1示范教案(111算法的概念)

1、第一章 算法初步本章教材分析算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成局部，是計(jì)算科學(xué)的重要根底.算法的應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方面.學(xué)生學(xué)習(xí)算法的應(yīng)用,目的就是利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.通過(guò)算法的學(xué)習(xí),對(duì)完善數(shù)學(xué)的思想，激發(fā)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí),培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)進(jìn)行實(shí)踐的能力等，都有很大的幫助.本章主要內(nèi)容：算法與程序框圖、根本算法語(yǔ)句、算法案例和小結(jié).教材從學(xué)生最熟悉的算法入手，通過(guò)研究程序框圖與算法案例，使算法得到充分的應(yīng)用，同時(shí)也展現(xiàn)了古老算法和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的密切關(guān)系.算法案例不僅展示了數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性，也為計(jì)算機(jī)的應(yīng)用提供了廣闊的空間.讓學(xué)生進(jìn)一步受到數(shù)學(xué)思想方法

2、的熏陶，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.在算法初步這一章中讓學(xué)生近距離接近社會(huì)生活，從生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中得到應(yīng)用和提高，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.“數(shù)學(xué)建模也是高考考查重點(diǎn).本章還是數(shù)學(xué)思想方法的載體，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到“算法思想 “轉(zhuǎn)化思想，從而提高自己數(shù)學(xué)能力.因此應(yīng)從三個(gè)方面把握本章：2數(shù)學(xué)思想方法；3認(rèn)知規(guī)律.本章教學(xué)時(shí)間約需12課時(shí)，具體分配如下僅供參考：1.1.1 算法的概念約1課時(shí)1.1.2 程序框圖與算法的根本邏輯結(jié)構(gòu)約4課時(shí)1.2.1 輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句約1課時(shí)1.2.2 條件語(yǔ)句約1課時(shí)1.2.3 循環(huán)語(yǔ)句約1課時(shí)1.3算法案例約3

3、課時(shí)本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)1.1 算法與程序框圖 算法的概念整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析算法在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中是一個(gè)新的概念，但沒(méi)有一個(gè)精確化的定義，教科書(shū)只對(duì)它作了如下描述：“在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)那么解決某一類(lèi)問(wèn)題的明確有限的步驟.為了讓學(xué)生更好理解這一概念，教科書(shū)先從分析一個(gè)具體的二元一次方程組的求解過(guò)程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法.教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生非常熟悉的例子引出算法，再通過(guò)例題加以穩(wěn)固.三維目標(biāo)1.正確理解算法的概念,掌握算法的根本特點(diǎn).2.通過(guò)例題教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)設(shè)計(jì)算法的根本思路.3.通過(guò)有趣的實(shí)例使學(xué)生了解算法這一概念的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)

4、習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：算法的含義及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：寫(xiě)出解決一類(lèi)問(wèn)題的算法.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1情境導(dǎo)入一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會(huì)吃羚羊.該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過(guò)河請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出解決問(wèn)題的步驟，解決這一問(wèn)題將要用到我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容算法.思路2情境導(dǎo)入大家都看過(guò)趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說(shuō)了一個(gè)笑話，把大象裝進(jìn)冰箱總共分幾步答案：分三步，第一步：把冰箱門(mén)翻開(kāi)；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門(mén)關(guān)上.上述步驟構(gòu)成了把大象裝進(jìn)冰箱的算法，今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)算法的概念.思路3直接

5、導(dǎo)入算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成局部，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要根底.在現(xiàn)代社會(huì)里，計(jì)算機(jī)已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ?聽(tīng)音樂(lè)、看電影、玩游戲、打字、畫(huà)卡通畫(huà)、處理數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)是怎樣工作的呢要想弄清楚這個(gè)問(wèn)題，算法的學(xué)習(xí)是一個(gè)開(kāi)始.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題1解二元一次方程組有幾種方法2結(jié)合教材實(shí)例總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟.3結(jié)合教材實(shí)例總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟.4請(qǐng)寫(xiě)出解一般二元一次方程組的步驟.5根據(jù)上述實(shí)例談?wù)勀銓?duì)算法的理解.6請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)算法的特征.7請(qǐng)思考我們學(xué)習(xí)算法的意義.討論結(jié)果：1代入消元法和加減消元法.2回憶二元一次方程組的求解過(guò)程，我們可

