投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題線性規(guī)劃分析

1、 投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題線性規(guī)劃分析1問題的提出市場(chǎng)上有 n 種資產(chǎn)（如股票、債券、）Si（i1，n）供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 M 的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資. 公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這 n 種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買 Si 的平均收益率為 ri，并預(yù)測(cè)出購(gòu)買 Si 的風(fēng)險(xiǎn)損失率為 qi. 考慮到投資越分散、總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的 Si 中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量. 購(gòu)買 Si 要付交易費(fèi)，費(fèi)率為 pi，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值 ui 時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買 ui 計(jì)算（不買當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)）. 另外，假定同期銀行存款利率是 r0，

2、且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn). （r05）已知 n4 時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下： n的相關(guān)數(shù)據(jù)Siri()qi()pi()ui(元)S1282.51.0103S2211.52.0198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小. 2模型的建立模型 1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資Si中的最大一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量，假設(shè)投資的風(fēng)險(xiǎn)水平是 k，即要求總體風(fēng)險(xiǎn)Q(x)限制在風(fēng)險(xiǎn) k 以內(nèi)：Q(x) k則模型可轉(zhuǎn)化為：模型2. 假設(shè)投資的盈利水平是 h，即要求凈收益總額 R（x）不少于 h：R（x）h，則模型可

3、轉(zhuǎn)化為：模型 3.要使收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型。人們總希望對(duì)那些相對(duì)重要的目標(biāo)給予較大的權(quán)重. 因此，假定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)收益的相對(duì)偏好參數(shù)為 （0），則模型可轉(zhuǎn)化為：3. 模型的化簡(jiǎn)與求解 由于交易費(fèi) ci(xi)是分段函數(shù)，使得上述模型中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件相對(duì)比較復(fù)雜，是一個(gè)非線性規(guī)劃問題，難于求解. 但注意到總投資額 M 相當(dāng)大，一旦投資資產(chǎn) Si，其投資額 xi 一般都會(huì)超過 ui，于是交易費(fèi) ci(xi)可簡(jiǎn)化為線性函數(shù)從而，資金約束簡(jiǎn)化為凈收益總額簡(jiǎn)化為在實(shí)際進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可設(shè) M=1，此時(shí)可視作投資 Si 的比例. 以下的模型求解都是在上述兩個(gè)簡(jiǎn)化條件下

4、進(jìn)行討論的.1）模型 1 的求解模型1的約束條件Q(x) k即 ，所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為這時(shí)模型 1可化簡(jiǎn)為如下的線性規(guī)劃問題：具體到 n=4 的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題中表3-1給定的數(shù)據(jù)，模型為：Max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t. 0.025x1k，0.015x2k，0.055x3k，0.026x4k，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，4）利用MATLAB7.0求解模型1，以 k=0.005 為例：輸出結(jié)果是0.177638, x0 0.158192, x1 0.2,x2 0.3

5、33333, x3 0.0909091,x4 0.192308這說明投資方案為（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）時(shí)，可以獲得總體風(fēng)險(xiǎn)不超過 0.005 的最大收益是 0.177638M.當(dāng) k 取不同的值（00.03），風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系見下圖： 模型1風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系圖輸出結(jié)果列表如下： 模型 1 的結(jié)果風(fēng)險(xiǎn) k凈收益 Rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.6632770.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.0727273

6、0.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.25176500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.02980390

7、00.0260.26732700.9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000從表 3.2中的計(jì)算結(jié)果可以看出，對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的 S2，然后是 S1 和 S4，總收益較低；對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（ripi）較大的 S1 和 S2這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的，這里給出了定量的結(jié)果2）模型 2 的求解模型 2 本來是極小極大規(guī)劃：s.t. 但是，可以引進(jìn)變量 xn+1= ，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：s.t. , , 具體到 n=4 的情形，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題中表3.

8、1給定的數(shù)據(jù)，模型為：Min x5s.t. 0.025x1x5，0.015x2x5，0.055x3x5，0.026x4x5，0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4h，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，5）利用MATLAB7.0求解模型2，當(dāng) h 取不同的值（0.040.26），我們計(jì)算最小風(fēng)險(xiǎn)和最優(yōu)決策，結(jié)果如表3所示，風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系見圖2所示圖2模型2中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系圖表3 模型 2 的結(jié)果凈收益水平 h風(fēng)險(xiǎn) Qx0x1x2x3x40.060.0003917330.9340470.01566930.0

9、2611550.007122410.01506660.080.00117520.8021420.04700790.07834650.02136720.04519990.100.001958660.6702360.07834650.1305780.03561210.07533320.120.002742130.5383310.1096850.1828090.04985690.1054660.140.003525590.4064260.1410240.235040.06410170.13560.160.004309060.274520.1723620.2872710.07834650.165733

10、0.180.005092530.1426150.2037010.3395020.09259140.1958660.200.005875990.01070920.235040.3917330.1068360.2260.220.010299400.4119760.572455000.240.016407200.6562870.330539000.260.02251500.9005990.088622800從表3.3中我們可以推出和模型 1 類似的結(jié)果.3）模型3 的求解類似模型2 的求解，我們同樣引進(jìn)變量 xn+1= ，將它改寫為如下的線性規(guī)劃：min -（1 ） s.t. 具體到 n=4 的情形

11、，按投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題表3.1給定的數(shù)據(jù)，模型為：min x5（1）（0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4）s.t. 0.025x1x5，0.015x2x5，0.055x3x5，0.026x4x5，x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi0（i0，1，5）利用MATLAB7.0求解模型3，當(dāng) 取不同的值（0.70.98），我們計(jì)算最小風(fēng)險(xiǎn)和最優(yōu)決策，風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系見圖3輸出結(jié)果列表如下：表 4 模型 3 的結(jié)果偏好系數(shù) 風(fēng)險(xiǎn) Qx0x1x2x3x40.700.024752500.9900990000.740.024752500.9900990000.780.0092250900.3690040.615006000.820.0078492900.3139720.5232860.14271400.860.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.900.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.940.005939600.2375840.3959730.1079930.228