29模型組合講解：“彈簧最值”模型

1、模型組合講解：彈簧最值”模型太原市第十二中學(xué)姚維明模型建構(gòu)：在高考復(fù)習(xí)中，常常遇到有關(guān)“彈簧最值”問(wèn)題，由于彈簧總是與其他物體直接或間接地聯(lián)系在一起，彈簧與其“關(guān)聯(lián)物”之間總存在著力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、動(dòng)量、能量方面的聯(lián)系， 因此學(xué)生普遍感到困難，本文就此類(lèi)問(wèn)題作一歸類(lèi)分析?！灸Ｐ汀繌椈杉捌潢P(guān)聯(lián)體【特點(diǎn)】研究力與速度的最值，往往建立動(dòng)力學(xué)方程、能量守恒方程；研究高度 的最值，往往建立能量守恒、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最值，往往用到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，兩端點(diǎn)。 模型典案：、最大、最小拉力問(wèn)題【典案1】一個(gè)勁度系數(shù)為 k=600N/m的輕彈簧，兩端分別連接著質(zhì)量均為m= 15kg的物體A B,將它們豎直靜止地放在水平地

2、面上，如圖1所示，現(xiàn)加一豎直向上的外力F在物體A上，使物體A開(kāi)始向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)，B物體剛離開(kāi)地面（設(shè)整個(gè)加速過(guò)程彈簧都處于彈性限度內(nèi)，且g=10m/s2）。求此過(guò)程中所加外力的最大和最小值。R解析1開(kāi)始時(shí)彈簧彈力恰等于A的重力，彈簧壓縮量l mg 0.25m,末B物體剛要離開(kāi)地面，此時(shí)彈簧彈力恰等于B的重力，k12,2一1' l 025m,故對(duì)A物體有2 l at2,代入數(shù)據(jù)得a 4m/s2。剛開(kāi)始時(shí)F為最 2小且Fmin ma 15 X 4N 60N , b物體剛要離開(kāi)地面時(shí)，F(xiàn)為最大且有Fmaxmg mg ma ,解得 Fmax2mg ma 360 N 。圖3二、最大高度問(wèn)題

3、【典案2】如圖2所示，質(zhì)量為m的鋼板與直立彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為 X0。一物體從鋼板正上方距離為 3X0的A處自由下落打在鋼板上，并立即與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)。已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到 。點(diǎn)；若物體質(zhì)量為2m仍從A處自由下落，則物塊與鋼板回到。點(diǎn)時(shí)還有向上的速度，求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與。點(diǎn)的距離。R解析1物塊碰撞鋼板前作自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)V0表示物塊與鋼板碰撞時(shí)的速度，則：Vo J6gx。物塊與鋼板碰撞后一起以V1速度向下運(yùn)動(dòng)，因碰撞時(shí)間極短，碰撞時(shí)遵循動(dòng)量守恒，即：mv0 2mv1 剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為

4、Ep,當(dāng)它們一起回到 O點(diǎn)時(shí)，彈簧無(wú)形變，彈性勢(shì)能為0,根據(jù)機(jī)械能守恒有：Ep ：(2m)v2 2mgx0 設(shè)丫2表示質(zhì)量為 2m的物塊與鋼板碰撞后開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)的速度，由動(dòng)量守恒有：2mv0 3mv2 碰撞后，當(dāng)它們回到 。點(diǎn)時(shí)具有一定速度 v,由機(jī)械能守恒定律得：1212Ep (3m)v； 3mgx0 -(3m)v2 p 22當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到 。點(diǎn)時(shí)兩者分離，分離后，物塊以v豎直上升，其上升的最大高度:22g解式可得hXo2三、最大速度、最小速度問(wèn)題【典案3】如圖3所示，一個(gè)勁度系數(shù)為 k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為 m的平板B相連而處于靜止?fàn)顟B(tài)

5、。今有另一質(zhì)量為m的物塊A從B 的正上方h高處自由下落，與 B發(fā)生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運(yùn)動(dòng)到速度最大時(shí)，系統(tǒng)增加的彈性勢(shì)能與動(dòng)能相等，求系統(tǒng)的這一最大速度V。R解析1 A下落到與B碰前的速度V1為:、B碰后的共同速度V2為：mv1(m mM 靜止在彈簧上時(shí)，彈簧的壓縮量為X0,且:mg kx0 d、B 一起向下運(yùn)動(dòng)到最大速度v時(shí)的位移為 x,此時(shí) A、B的加速度為 0,即有:2mg k(x x0)由機(jī)械能守恒得:1 2122mgx(2 m) v2(2m)v2 212Ep -(2m)v2解通得：v . mg14 gh【典案4】在光滑水平面內(nèi)，有 AB兩個(gè)質(zhì)量相等的木塊，mA mB 2