6、以歸納出以下步驟：第一步，+×2，得5x=1.第二步，解，得x=.第三步，-×2，得5y=3.第四步，解，得y=.第五步，得到方程組的解為(3)用代入消元法解二元一次方程組我們可以歸納出以下步驟：第一步，由得x=2y1.第二步，把代入，得2(2y1)+y=1.第三步，解得y=.第四步，把代入，得x=2×1=.第五步，得到方程組的解為(4)對(duì)于一般的二元一次方程組 其中a1b2a2b10,可以寫(xiě)出類(lèi)似的求解步驟： 第一步，×b2-×b1，得 a1b2a2b1x=b2c1b1c2. 第二步，解，得x=. 第三步，×a1-×a2，

7、得a1b2a2b1y=a1c2a2c1. 第四步，解，得y=. 第五步，得到方程組的解為(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項(xiàng)工作的方法和步驟，那么我們可以說(shuō)洗衣機(jī)的使用說(shuō)明書(shū)是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等.在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)那么解決某一類(lèi)問(wèn)題的明確有限的步驟.現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問(wèn)題.(6)算法的特征：確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無(wú)誤、不重不漏.“不重是指不是可有可無(wú)的，甚至無(wú)用的步驟，“不漏 是指缺少哪一步都無(wú)法完成任務(wù).邏輯性：算法從開(kāi)始的“第一步直到“最后一步之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步是“后一步的前提， “后一步

8、是“前一步的繼續(xù).有窮性：算法要有明確的開(kāi)始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時(shí)所要解決的問(wèn)題必須有明確的結(jié)果，也就是說(shuō)必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無(wú)限制地持續(xù)進(jìn)行.(7)在解決某些問(wèn)題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟來(lái)解決問(wèn)題，這些步驟稱(chēng)為解決這些問(wèn)題的算法.也就是說(shuō)，算法實(shí)際上就是解決問(wèn)題的一種程序性方法.算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結(jié)果.因此算法是計(jì)算科學(xué)的重要根底.應(yīng)用例如思路1例1 1設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).2設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù).算法分析：1根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用26除7，如果它們中有一個(gè)

9、能整除7，那么7不是質(zhì)數(shù)，否那么7是質(zhì)數(shù).算法如下：1第一步，用2除7，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以2不能整除7.第二步，用3除7，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余數(shù)3.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余數(shù)2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù).2類(lèi)似地，可寫(xiě)出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)的算法：第一步，用2除35，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余數(shù)2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余數(shù)3

10、.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余數(shù)0.因?yàn)橛鄶?shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).點(diǎn)評(píng)：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.變式訓(xùn)練請(qǐng)寫(xiě)出判斷n(n>2)是否為質(zhì)數(shù)的算法.分析：對(duì)于任意的整數(shù)n(n>2)，假設(shè)用i表示2(n-1)中的任意整數(shù)，那么“判斷n是否為質(zhì)數(shù)的算法包含下面的重復(fù)操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0，假設(shè)是，那么不是質(zhì)數(shù)；否那么，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作.這個(gè)操作一直要進(jìn)行到i的值等于(n-1)為止.算法如下

11、：第一步，給定大于2的整數(shù)n.第二步，令i=2.第三步，用i除n,得到余數(shù)r.第四步，判斷“r=0是否成立.假設(shè)是，那么n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否那么，將i的值增加1，仍用i表示.第五步，判斷“in-1是否成立.假設(shè)是，那么n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否那么，返回第三步.例2 寫(xiě)出用“二分法求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x2-2,那么方程x2-2=0 (x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn).“二分法的根本思想是：把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間a,b(滿足f(a)·f(b)<0“一分為二，得到a,m和m,b.根據(jù)“f(a)·f(m)&l

12、t;0是否成立，取出零點(diǎn)所在的區(qū)間a,m或m,b，仍記為a,b.對(duì)所得的區(qū)間a,b重復(fù)上述步驟，直到包含零點(diǎn)的區(qū)間a,b“足夠小，那么a,b內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d.第二步，確定區(qū)間a,b，滿足f(a)·f(b)<0.第三步，取區(qū)間中點(diǎn)m=.第四步，假設(shè)f(a)·f(m)<0，那么含零點(diǎn)的區(qū)間為a,m；否那么，含零點(diǎn)的區(qū)間為m,b.將新得到的含零點(diǎn)的區(qū)間仍記為a,b.第五步，判斷a,b的長(zhǎng)度是否小于d或f(m是否等于0.假設(shè)是，那么m是方程的近似解；否那么，返回第三步.當(dāng)d=0.005時(shí)，按照以上算法，可以得到下

