拉普拉斯變換講義

1、拉普拉斯拉普拉斯變換變換制作者： 炯拉拉 普普 拉拉 斯斯拉普拉斯（Pierre Simon Laplace， 1749-1827） 法國著名的天文學家和法國著名的天文學家和數(shù)學家，天體力學數(shù)學家，天體力學的的集大成者，被譽為法國的牛頓。集大成者，被譽為法國的牛頓。 拉普拉斯用數(shù)學方法證明了行星的軌道大小拉普拉斯用數(shù)學方法證明了行星的軌道大小只有周期性變化，這就是著名拉普拉斯的定理。拉普只有周期性變化，這就是著名拉普拉斯的定理。拉普拉斯的著名杰作拉斯的著名杰作天體力學天體力學，書中第一次提出了，書中第一次提出了“天體力學天體力學”的學科名稱，是經(jīng)典天體力學的代表著的學科名稱，是經(jīng)典天體力學的代

2、表著作。作。宇宙系統(tǒng)論宇宙系統(tǒng)論是拉普拉斯另一部名垂千古的杰是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。作。 拉普拉斯在拉普拉斯在數(shù)學和物理學數(shù)學和物理學方面也有重要貢獻，方面也有重要貢獻，以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程，在以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程，在科學技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用?？茖W技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。拉普拉斯和當時的拉格朗日、勒讓德并稱為法國的拉普拉斯和當時的拉格朗日、勒讓德并稱為法國的，不愧為十九世紀初數(shù)學界的巨擘泰斗。，不愧為十九世紀初數(shù)學界的巨擘泰斗。一、拉普拉斯變換的歷史背景 拉普拉斯變換是先在實際中應(yīng)用，然后才經(jīng)過嚴格論證的一種方法。是由英國工程師

3、赫維賽德19世紀末提出的，稱為“算子法”。后來人們在拉普拉斯的著作中找到了可靠的數(shù)學依據(jù)，進行了嚴格的數(shù)學定義，取之名為拉普拉斯變換方法。二、拉普拉斯變換的發(fā)展 在20世紀70年代以后，計算機輔助設(shè)計(CAD)技術(shù)迅速發(fā)展，人們借助于CAD程序(如SPICE程序)，可以很方便地求解電路分析問題，這樣就導致拉氏變換在這方面的應(yīng)用相對減少了。此外，隨著技術(shù)的發(fā)展和實際的需要，離散的、非線性的、時變的等類型系統(tǒng)的研究與應(yīng)用日益廣泛，而拉氏變換在這些方面卻無能為力，于是，它長期占據(jù)的傳統(tǒng)重要地位正讓位給一些新的方法。 使用傅立葉變換時存在的問題解決辦法三、拉普拉斯變換的定義拉普拉斯反變換拉氏變換存在定

4、理拉氏變換的性質(zhì)比例定理線性定理導數(shù)定理積分定理在拉氏變換及其一些性質(zhì)中取P為某些特定值，可以用來求一些函數(shù)的廣義積分。延遲定理位移定理相似定理卷積定理常見函數(shù)的拉斯變換拉普拉斯逆變換利用留數(shù)計算拉氏反演積分拉普拉斯逆變換的反演1、利用拉氏變換的性質(zhì)2、有理分式反演法3、利用卷積4、使用留數(shù)5、查表法拉氏變換的應(yīng)用利用拉氏變換求解微分方程微分方程取拉氏變換像函數(shù)的代數(shù)方程解代數(shù)方程像函數(shù)拉氏逆變換微分方程的解應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路1、運算法和相量法1）相量法 相量法把正弦量變換為相量（復數(shù)），從而把求解線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)問題歸結(jié)為以相量為變量的線性代數(shù)方程。2）運算法 運算法把時間函數(shù)

5、變換為對應(yīng)的象函數(shù)，從而把問題歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。11H+1V-1FS(t=0)1i1S(t=0)1sL+1/s-1/sC1I1(s)+uc(0-)/s-S(t=0)1sL+1/s-1/sC1I1(s)+uc(0-)/s-Ia(s)Ib(s)運算法的解題步驟拉普拉斯變換在工程學上的應(yīng)用拉普拉斯變換，是工程數(shù)學中常用的一種積分變換。 它是為簡化計算而建立的實變量函數(shù)和復變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對一個實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復數(shù)域中作各種運算，再將運算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計算上容易得多。 拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方