6、kg,中間用輕質(zhì)彈簧相連。現(xiàn)對(duì)B施一水平恒力F,如圖4所示，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，A B的速度等于5m/s時(shí)恰好一起做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程恒力做功為100J,當(dāng)A、B恰好一起做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)撤除恒力，在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中求木塊A的最小速度。R解析1當(dāng)撤除恒力 F后，A做加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，彈簧等于原長(zhǎng)時(shí)，加速度等于零，A的速度最大，此后彈 簧壓縮到最大，當(dāng)彈簧再次回復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度最小， 根據(jù)動(dòng)量守恒得：2mv mvA mvBj1cle 一根據(jù)機(jī)械能守恒得：100 1mvA -mvB 2 A 2 B由以上兩式解得木塊A的最小速度v = 0。四、最大轉(zhuǎn)速和最小轉(zhuǎn)速問(wèn)題【典案5】有一水平放置的圓盤(pán)，上面放

7、一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其一端固定于軸。上，另一端系著質(zhì)量為m的物體A,物體A與盤(pán)面間最大靜摩擦力為Ffm,彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng), 現(xiàn)將彈簧伸長(zhǎng) L后置于旋轉(zhuǎn)的桌面上，如圖 5所示，問(wèn)：要使物體相對(duì)于桌面靜止，圓盤(pán)轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值各是多少R解析1當(dāng)轉(zhuǎn)速n較大時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即:k L Ffm m(2 n1)2(L L)1k L Ffmn12m(L L)當(dāng)轉(zhuǎn)速n較小時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即：n2k LFfmm(L L)k L Ffm m(2 n2)2(LL)所以圓盤(pán)轉(zhuǎn)速n的最大值和最小值分別為:fm- oL)1 k L Ffm2 . m(L L) 五、最大加速度問(wèn)題k的輕質(zhì)彈簧

8、連在一起，放在【典案6】?jī)赡緣KA、B質(zhì)量分別為nr M,用勁度系數(shù)為圖6水平地面上，如圖 6所示，用外力將木塊 A壓下一段距離靜止，釋放 后A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在 A振動(dòng)過(guò)程中，木塊 B剛好始終未離開(kāi)地面，求 木塊A的最大加速度。R解析1撤去外力后，A以未加外力時(shí)的位置為平衡位置作簡(jiǎn)諧 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置上方最大位移處時(shí)，B恰好對(duì)地面壓力為 零，此時(shí)A的加速度最大，設(shè)為 am。對(duì)A：由牛頓第二定律有 k(x x0) mg mam對(duì) B： k(x x0) Mg(M m)g 所以am -,方向向下。m六、最大振幅問(wèn)題【典案7】 如圖7所示，小車(chē)質(zhì)量為 M木塊質(zhì)量為 m,它們之間靜摩擦力最大值為Ff

9、,輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)為 k,振動(dòng)系統(tǒng)沿水平地面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)木塊與小車(chē)間未發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，小車(chē)振幅的最大值是多少R解析1在最大位移處，M和m相對(duì)靜止，它們具有相同的加速度，所以對(duì)整體有：maFf ( M m)A okmkA (M m) a 對(duì)m有： Ff 所以由解得： 七、最大勢(shì)能問(wèn)題【典案8】 如圖8所示，質(zhì)量為2m的木板，靜止放在光滑的水平面上，木板左側(cè)固定 著一根勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧，彈簧的自由端到小車(chē)右端的距離為島，一個(gè)質(zhì)量為m的小木塊從板的右端以初速度V0開(kāi)始沿木塊向左滑行，最終回到木板右端，剛好不從木板右端滑出，設(shè)木板與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求在木塊壓縮彈簧過(guò)程中(一直在彈性限度內(nèi))彈簧所具有的最大彈性勢(shì)能?！窘馕觥繌椈杀粔嚎s至最短時(shí)，具有最大彈性勢(shì)能Epm, 設(shè)m在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力做的總功產(chǎn)生內(nèi)能為2E,從初圖8 狀態(tài)到彈簧具有最大彈性勢(shì)能及從初狀態(tài)到末狀態(tài)，系統(tǒng)均滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律，即：mv0 (m 2m)v 由初狀態(tài)到彈簧具有最大彈性勢(shì)能，系統(tǒng)滿(mǎn)足能量守恒:1212 L L 2mvo 2(3m)v Epm E