13、表.ab|a-b|12111.50.51.251.50.251.3751.50.1251.3751.437 50.062 51.406 251.437 50.031 251.406 251.421 8750.015 6251.414 062 51.421 8750.007 812 51.414 062 51.417 968 750.003 906 25于是，開(kāi)區(qū)間1.414 062 5,1.417 968 75中的實(shí)數(shù)都是當(dāng)精確度為0.005時(shí)的原方程的近似解.實(shí)際上，上述步驟也是求的近似值的一個(gè)算法.點(diǎn)評(píng)：算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把

14、算法過(guò)程稱(chēng)為“數(shù)學(xué)機(jī)械化.數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成，實(shí)際上處理任何問(wèn)題都需要算法.如：中國(guó)象棋有中國(guó)象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)那么；而國(guó)際象棋有國(guó)際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)那么；再比方申請(qǐng)出國(guó)有一系列的先后手續(xù)，購(gòu)置物品也有相關(guān)的手續(xù)思路2例1 一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會(huì)吃羚羊.該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過(guò)河請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法.分析：任何動(dòng)物同船不用考慮動(dòng)物的爭(zhēng)斗但需考慮承載的數(shù)量，還應(yīng)考慮到兩岸的動(dòng)物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過(guò)程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使

15、得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢(shì).解：具體算法如下：算法步驟：第一步：人帶兩只狼過(guò)河，并自己返回.第二步：人帶一只狼過(guò)河，自己返回.第三步：人帶兩只羚羊過(guò)河，并帶兩只狼返回.第四步：人帶一只羊過(guò)河，自己返回.第五步：人帶兩只狼過(guò)河.點(diǎn)評(píng)：算法是解決某一類(lèi)問(wèn)題的精確描述，有些問(wèn)題使用形式化、程序化的刻畫(huà)是最恰當(dāng)?shù)?這就要求我們?cè)趯?xiě)算法時(shí)應(yīng)精練、簡(jiǎn)練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，表達(dá)思維的嚴(yán)密性和完整性.此題型解決問(wèn)題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行屢次才能解決，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多較復(fù)雜的情境經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法的時(shí)候，如果能夠適宜地利用某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，而且可以提高

16、工作效率.例2 喝一杯茶需要這樣幾個(gè)步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷茶具、沏茶問(wèn)：如何安排這幾個(gè)步驟并給出兩種算法，再加以比較分析：本例主要為加深對(duì)算法概念的理解，可結(jié)合生活常識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，然后解決問(wèn)題解：算法一：第一步，洗刷水壺.第二步，燒水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壺.第二步，燒水，燒水的過(guò)程當(dāng)中洗刷茶具.第三步，沏茶.點(diǎn)評(píng)：解決一個(gè)問(wèn)題可有多個(gè)算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡(jiǎn)單的、步驟盡量少的算法上面的兩種算法都符合題意，但是算法二運(yùn)用了統(tǒng)籌方法的原理，因此這個(gè)算法要比算法一更科學(xué)例3 寫(xiě)出通過(guò)尺軌作圖確定線段AB一個(gè)5等分點(diǎn)的算法.分析：我們借助于平行線定理，

17、把位置的比例關(guān)系變成的比例關(guān)系，只要按照規(guī)那么一步一步去做就能完成任務(wù).解：算法分析：第一步，從線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.第二步，在射線上任取一個(gè)不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，得到線段AC.第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AC.第七步，連結(jié)DB.第八步，過(guò)C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個(gè)5等分點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：用算法解決幾何問(wèn)題能很好地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問(wèn)題的一般方法，可謂一舉多得，應(yīng)多加訓(xùn)練.知能訓(xùn)練設(shè)計(jì)算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根.解：算法步驟如下：第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c.第二步，計(jì)算=b24ac的值.第三步，判斷0是否成立.假設(shè)0成立，輸出“方程有實(shí)根；否那么輸出“方程無(wú)實(shí)根，結(jié)束算法.點(diǎn)評(píng)：用算法解決問(wèn)題的特點(diǎn)是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓我們結(jié)合例題仔細(xì)體會(huì)算法的特點(diǎn).拓展提升解：算法分析：數(shù)學(xué)模型實(shí)際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù).關(guān)系式如下：y=其中t3表示取不大于t3的整數(shù)局部.算法步驟如下：第一步，輸入通話時(shí)間t