩條線段長的比例中項(xiàng).【利用切線性質(zhì)計(jì)算線段的長度】如圖，已知：AB是O的直徑，P為延長線上的一點(diǎn)，PC切O于C，CDAB于D，又PC=4，O的半徑為3求：OD的長【利用切線性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)】如圖，已知：AB是O的直徑，CD切O于C，AECD于E，BC的延長線與AE的延長線交于F，且AF=BF求：A的度數(shù)【利用切線性質(zhì)證明角相等】如圖，已知：AB為O的直徑，過A作弦AC、AD，并延長與過B的切線交于M、N求證：MCN=MDN【利用切線性質(zhì)證線段相等】例4：如圖，已知：AB是O直徑，COAB，CD切O于D，AD交CO于E求證：CD=CE【利用切線性質(zhì)證兩直線垂直】如圖，已知：ABC中，AB=AC

13、，以AB為直徑作O，交BC于D，DE切O于D，交AC于E求證：DEAC例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。例2.O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么CE cm。 圖2例3.如圖3，P是O外一點(diǎn)，PC切O于點(diǎn)C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是 cm。 圖3例4.如圖4，AB為O的直徑，過B點(diǎn)作O的切線BC，OC交O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)D，（1）求證：；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的長。 圖4十、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形：在中，是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，（2）正四邊形：同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，（3）正六邊形：同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行， 十一、圓的有關(guān)概念 1、三角形的外接圓、外心. 用到：線段的垂直平分線及性質(zhì) 2、三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心. 用到：角的平分線及性質(zhì) 3、圓的對稱性。十二、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